鲁教版九年级数学下册5.3垂径定理
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课件36张PPT。 5.3 垂径定理 初中数学实战课堂系列---圆 1、通过动手操作，体会圆的对称性及垂径定理；
2、会用垂径定理解决相关问题；
3、建立垂径定理的解题模型，体会模型思想的优越性。学习目标课时 一（1）这说明圆是一个什么图形？
（2）它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？观察思考---探讨圆的对称性归纳：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是经过圆心的直线．展示一圆形纸片做一做 请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．
沿着直径将圆对折，你有什么发现？归纳总结：---垂径定理
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧老师提示：
垂径定理是圆中一个重要的结论，文字、图形、符号三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.CD⊥AB，如图∵ CD是直径，∴AM ＝ BM，合作探究---探讨垂径定理做一做 1．下列图形中，哪些能使用垂径定理，找到相等的线段或相等的弧？为什么？2．如图，⊙O直径CD与弦AB（非直径）
交于点M，添加一个条件：____________，
使点M成为AB的中点．3、如图，点P为⊙O内一点，
请作出一条以点P为中点的弦(1)(4)(1)(3)(2) 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.
求这段弯路的半径.老师提示:
解决与弦相关的问题，一般应先画出图形，然后运用垂径定理、勾股定理以及方程的思想来解决.典例分析注：AB=a, OE=d, 弓高DE=h，圆半径为r, 中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.（1）h= r - d（2）形成模型学以致用赵州石拱桥 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥
拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,
拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,
求桥拱的半径(精确到0.1m).赵州石拱桥解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得 R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.现学现用 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，
求油的最大深度. 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽AB=7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？合作探究：船能过拱桥吗练习提高1、以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆
于C、D两点 求证：AC=BD2、如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，
求证： AC=BD通过本节课的学习,你对圆的对称性有哪些认识？
你有哪些收获？ 课堂总结达标测试 2． “圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：
“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，
CE＝1，AB＝10，求CD的长．”
根据题意可得CD的长为________．1、如图， ⊙O 中直径AB⊥CD于P，则下列结论（ ）不一定成立
A、 ∠COB =∠BOD B、CE=DE
C、AC=AD D、OP=PB 3、已知⊙O中，弦AB=10，P为劣
弧 上一动点（点P不与A、B重合）
OE⊥AP, OF⊥PB,垂足为E、F.
则EF=______. 4、已知如图，一直线交⊙O于C、D两点，
且OA=OB
求证：AC=BD再见！课时 二垂径定理练习课知识回顾1、垂径定理的内容是什么？ 2、已知CD为⊙O直径， CD ⊥ AB于M ，
CM=12，DM=8，则弦AB的长是_______.3、如右图是一隧道的的截面，其形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知路宽AB=10m，隧道净高CD=7m，则隧道所在的圆的半径是__________m.拓展练习1、已知半径为5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB＝8 cm，CD＝6 cm，求AB、CD之间的距离． 合作探究一1、已知⊙O半径为5cm,点P为⊙O内一点，OP=4，则过点P且长度为整数的弦有（ ）条
A、3 B、4 C、 5 D、81、 如图， AB、CD为⊙O的两条弦，AB=CD，
OE⊥AB, OF⊥CD垂足为E、F.
求证：OE=OFDOBCAEF合作探究二2、已知⊙O中直径AB交弦CD于点E，∠AEC=30°，AE=6cm，BE＝2 cm，
求:CD之长． 1、已知⊙O半径为5cm，弦AB=8cm,
点P为弦AB上一动点,则线段OP的
取值范围是________.自我检测 2、如图⊙O中，AB⊥CD于E ，
AE=3，BE=7则点O到CD的
距离是_______.3、已知⊙O的直径是50cm，弦AB∥CD，且AB＝40 cm，CD＝48 cm，则AB与CD之间的距离是_______． 再 见课时 三 5.3 垂径定理推论2、⊙O 中，弦AB长为8cm，AB 把⊙O分成两部分，已知较小部分的弓高为2cm，则较大弓形的弓高为____cm. 1、 如图⊙O中，直径AB =2，AB⊥ CD，
则 =_______.知识回顾归纳总结：---垂径定理推论
如果一条直径平分一条不是直径的弦，那么它垂直于这条弦, 并且平分这条弦所对的两条弧.AM=BM如图∵ CD是直径，∴CD⊥AB，探究垂径定理推论跟踪练习1、下列命题：（1）半圆不是弧；（2）长度相等的弧是等弧；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）圆的对称轴是直径；（5）平分弦的直径垂直于弦。其中真命题有（ ）个
A、1 B、2 C、3 D、42、已知⊙O中，弦AB＝6cm， OC ⊥ AB于E,CE为1cm
求：半径之长． 1、已知⊙O的直径MN分别过弦AB与
CD的中点E、F，求证：（1）AB∥CD，
（2）FE2、已知⊙O的半径为4，M为 中点，MN=
MN交AB于点E
求∠ACM的度数再接再厉1、已知⊿ABC为等腰Rt⊿，∠BAC=90°，
⊙O中过B、C两点，OA=1，BC=6，
则⊙O半径为________.能力挑战2、已知⊙O半径为5，∠OPA=30°，PO=8
求：AB之长1、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A、 B、1 C、2 D、2自我检测2、已知Rt ⊿ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， 以CA为半径的⊙C与AB、BC交于D、E两点 求：AB和AD之长再 见
2、会用垂径定理解决相关问题；
3、建立垂径定理的解题模型，体会模型思想的优越性。学习目标课时 一（1）这说明圆是一个什么图形？
（2）它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？观察思考---探讨圆的对称性归纳：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是经过圆心的直线．展示一圆形纸片做一做 请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．
沿着直径将圆对折，你有什么发现？归纳总结：---垂径定理
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧老师提示：
垂径定理是圆中一个重要的结论，文字、图形、符号三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.CD⊥AB，如图∵ CD是直径，∴AM ＝ BM，合作探究---探讨垂径定理做一做 1．下列图形中，哪些能使用垂径定理，找到相等的线段或相等的弧？为什么？2．如图，⊙O直径CD与弦AB（非直径）
交于点M，添加一个条件：____________，
使点M成为AB的中点．3、如图，点P为⊙O内一点，
请作出一条以点P为中点的弦(1)(4)(1)(3)(2) 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.
求这段弯路的半径.老师提示:
解决与弦相关的问题，一般应先画出图形，然后运用垂径定理、勾股定理以及方程的思想来解决.典例分析注：AB=a, OE=d, 弓高DE=h，圆半径为r, 中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.（1）h= r - d（2）形成模型学以致用赵州石拱桥 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥
拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,
拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,
求桥拱的半径(精确到0.1m).赵州石拱桥解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得 R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.现学现用 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，
求油的最大深度. 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽AB=7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？合作探究：船能过拱桥吗练习提高1、以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆
于C、D两点 求证：AC=BD2、如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，
求证： AC=BD通过本节课的学习,你对圆的对称性有哪些认识？
你有哪些收获？ 课堂总结达标测试 2． “圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：
“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，
CE＝1，AB＝10，求CD的长．”
根据题意可得CD的长为________．1、如图， ⊙O 中直径AB⊥CD于P，则下列结论（ ）不一定成立
A、 ∠COB =∠BOD B、CE=DE
C、AC=AD D、OP=PB 3、已知⊙O中，弦AB=10，P为劣
弧 上一动点（点P不与A、B重合）
OE⊥AP, OF⊥PB,垂足为E、F.
则EF=______. 4、已知如图，一直线交⊙O于C、D两点，
且OA=OB
求证：AC=BD再见！课时 二垂径定理练习课知识回顾1、垂径定理的内容是什么？ 2、已知CD为⊙O直径， CD ⊥ AB于M ，
CM=12，DM=8，则弦AB的长是_______.3、如右图是一隧道的的截面，其形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知路宽AB=10m，隧道净高CD=7m，则隧道所在的圆的半径是__________m.拓展练习1、已知半径为5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB＝8 cm，CD＝6 cm，求AB、CD之间的距离． 合作探究一1、已知⊙O半径为5cm,点P为⊙O内一点，OP=4，则过点P且长度为整数的弦有（ ）条
A、3 B、4 C、 5 D、81、 如图， AB、CD为⊙O的两条弦，AB=CD，
OE⊥AB, OF⊥CD垂足为E、F.
求证：OE=OFDOBCAEF合作探究二2、已知⊙O中直径AB交弦CD于点E，∠AEC=30°，AE=6cm，BE＝2 cm，
求:CD之长． 1、已知⊙O半径为5cm，弦AB=8cm,
点P为弦AB上一动点,则线段OP的
取值范围是________.自我检测 2、如图⊙O中，AB⊥CD于E ，
AE=3，BE=7则点O到CD的
距离是_______.3、已知⊙O的直径是50cm，弦AB∥CD，且AB＝40 cm，CD＝48 cm，则AB与CD之间的距离是_______． 再 见课时 三 5.3 垂径定理推论2、⊙O 中，弦AB长为8cm，AB 把⊙O分成两部分，已知较小部分的弓高为2cm，则较大弓形的弓高为____cm. 1、 如图⊙O中，直径AB =2，AB⊥ CD，
则 =_______.知识回顾归纳总结：---垂径定理推论
如果一条直径平分一条不是直径的弦，那么它垂直于这条弦, 并且平分这条弦所对的两条弧.AM=BM如图∵ CD是直径，∴CD⊥AB，探究垂径定理推论跟踪练习1、下列命题：（1）半圆不是弧；（2）长度相等的弧是等弧；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）圆的对称轴是直径；（5）平分弦的直径垂直于弦。其中真命题有（ ）个
A、1 B、2 C、3 D、42、已知⊙O中，弦AB＝6cm， OC ⊥ AB于E,CE为1cm
求：半径之长． 1、已知⊙O的直径MN分别过弦AB与
CD的中点E、F，求证：（1）AB∥CD，
（2）FE2、已知⊙O的半径为4，M为 中点，MN=
MN交AB于点E
求∠ACM的度数再接再厉1、已知⊿ABC为等腰Rt⊿，∠BAC=90°，
⊙O中过B、C两点，OA=1，BC=6，
则⊙O半径为________.能力挑战2、已知⊙O半径为5，∠OPA=30°，PO=8
求：AB之长1、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A、 B、1 C、2 D、2自我检测2、已知Rt ⊿ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， 以CA为半径的⊙C与AB、BC交于D、E两点 求：AB和AD之长再 见