数学人教A版（2019）必修第二册8.4.1平面 课件（共25张ppt）

(共25张PPT)
8.4.1 平面
情境导入
前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素,即涉及点线面，为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.
思考：点和线我们在小学初中阶段已经有了一定的研究，那么类比线，你能知道什么是平面吗？
新知探究
思考：点和线我们在小学初中阶段已经有了一定的研究，那么类比线的定义，你能知道什么是平面吗？
平静的海面
平整的路面
桌面、黑板面
平面的形象
面和点、直线一样是不加定义的最基本、最原始的几何概念。那么你能否抽象出平面的特征呢？
新知探究
几何里所说的“平面”（）就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
平面 直线
绝对的平 绝对的直
无限延展 无限延展
无薄厚之分 ，不计大小 无粗细之分
辨析1：判断正误.
(1) 一个平面长 4 米，宽 2（ ） (2) 平面有边界（ ）
(3)一个平面的面积是 25（ ） (4) 一个平面可以把空间分成两部分（ ）
×
×
×
√
新知探究
问题1：平面如何画呢？
直线的画法：画出直线的一部分来表示直线
平面的画法：画出平面的一部分来表示平面
类比生成
矩形直观图
水平平面
直立平面
相交平面
M
N
M
N
在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画.
新知探究
平 面
平面的表示：
①用希腊字母表示：平面、平面、平面等,并写在平行四边形一个角内.
②用大写英文字母表示：平面、平面.
新知探究
问题2：点动成线，线动成面，面动成体。那么，点线面之间有什么位置关系呢，又应该如何表示？
图形语言 文字语言 符号语言
在 上
在 外
在 内
在 外
新知探究
图形语言 文字语言 符号语言
与 平行
相交于
与 异面
在 内
图形语言 文字语言 符号语言
新知探究
与 平行
相交于
相交于
与 平行
新知探究
思考：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面
过空间中一点可以做几个平面？ 过空间中两点呢？ 三点呢？
新知探究
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
A
C
B
也可以简单说成:“不共线的三点确定一个平面”.
基本事实1给出了
确定一个平面的依据
符号语言:
A、B、C三点不共线存在唯一的平面使
思考：不共线三点确定一个平面，那直线跟平面有什么关系？如果直线与平面有一, ./个公共点,直线 是否在平面内？如果直线 与平面有两个公共点呢
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
符号语言：，，且，.
新知探究
思考：如果直线与平面有一个公共点,直线 是否在平面内？如果直线 与平面有两个公共点呢
α
l
A
B
利用基本事实2可以判断
直线是否在平面内
追问：根据基本事实1、2，你能知道还有什么可以确定平面的吗？
新知探究
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
A
b
P
确定一个平面的另外几种方法.
你能试着证明它吗？
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言：，且，且.
新知探究
思考：如下图,把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
相交于过点的一条直线.
练习巩固
辨析1：判断正误.
1.我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面.（ ）
2.直线与平面有且只有两个公共点. （ ）
3.10个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚一些.（ ）
4.一个平面的面积是.（ ）
5.经过空间任意三点能确定一个平面.（ ）
6.四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.（ ）
7.基本事实2是确定直线在平面内的依据.（ ）
【答案】×，×，×，×，×，×，√.
练习巩固
辨析2：如下图，在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由.
(1)直线在平面内( )
(2)平面与平面的交线为( )
(3)由确定一个平面( )
(4)由确定的平面是平面( )
(5)由确定的平面与由确定的平面是同一平面( )
【答案】×，√，×，√，√.
练习巩固
辨析3：“直线经过平面外一点”用符号表示为( ).
A. B. C. D.
【答案】C
练习1：用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α ，β 分别相交于点A，B；
(2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于 点C，点 C 不在直线 AB 上．
解：(1)
(2)
练习巩固
变式1：用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)三个平面 ，， 相交于 ，且平面 与平面 相交于 平面 与平面 相交于 平面 与平面 相交于 ；
(2)点 ， 在平面 内，直线 与平面 交于点，点 不在直线 上；
(3)直线 ， 分别在平面 ， 内，且点 在平面 与平面 的交线 上.
解：(1)
练习巩固
变式1：用符号表示下列语句，并画出图形．
(2)点 ， 在平面 内，直线 与平面 交于点，点 不在直线 上；
(3)直线 ， 分别在平面 ， 内，且点 在平面 与平面 的交线 上.
解：(1)
(2)
练习巩固
练习2：如图所示，已知，，.求证：直线，，在同一平面内.
证明(法一：纳入平面法)：
∵，∴和确定一个平面.
∵，∴.
又∵，∴.
同理可证.又∵，，∴.
∴直线，在同一个平面内.
练习巩固
练习2：如图所示，已知，，.求证：直线，，在同一平面内.
证明(法二：辅助平面法)：
∵，∴，确定一个平面.
∵，∴，确定一个平面.
∵，,∴.∵，,∴.
同理可证.
∴不共线的三个点，，既在平面内，又在平面内.
∴平面和重合，即直线，在同一个平面内.
练习巩固
变式2：如图所示，已知，，.求证：直线，，在同一平面内.
证明：如图所示.∵，
∴过有且只有一个平面.
设，，
∴，，且，，
∴.即过有且只有一个平面.
练习巩固
练习3：如图，在正方体中，设与平面交于点,求证：三点共线.
证明：如图，连接，，显然平面，
平面，∴平面.
同理平面.
∴平面平面.
∵平面，∴平面.
又∵平面，∴平面.
∴点在平面与平面的交线上，
即，故三点共线.
练习巩固
变式3：三个平面两两相交于三条直线，即，，，若直线和不平行，求证：三条直线必相交于同一点.
证明：如图，∵，，
∴.
∴直线和不平行，∴必相交.
设，则，.
∴，∴.
又，∴.
故三条直线必相交于同一点.
小结
平面
平面的基本性质
平面的概念及其表示
平面的概念
平面的画法和表示
平面的基本事实
推论