上海市青浦区教师进修学院附属中学2022－2023学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

青教院附中2022学年第一学期期中考试
九年级数学试卷 2022年11月
一.单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如果2x＝3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　）
A. B. C. D.
2. 下列说法正确是（ ）
A. B. 如果和都是单位向量，那么
C. 如果，那么 D. （为非零向量），那么
3. 如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（　　）
A B. C. 2 D.
. 第3题图 第4题图
4. 如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A. B. C. D.
5. 如图，已知，若，，，则长（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 两个相似三角形的相似比为4：9，则它们的面积之比为_____．
8．已知线段cm，点C是AB的黄金分割点，且那么线段AC的长为 ▲ cm．
9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=，那么cos∠B=_____．
10 计算：＝____．
11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，且tanA=，则AC=_____．
第11题图 第12题图 第14题图
12. 如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是_____．
13. ，在中，，是上一点且，点E在AC上，当________时，使得与相似．
14. 如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
15．如图，已知在△ABC中，AB=3，AC=2，D是边AB上的一 点，∠ACD=∠B，∠BAC的平分线AQ与CD、BC分别相交于点P和点Q，那么的值等于 ▲ ．
16. 如图，已知AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长交边AC于点E，联结DE，那么S△ABC：S△GED的 值
如图，在矩形ABCD中，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，如果EF＝AD，矩形的面积是S，那么图中阴影部分的面积可以用S表示为____．
第16题图 第17题图
18．如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=2，BC=8，∠B=60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ= ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分
19计算
20如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O．
如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长
．
（2）如果B0：OE：EC＝2：4：3，AB＝3，求CD的长．
21（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图8，在△ABC中，点G是△ABC的重心，联结AG，联结BG并延长交边AC于点D，过点G作GE//BC交边AC于点E．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）当AG⊥BD，BG=6，∠GAD=45° 时，求AE的长．
22. 如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图10，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB=DC，EG//AB，AE、BD交于点F，BF=AG．
（1）求证：△BFE∽△CGE；
（2）当∠AEG=∠C时，求证：．
24. 在平面直角坐标系xOy中，已知B，A分别是y＝﹣x+4与x轴，y轴的交点．
（1）C在线段AB上，＝，求C的坐标．
（2）在第（1）题的条件下，求tan∠AOC的值．
（3）若D在直线AB上，tan∠BOD＝，求D的坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
如图12，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点A作射线AM //BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE=∠C．
（1）当AD=1时，求FB的长；
（2）设AD=x，FG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长．
2022学年度第一学期九年级数学期中试卷评分参考
2022.11
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．B 2 ．D 3．B 4 A 5C 6．C
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．16;81 8．． 9． 10． 11．6
12． 13． 14．10 15． 16．12
17． 18．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19． …………………………………………………………………………………………………………………………（2分）
20．∵AB∥EF∥CD，
∴=，………………………（2分）
又∵CE=3，EB=9，DF=2，
∴=，………………………（1分）
解得AF=6,………………………（1分）
∴AD=AF+FD=8.……………………（1分）
（2）∵BO：OE：EC=2：4：3，
∴BO：CO=2：7，……………………（1分）
∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C
∴△ABO∽△DCO，…………………（1分）
∴==，…………………（2分）
又∵AB=3，
∴CD=．…………………（1分）
21．解：（1）∵点G是△ABC的重心，
∴BD是AC边上的中线，即…………………………………（1分）
∴， ……………………………………………………（1分）
∴． ……………………………………………（1分）
∵点G是△ABC的重心，
∴BG=2GD，即． ……………………………………………（1分）
∴．……………………………………（1分）
（2）由上可知∵BG=2GD=6， ∴GD=3． ……………………………（1分）
在Rt△AGD中，sin∠GAD=，
∴AD=． ………………………………………………………………（1分）
∵BD是AC边上的中线，
∴DC=AD=．……………………………………………………………（1分）
∵GE//BC，
∴，
∴DE=． ………………………………………………………………（1分）
∴AE=AD+DE=+=． …………………………………………（1分）
22题如图，过点A作AE⊥BC，……………………………………（1分）
在Rt△ABE中，tan∠ABC=，AB=5，
∴AE=3，BE=4，…………………………………（2分）
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，………………………………（1分）
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；（1分）
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF=，
∵tan∠DBF=，
∴DF=，………………………………（2分）
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，
∴AD=5﹣=，………………………………（2分）
则．……………………………（1分）
23．证明：（1）∵DB=DC，∴∠DBC=∠C． …………………………………（2分）
∵EG//AB，∴．……………………………………………………（2分）
∵BF=AG，∴．……………………………………………………（1分）
∴△BFE∽△CGE．……………………………………………………………（1分）
（2）∵△BFE∽△CGE，
∴∠BEF=∠CEG． …………………………………………………………（1分）
又∵EG//AB，
∴∠ABE=∠CEG．
∴∠ABE=∠BEF．
∴AB=AE． ……………………………………………………………（1分）
∵∠EAG=∠CAE，∠AEG=∠C，
∴△AEG∽△ACE．……………………………………………………………（2分）
∴．…………………………………………………………………（1分）
∴．
∴．……………………………………………………………（1分）
24题解：（1）如图，过作于 则 ……………………（1分）
………………………………………（1分)
＝，
…………………（1分）
令 则 令 则
…………………（1分）
…………………（1分）
…………………（1分）
（2）如图，连接 由（1）得： …………………（1分
…………………（1分）
（3）如图，当在线段上时，记为，过作于
…………………（2分）
当在线段的延长线上时，记为 过作于
由
经检验：符合题意；
……………………………………………………………（2分）
25．解：（1）∵AD //BC，
∴． ……………………………………………………………（1分）
∵，∴． ………………………………………（1分）
∵AD //BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°．
∵AD=1，AB=3，∴BD=．……………………………（1分）
∴FB=． ……………………………………………………………（1分）
（2）∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=5．
∵∠BAD=90°，AB=3，，∴BD=．
∵AD//BC，∴．
∴可得 ，． ……………………………（2分）
∵∠DBE=∠C，∠BFG=∠CFB，
∴△FBG∽△FCB．………………………………………………………（1分）
∴．
∴．
即（）．………………………………………… （4分
（3）AD的长为或或．………………………………………… （3分）
A
B
C
Q
D
P
（第15题图）
E
A
C
B
G
D
图8
F
G
E
D
A
B
C
图10
C
F
G
E
D
A
B
图12
C
A
B
备用图
M
M