2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则在处的导数是( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
3.下列命题中正确的为( )
散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系；
经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
样本相关系数的绝对值越接近于，表明两个变量线性相关性越弱；
同一组样本数据中，决定系数越大的模型拟合效果越好
A. B. C. D.
4.某班将名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好分配名同学共有种不同的方法．( )
A. B. C. D.
5.某市年至年新能源汽车年销量单位：千台与年份代号的数据如下表：
年份
年份代号
年销量
若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为，则表中的值为( )
A. B. C. D.
6.我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
7.芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的图是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有个坏点，若将其按照图的方式切割成个大小相同的正方形，得到块第代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第代芯片的产品良率为若将这块原材料切割成个大小相同的正方形，得到块第代芯片，则由这块原材料切割得到第代芯片的产品良率为( )
A. B. C. D.
8.已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于( )
A. B.
C. D.
9.若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.设，随机变量的分布列为：
则当在上增大时( )
A. 单调递增，最大值为 B. 先增后减，最大值为
C. 单调递减，最小值为 D. 先减后增，最小值为
11.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
12.若存在，使不等式成立，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在等比数列中，，，则等于 ．
14.一个篮球运动员投篮一次得分的概率为，得分的概率为，不得分的概率为，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为，则的最小值为______．
15.如图，在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和，若第行中的三个连续的数之比是：：，则的值是______．
16.已知函数若关于的方程恰好有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某校用随机抽样的方法调查学生参加校外补习情况，得到的数据如表：
不及格 及格 良好 优秀
学生人数
参加校外补习人数
从中任取一名学生，记“该生参加了校外补习”，“该生成绩为优秀”，求及；
能否在犯错误的概率不超过的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关？
附：，其中．
18.本小题分
已知函数，若在点处的切线方程为．
求，的值；
求函数在上的最大值．
19.本小题分
进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
求和的值；
试求两人共答对道题的概率．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求点到平面的距离；
Ⅲ求平面与平面的夹角．
21.本小题分
随着现代化进程的不断推进，作为可持续发展代表之一的新能源汽车行业在近几年飞速崛起．某新能源汽车零部件工厂统计了某天甲、乙两组工人每组人生产型工件的个数，如表所示：
甲组
乙组
若分别从甲、乙两组工人中各抽取一人，求被抽取到的两人这天生产型工件个数均不低于的概率；
从这天甲、乙两组工人生产型工件个数不低于的工人中随机抽出人进行质量评估，记这人中乙组工人数为，求的分布列和数学期望．
22.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若有两个极值点，，且，当时，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
所以．
故选：．
先对函数求导，然后把代入即可求解．
本题主要考查了函数的求导运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，且，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查散点图、回归直线、变量间的相关关系、决定系数，属于基础题．
结合散点图，回归直线，样本相关系数，决定系数的相关知识逐项分析即可判断．
【解答】
解：对于，散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系，故正确；
对于，回归直线也可能不过任何一个样本数据点，故错误；
对于，样本相关系数的绝对值越接近于，表明两个变量线性相关性越强，故错误；
对于，同一组样本数据中，决定系数越大的模型拟合效果越好，故正确．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，分步分析：
先人中选出人，安排到甲社区，有种方法，
将剩下人分成组，安排到乙、丙社区，有种方法，
则有种安排方法；
故选：．
根据题意，分步分析：先人中选出人，安排到甲社区，将剩下人分成组，安排到乙、丙社区，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：依题意，，，
于是回归直线经过点，则，解得，
故选：．
根据数表求出样本的中心点，再代入回归直线方程计算作答．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列与等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解．
【解答】
解：设甲，乙每天织布分别记为数列，，
由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，
故，
即，
经检验时符合题意．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查归纳推理，考查运算求解能力，属于基础题．
依题意将原材料进行切割，得到有坏点的芯片数，即可判断．
【解答】
解：依题意将这块原材料如下切割得到第代芯片，其中块无坏点，块有坏点，
故第代芯片的产品良率为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，，，点在上，且，为中点，
则．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
设二项式通项，待定系数计算即可．
本题考查二项式定理，属于基础题．
【解答】
设的通项为，
若有常数项，则只需，而，显然的最小值为，此时．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由分布列的性质可得，，解得，
，
，
由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，有最小值．
故选：．
根据已知条件，结合分布列的性质，求出，再结合期望与方差的公式，即可求解．
本题主要考查分布列的性质，以及期望与方差的公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点差法求双曲线的方程，考查双曲线的性质，考查最小距离的问题，属中档题．
由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值．
【解答】
解：由双曲线知渐近线方程为，
又双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，，双曲线方程为，
设，，
，，
，
又弦的中点为，
，，设，
，解得，，解得，
所以双曲线的方程为，
由圆的方程可得，
圆心为，半径为，
．
当且仅当，，三点共线时取等号．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：因为成立，
即，
即，
即，
令，
即有，
因为，所以，
令，则原问题等价于存在，使得成立，
因为，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，
而，
所以当时，，
若存在，使得成立，
只需且，解得且，
所以，
故的取值范围为
故选：．
由成立，可得，令，构造函数，从而问题转化为存在，使得成立，求导判断单调性求得当时，，，进而得到且，即可求解．
本题考查了转化思想、导数的综合运用，构造函数是解答本题的关键，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
由已知结合等比数列的性质即可求解．
【解答】
解：因为等比数列中，，，
故，
则．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：因为一位篮球运动员投篮一次得分概率为，得分概率为，不得分的概率为，
且，，，，
已知他投篮一次得分的数学期望为，
所以，
此时，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
由题意，得到，再结合基本不等式即可求得的最小值．
本题考查了离散型随机变量的期望与基本不等式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得第行的数分别为：，
设第行中从第项开始，连接的三个数之比为：：，
则，，，
解得．
故答案为：．
先根据题意，设第行中从第项开始，连接的三个连续的数之比为：：，列方程组，能求出结果．
本题考查杨辉三角形的应用、组合数的性质及运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，．
在上单调递减，在上单调递增．
时，取得极小值．
当时，．
根据图像的平移变化可以作出的函数图像如图所示：
设的两根为，．
由恰好有四个不相等的实数根．
则方程的一根在区间上，另一根在区间上．
不妨设，．
根据二次函数零点分布可得：，即．
故的取值范围为．
故答案为：．
判断函数的单调性，作出的函数图像，根据方程恰好有四个不相等的实数根．
可知方程的一根在区间上，另一根在区间上，根据二次函数零点分布可得，解不等式组即可求解．
本题主要考查函数的零点和函数的图像，属于难题．
17.【答案】解：由给定的数表得，，，
所以；
由已知得列联表：
参加校外补习 不参加校外补习 合计
成绩优秀或良好
成绩不为优秀且良好
合计
零假设为：学生成绩优秀或良好与校外补习无关联，
则，
根据小概率值的的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以可以认为成立，即认为学生成绩优秀或良好与校外补习无关．
【解析】根据表中数据求出，，，再利用条件概率的概率公式求解；
先得到列联表，计算的值，再与临界值比较即可．
本题主要考查了条件概率的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
18.【答案】解：，
由题意得，
所以，；
由得，，
因为，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，
又，，
故函数在上的最大值为．
【解析】本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．
先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解，；
结合导数分析函数的单调性，然后结合单调性与最值关系可求函数的最大值．
19.【答案】解：设甲同学答对第一题，乙同学答对第一题，
则，，
设甲、乙二人均答对第一题，甲、乙二人恰有一人答对第一题，
则，，
二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
与相互独立，与相互互斥，
，
，
由题意得：，
解得或，
，，．
设甲同学答对了道题，乙同学答对了道题，，，，
由题意得：
，，
，，
设甲乙二人共答对道题，则，
，
甲乙两人共答对道题的概率为．
【解析】设甲同学答对第一题，乙同学答对第一题，则，，设甲、乙二人均答对第一题，甲、乙二人恰有一人答对第一题，则，，则，，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式列出方程组，能求出和的值．
设甲同学答对了道题，乙同学答对了道题，，，，设甲乙二人共答对道题，则，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲乙两人共答对道题的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】证明：Ⅰ由已知可得：，，
如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则由，，
可得方程组，解得，
可得，由于，可得，
所以，设平面的法向量，
由，解得平面的法向量是，
，不在平面内，
故EF平面．
解：Ⅱ设点到平面的距离为，
由，，
点到平面的距离是．
Ⅲ设平面的法向量为，
由，可得平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为．
则，则，
故平面与平面的夹角为．
【解析】Ⅰ建立空间直角坐标系，写出的方向向量和平面的法向量，通过计算其向量垂直来证明线面平行；
Ⅱ利用向量法求点到面的距离；
Ⅲ利用法向量的夹角求二面角．
本题主要考查点到平面的距离和二面角的平面角，属于中档题．
21.【答案】解：设事件为“被抽取到的两人这天生产型工件个数均不低于”，
则由表格可得，甲、乙组工人每组人中，生产型工件个数均不低于的人数分别为和，
，
故被抽取到的两人这天生产型工件个数均不低于的概率为；
依题意，甲、乙组工人每组人中，生产型工件个数均不低于的人数分别为和，所以所有可能的取值为，，，，
则，，，，
所以的分布列为

所以．
【解析】本题考查离散型随机变量及其分布列，属于中档题．
根据题意，分别找出甲、乙组工人每组人中，生产型工件个数均不低于的人数，再根据概率公式求解即可；
根据题意，所有可能的取值为，，，，分别计算对应概率，写出分布列和期望即可．
22.【答案】解：的定义域为，
，令该函数与同号，
当，即时，在上恒成立，故此时是增函数；
当，即时，有两个正根，，或，显然，
此时的单调递增区间为，，单调递减期间为；
同理当时，在上恒成立，故此时是增函数；
综上可知：当时，是增函数；时，的两根为：，或，
此时的单调递增区间为，，单调递减期间为
由知，，再令
当，的两个极值点为的两个互异实根，，
且，，则，即，
显然，由整理得，解得，
而，
将代入上式整理得，再将代入上式得：
，，
令，，
在上恒成立，故在上单调递减，
，，且，
即的取值范围为
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及函数的值域问题，属于难题．
求出导数，然后讨论在上的符号即可；
求出导数的两个根，并结合韦达定理找到根与系数之间的关系，然后将表示为关于的函数，再求值域即可．
第1页，共1页