2022-2023学年河北省石家庄市辛集市育才中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市辛集市育才中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.张先生打算第二天从本地出发到上海，查询得知一天中从本地到上海的动车有列，飞机有个航班，且无其他出行方案，则张先生从本地到上海的出行方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
3.设随机变量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
5.从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，则某人从甲地到乙地至少遇到次红灯的概率为( )
A. B. C. D.
6.现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则( )
A. B. C. D.
7.已知变量关于的回归方程为，其一组数据如表所示：若，则预测值可能为( )
A. B. C. D.
8.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的均值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好
B. 若，，则
C. 回归直线至少经过点，，，中的一个
D. 设随机变量，若，则
10.下列结论正确的是．( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 在的展开式中，含的项的系数是
D. 的展开式中，第项和第项的二项式系数最大
11.设离散型随机变量的分布列为：
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有( )
A. B. ，
C. ， D. ，
12.年月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是( )
A. 若企业最多派名医生，则所有不同分派方案共种
B. 若每家企业至少分派名医生，则所有不同分派方案共种
C. 若每家企业至少分派名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共种
D. 所有不同分派方案共种
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知随机变量，若，则 ．
14.离散型随机变量的分布列如表，且，则
15.数学老师从道习题中随机抽道让同学检测，规定至少要解答正确道题才能及格．某同学只能求解其中的道题，则他能及格的概率是______．
16.有五张卡片，它的正反面分别写与，与，与，与，与，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成______个不同的三位数．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的展开式中的所有二项式系数之和为．
求的值；
求展开式中的系数．
18.本小题分
现有甲、乙等人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法，求：
甲、乙不能相邻；
甲、乙相邻且都不站在两端．
19.本小题分
北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者现有备选题道，规定每次测试都从备选题中随机抽出道题进行测试，至少答对道题者视为合格，若甲能答对其中的道题，求：
甲测试合格的概率；
甲答对的试题数的分布列和数学期望．
20.本小题分
在，，三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为：：，现从这三个地区中任意选取一个人．
求这个人患流感的概率；
如果此人患流感，求此人选自地区的概率．
21.本小题分
某公司年会举行抽奖活动，每位员工均有一次抽奖机会．活动规则如下：一只盒子里装有大小相同的个小球，其中个白球，个红球，个黑球，抽奖时从中一次摸出个小球，若所得的小球同色，则获得一等奖，奖金为元；若所得的小球颜色互不相同，则获得二等奖，奖金为元；若所得的小球恰有个同色，则获得三等奖，奖金为元．
求小张在这次活动中获得的奖金数的概率分布及数学期望；
若每个人获奖与否互不影响，求该公司某部门个人中至少有个人获二等奖的概率．
22.本小题分
生男生女都一样，女儿也是传后人，由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地户家庭进行调查统计这户家庭中，头胎为女孩的频率为，生二孩的频率为，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为．
完成下列列联表：
生二孩 不生二孩 合计
头胎为女孩
头胎为男孩
合计
在犯错误的概率不超过的前提下能否认为是否生二孩与头胎的男女情况有关．
附：
其中．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，从本地到上海的动车有列，飞机有个航班，
若坐动车，有种方案，
若坐飞机，有种方案，
故一共有种不同的出行方案；
故选：．
根据题意，分析“坐动车”和“坐飞机”的方案数目，由加法原理计算可得答案．
本题考查分类计数原理的应用，注意分类计数原理和分步计数原理的区别，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：的通项公式为
，
令，可得，
则展开式的常数项为．
故选：．
求出通项，运用指数幂的运算性质，令指数为，解方程可得，即可得到所求常数项．
本题考查二项式定理的运用，主要是通项公式的运用和指数幂的运算性质，考查运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项分布及独立重复试验的模型，本题解题的关键是首先根据条件求出题目中要用的的值，在根据二项分布的概率公式得到结果．
根据随机变量，，写出概率的表示式，求出其中的值，把求得的的值代入，求出概率．
【解答】
解：随机变量，，
，
，
，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
间接法：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数共有种，去掉甲乙被分在同一所学校的情况共有种即可．
本题考查排列组合及简单的计数问题，属中档题．
【解答】
解：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数，
可从个中选个，和其余的个看作个元素的全拍列共有种，
再排除甲乙被分在同一所学校的情况共有种，
所以不同的安排方法种数是
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
可得某人从甲地到乙地至少遇到次红灯的概率
．
故选：．
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
本题考查相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知；，
则，
故选：．
先求出抽到的两名医生性别相同的事件概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件概率公式即可．
本题依托组合数公式解决条件概率问题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：把两边取对数，得，
令，则，
则：
，，
由，得，故．
，，
当时，．
故选：．
把两边取对数，得，求解，把代入求得，进一步求得得答案．
本题考查线性回归方程的应用，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：依题意知，的所有可能值为，，．
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分．
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，．
为时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮，．
故E．
故选：．
设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为．
若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率，且对下一轮比赛是否停止无影响．
由此可计为，的概率为时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止的概率即可．
本题主要考查相互独立事件的概率以及分步分类计数原理，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，在残差图中，残差点比较均匀的分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好，选项正确；
对于，，选项正确；
对于，线性回归直线不一定经过样本数据中的一个点，它是最能体现这组数据的变化趋势的直线，选项错误；
对于，随机变量，若，则，选项正确；
故选：．
根据残差图中残差点的分布情况与模型的拟合效果可判断选项A，根据公式计算出结果，判断选项B，线性回归直线一定经过样本中心点，线性回归直线不一定经过样本数据中的一个点，判断选项C，根据正态分布的性质，判断选项D．
本题主要考查方差的计算，线性回归方程的性质，正态分布的对称性，残差的定义与应用等知识，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，组合数的计算公式属于中等题．
由题意利用二项式系数的性质，组合数的计算公式，得出结论．
【解答】
解：若，则 或，解得 或，故A错误；
若，则，求得，故B正确；
在的展开式中，含的项的系数是，故C正确；
的展开式中，第项的二项式系数为，第项的二项式系数，故只有第项的二项式系数最大，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由离散型随机变量的分布列的性质得：
，
，
，
，．
故选：．
根据频率和为，求出，再根据离散型随机变量的分布列的性质求出，，，，从而可进行判断．
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：若企业最多派名医生，则分两种情况，
企业分派名医生，则不同的分派方案有种；
企业没有分派医生，则不同的分派方案有种，
所以若企业最多派名医生，则所有不同分派方案共有种，故A正确；若每家企业至少分派名医生，则其中有一家分派名医生，
先从甲、乙、丙、丁名医生中任选两名捆绑在一起，再和另外两名医生全排列，
则不同的分派方案有中，故B正确；
若每家企业至少分派名医生，且医生甲必须到企业，
分两种情况：乙、丙、丁分别到三个企业，则有种分派方案；
乙、丙、丁到，两个企业，且每个企业至少有名医生，则有种分派方案，
所以共有种不同的分派方案，故C正确；
所有不同分派方案共有种，故D错误．
故选：．
根据分类加法和分步乘法计数原理及排列组合的知识对每个选项分别求解即可求得结论．
本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由已知结合对称性求解．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
【解答】
解：随机变量，
正态分布曲线的对称轴方程为．
又，，
则．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望．
先根据概率之和为，求出的值，再根据数学期望公式，求出的值，再根据方差公式求出
，继而求出．
【解答】
解：，
，解得，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：数学老师从道习题中随机抽道让同学检测，
基本事件总数，
规定至少要解答正确道题才能及格．某同学只能求解其中的道题，
则他能及格包含的基本事件个数，
他能及格的概率．
故答案为：．
先求出基本事件总数，再求出他能及格包含的基本事件个数，由此能求出他能及格的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
16.【答案】
【解析】 先排百位有种，再排十位有种，再排个位有种，去掉百位为的情况为．
故答案为： ．
间接法，分百位为和不为，利用组合知识、乘法原理可得结论．
本题考查组合知识、乘法原理，考查学生的计算能力，正确分类讨论是关键．
17.【答案】解：由题意可得，，解得；
，
二项展开式的通项为．
由，得．
展开式中的系数为．
【解析】直接利用二项式系数的性质列式求得值；
把中求得的代入，写出二项展开式的通项，再由的指数为求得值，则答案可求．
本题考查二项式系数的性质，考查二项展开式的通项，是基础题．
18.【答案】解：先将除甲、乙外三人全排列，有种，再将甲、乙插入个空当中的个，有种，
由分步乘法计数原理可得，完成这件事情的方法总数为种．
将甲、乙两人“绑”看成一个整体，排入两端以外的两个位置中的一个，有种，再将其余人全排列有种，
故共有种不同排法．
【解析】由插空法求解；由捆绑法求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
19.【答案】解：设甲测试合格为事件，则；
甲答对的试题数可以为，，，，
．
所以的分布列为：
．
【解析】利用古典概型求概率的公式求概率即可；
利用古典概型求概率的公式求概率，然后写分布列，最后求期望即可．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
20.【答案】解：设这个人患流感为事件，
则．
设此人选自地区为事件，
则，
此人选自地区的概率为．
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
利用条件事件的概率公式直接求解．
本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式，条件事件的概率公式等基础知识，是中档题．
21.【答案】解：小张在这次活动中获得的奖金数的所有可能取值为，，．
，
，
，
或
所以奖金数的概率分布为
奖金数的数学期望元．
设个人中获二等奖的人数为，则，
所以，
设该公司某部门个人中至少有个人获二等奖为事件，
则．
答：该公司某部门个人中至少有个人获二等奖的概率为．
【解析】小张在这次活动中获得的奖金数的所有可能取值为，，求出概率，得到分布列，即可求解期望．
设个人中获二等奖的人数为，则，然后求解概率即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．
22.【答案】解：因为头胎为女孩的频率为，所以头胎为女孩的总户数为，
因为生二孩的概率为，所以生二孩的总户数为．
列联表如下：
生二孩 不生二孩 合计
头胎为女孩
头胎为男孩
合计
由列联表得：
，
故在犯错误的概率不超过的前提下能认为是否生二孩与头胎的男女情况有关．
【解析】由头胎为女孩的频率为，得到头胎为女孩的总户数，再由生二孩的频率为，得到生二孩的总户数，完成列联表即可；
由列联表中的数据，代入，求得，再与临界表对比下结论．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题．
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