江苏省无锡市江阴长泾中学2023-2024学年高一下学期3月份阶段性检测数学试题(含答案)

2024年春学期3月份阶段性检测
高一数学试卷
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知向量，，那么向量可以是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．在△ABC中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 ( )
A． B． C． D．
4．在△ABC中，为边上的中线，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．△ABC中，若，且，那么△ABC一定是（）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
6．来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A． B． C． D．
7．若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
8．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得△ABC有两个解的是（ ）
A．， ， B．，，
C．，， D．，，
10．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若，则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
11．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，，，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，，， ，若 ，， ，则　 　．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，试写一个非零向量_________，使得.
14．在△ABC中，为上一点，①为的中线，则 ；②为的角平分线，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知，，，试求：
（1）； （2）与的夹角.
16．设，是两个不共线的向量，如果，，.
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定的值，使和共线；
（3）若，为单位向量，且，夹角的正弦值为，求的模.
17．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D．
（1）若BD＝3，求cosA；
（2）若∠D＝60°，求CD.
18．如图，在△ABC中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，．
（1）若，求的值；
（2）若()，()，求的最小值.
19．如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，.
（1）求边的长度；
（2）求△ABC的面积；
（3）点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值.
2024年春学期3月份阶段性检测
高一数学试卷答案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1、A 2、C 3、D 4、A 5、D 6、B 7、C 8、B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9、AD 10、AB 11、BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12、 13、(1,-1) 14、,
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知，，，试求：
（1）；
（2）与的夹角.
【答案】（1）2；（2）
【解析】（1）由，可得，则，
即，又，，则，
则……………………6分
（2），
又，则，故与的夹角为.……13分
16．设，是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
(3)若，为单位向量，且，夹角的正弦值为，求的模.
【解答过程】（1）证明：因为，
所以与共线.
因为与有公共点B，
所以A，B，D三点共线.……………………5分
（2）..……………………10分
（3）或.……………………15分
17．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D．
（1）若BD＝3，求cosA；
（2）若∠D＝60°，求CD．
17【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意，得∠ACD＝∠ABD＝90°，所以A+D＝180°，
如图，
在Rt△ABD和Rt△ACD中有AB2+BD2＝CD2+AC2，
又AB＝2，AC＝1，BD＝3，
∴，
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB AC cosA，
即BC2＝5﹣4cosA，
在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝BD2+CD2﹣2BD CD cos（180°﹣A），
即，两式联立消去BC2，
得，
解得：．.……………………7分
（2）因为A+D＝180°，D＝60°，所以A＝120°，
由（1）知BC2＝5﹣4cos120°＝7，所以，
在△ABC中，由正弦定理，得，
所以，
又∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝90°，所以，
所以，
在△DBC中，，
所以．.……………………15分
18．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
【解答过程】（1）因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．.……………………7分
（2）因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．.……………………17分
19．如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，.
(1)求边的长度；
(2)求的面积；
(3)点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值.
【答案】(1)4
(2)
(3)
【解析】（1）由题意得：，
在中，由正弦定理，得，
在中，由余弦定理，所以，
得，又∵，∴..……………………4分
（2）设，∵AD为边上的中线，∴，
则，
，
，①
整理得，即，
得或，
由①，得，∴，∴，
∴，∴..……………………10分
（3）由（2）知，，
D为BC的中点，则，
设，，、.
所以，得，
又E、G、F三点共线，所以，即.
由，得，
又，所以，
化简得，解得，，
∴，，
∴..……………………17分