广东省珠海市六校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（含解析）

2023-2024学年第二学期高二年级期中学业质量监测试题
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字造的钢笔或签字笔将自已的址名和考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.并用B铅笔将时应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答寒无效.
2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位里上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4，考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ）
A.5 B.7 C.9 D.10
3.在数列中，若，，则（ ）
A. B. C.1 D.4
4.函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ）
A.函数在区间上单调递减
B.函数在区间上单调递增
C.为函数的极小值点
D.为函数的极大值点
5.已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A.-36或36 B.-36 C.36 D.18
6.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）.
A. B. C.2 D.
7.已知函数，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8.函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…….一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数.若，则（ ）
A. B.50 C.49 D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.可能是奇函数
B.在区间上单调递减
C.当的极大值为17时，
D.当时，函数的值域是
10.已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A. B.数列的通项公式为：
C.数列的前n项和为： D.数列为递减数列
11.已知函数的导函数为，则（ ）
A.若为奇函数，则为偶函数
B.若，则为奇函数
C.若的最小值为0，则
D.若为偶函数，则为奇函数
12.已知，下列说法正确的是（ ）
A.若数列的前项和为，则该数列的通项公式为
B.设是数列的前项的乘积，且，则该数列的通项公式
C.数列中的可以等于32
D.若是等比数列的前项和，则也成等比数列
三 填空题
13.在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则___________.
14.函数的导函数为，满足关系式，则的值为___________.
15.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列的通项公式为，若，则数列的前30项和为___________.
16.定义在上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为___________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
18.（12分）记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的前21项和.
19.（12分）记为数列的前n项和.已知.
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值.
20.（12分）某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）.市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆.建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，.（参考数据：）
（1）求函数的解析式；
（2）在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由.
21.（12分）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
22.（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
参考答案：
1.A
【分析】
根据常用函数的求导公式和复合函数的求导法则即可判断.
【详解】对A，，正确；
对B，，错误；
对C，，错误；
对D，，错误.
故选：A.
2.B
【分析】
由等差数列的通项公式和前项和公式，求出和，然后利用通项公式即可求出.
【详解】
设在等差数列的公差为，，
解得，故，
故选B.
3.A
【分析】根据给定条件，探求出数列的周期，再利用周期性计算即得.
【详解】在数列中，由，，得，，，
因此数列是周期性数列，周期为3，
所以.
故选：A
4.D
【分析】
根据导数图象确定原函数的单调性，逐项分析即可求得结论.
【详解】
由图象知，不妨设导函数与x轴负半轴的交点横坐标为，
当或时，，当或时，，
故函数在单调递减，在单调递增，
故为极小值点，2为极大值点，对照选项，故A，B，C错误，D正确.
故选：D.
5.C
【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可.
【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，，
则，则，
则，
则，
故选：C.
6.A
【分析】求导，求出切点坐标，利用点线距求解.
【详解】∵，设为所求的点，
则
得，，则点P到直线的最小距离为.
故选：A.
7.C
【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.
【详解】作出函数的图象，如图所示.
由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即.
故选：C.
8.A
【分析】根据条件，列举的前几项，根据规律，写出，代入，即可求解.
【详解】由，，
，，
依此类推，，
所以.
故选：A
9.ABC
【分析】由奇函数的定义可判断A，利用导数求出函数的单调性可判断BCD.
【详解】因为对，，显然当时，为奇函数，即A正确；
因为，则函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为，故B正确；
由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，此时函数的极大值为，所以，故C正确；
由B可知，函数在和上单调递增，函数在上单调递减，所以无最大值，无最小值，故D错误.
故选：ABC.
10.ACD
【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和；根据数列与函数的关系判断数列的单调性.
【详解】因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
又因为当时，满足上式，
所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，
，
所以
，
故C正确；
因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，
故D正确.
故选：ACD.
11.ACD
【分析】根据导函数的性质和函数奇偶性进行逐项判断.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：若为奇函数，，则，故，又，是偶函数，故A正确；
对于选项B：若，又，则，故，，当时，，是奇函数，当时，，不是奇函数，所以不一定是奇函数，故B错误；
对于选项C：若的最小值为0，，，则，故C正确；
对于选项D：若为偶函数，，，，解得，故，，所以为奇函数，故D正确.
故选：ACD
12.BC
【详解】
解析：A选项的结果为所以A选项不正确；B选项用退位作商法C选项满足n≥2时，，然后用累加法得结果；D选项，首项为1，公比为-1的等比数列就不满足，所以D选项不正确.故选BC.
13.2
【分析】利用等差数列通项公式基本量计算和等比中项的性质得到方程，求出公差，检验后得到答案.
【详解】等差数列中，，公差为d，且成等比数列，
可得，
即为，化为，解得或，
若，即有4，6，9成等比数列，满足要求；
若，即有1，0，0不成等比数列.则成立.
故答案为：2
14.
【分析】对函数进行求导，代入计算即可.
【详解】由进行求导得：，
可得：，解得.
故答案为：
15.240
【分析】
根据数列的通项公式，采用并项求和的方法，即可求得答案.
【详解】由题意知，，
故数列的前30项和为
，
故答案为：240
16.
【分析】根据题意，可得函数是周期为4的周期函数，结合已知条件可得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，由此可解得原不等式的解集，注意对讨论.
【详解】，
，即的周期为4，
，
是定义在上的奇函数，.
①当时，令，
，即在R上单调递减，，
，
不等式的解集为；
②时，时，不等式成立.
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
17.【详解】（1），由题意得，
解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，在单调递增，
在单调递减，在单调递增.
又因为，，
，，
所以函数在区间上的最大值为4，，最小值为0.
18.【详解】（1）设公差为，由题设有，
解得，，
所以.
（2）由题设，
.
所以数列的前21项和为211.
19.【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，
所以，且，
所以是以为公差的等差数列.
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，.
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，.
20.【详解】（1）由题意，因为在曲线上，
即，，
所以，.
又因为，，所以线段方程为，
所以，.
所以函数的解析式为：.
（2）由题意及（1）得，
在中，
设点坐标为，则.
又，，点坐标为，
所以直角梯形的面积，
即，
所以.
令，解得.
当时，；
当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以时，函数取得最大值.
故在线段上存在点，使体育馆平面图形面积最大，
且到的距离（百米）.
21.【详解】（1）∵，∴，∴，
又∵是公差为的等差数列，
∴，∴，
∴当时，，
∴，
整理得：，
即，
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
22.【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，
即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，
即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.