4.1认识三角形第1课时课件-北师大版七年级数学下册

(共45张PPT)
第1课时
北师大版 数学 七年级下册
1 认识三角形
第四章 三角形
问题：观察下列图片，它们都有什么样的形象？在我们的生活中有没有这样的形象呢？
一、导入新课
它们都有三角形的身影.
二、新知探究
知识归纳
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的定义:
A
B
C
三角形的表示:
三角形可以用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”.除此△ABC还可记作△BCA, △CAB, △ACB等.
二、新知探究
知识归纳
边：△ABC的三边BC，AC，AB，有时也用a，b，c来表示.
如图，顶点A所对的边BC用a表示，
顶点B所对的边AC用b表示，
顶点C所对的边AB用c表示.
三角形的构成要素：
C
A
B
内角：∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
顶点：如图，点A，B，C是三角形的顶点；
c
b
a
三角形有三条边，三个内角和三个顶点.
1.如图所示.(1)以D为顶点的三角形有　　个,它们分别是　　 .
(2)∠C是△ABC中　　　　边的对角，又分别是△DFC，△DEC中　　　　,　　　　边的对角.
(3)在△DEC中,∠E的对边是　　　,在△EGB中,∠E的对边是　　　,在△EDF中,∠E的对边是　　　　.
(4)DF是△　　　　和△　　　　的公共边.
二、新知探究
跟踪练习
4
△ADG,△DEF,△DFC,△CDE
AB
DF
DE
DC
GB
DF
DEF
DFC
做一做：将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以发现三角形的三个内角有什么关系？
二、新知探究
探究二：三角形的内角和
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角，即三角形三个内角的和是180°.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
二、新知探究
小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论，他是这样做的:
(1)如图①所示，剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3.
(2)将∠1撕下，按如图②所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合.此时∠1的另一条边b与∠3的一条边a平行吗 为什么
解:平行.理由:内错角相等，两直线平行.
①
②
(3)如图③所示,将∠3与∠2的公共边延长,它与b所夹的角为∠4.∠3与∠4的大小有什么关系 为什么
③
二、新知探究
解:相等.理由:两直线平行，同位角相等.
现在，你能够确定这个三角形的内角和了吗？试写出你的证明过程？
二、新知探究
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
1
2
D
E
C
B
A
证明：三角形三个内角的和等于180°.
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等) .
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
想一想：同学们还有其他的方法吗？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
二、新知探究
跟踪练习
2.在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=∠C，求∠B，∠C的度数.
解:设∠B=∠C=x°.
因为∠A+∠B+∠C=180°,
所以40°+x°+x°=180°,
解得x=70,
所以∠B=∠C=70°.
二、新知探究
方法归纳
求三角形内角度数的方法:
(1)若已知两个内角的度数,求第三个内角的度数,则直接利用三角形内角和定理求解;
(2)若已知一个内角的度数及另两个内角之间的等量关系；或不知道任何角度，只知道三个内角之间的关系，一般根据“三角形内角和为180°”这个隐含的等量关系列方程求解.
二、新知探究
探究三：三角形的分类
小颖、小明露出的角分别是直角和钝角，由于“三角形内角和是180°”，可以得到两人拿的三角形中，其余两个内角都是锐角.
议一议:（1）下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由.
（2）下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与（1）的结果进行比较.
二、新知探究
露出的角是锐角，其余两个角的情况有三种情况：
①两个锐角；
②一个直角一个锐角；
③一个钝角一个锐角.
二、新知探究
我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：
锐角三角形
三个内角都是锐角
直角三角形
有一个内角是直角
钝角三角形
有一个内角是钝角
知识归纳
A
B
C
议一议：(1)下图是什么三角形？怎么表示？
二、新知探究
通常,我们用符号 “Rt△ABC”表示“直角三角形ABC ” .
把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边 ．
斜边
直角边
直角边
(2)直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？
直角三角形的两个锐角互余.
几何语言表示：
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°
∴∠A＋∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余）
根据“三角形的内角和为180°”易得:
想一想:观察图中的三角形,你能够按角将它们的形状分类吗
二、新知探究
解:①⑤是锐角三角形，③是直角三角形，②④是钝角三角形.
3.在下面的空白处,分别填入“锐角”，“钝角”或“直角”：
（1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是 三角形；
（2）如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是
三角形；
（3）如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是 三角形.
钝角
锐角
直角
二、新知探究
跟踪练习
　　根据三角形的内角大小判断三角形的形状时,要先求出各角的大小，然后看三个角中最大的角是什么角.
若最大的角为钝角,则三角形为钝角三角形;
若最大的角是直角,则三角形为直角三角形;
若最大的角为锐角,则三角形为锐角三角形.
二、新知探究
方法归纳
例1：如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数．
三、典例精析
解：∵CE⊥AF，
∴∠DEF＝90°（垂直的定义），
∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.
∴∠BDC＝∠EDF＝50°（对顶角相等）
在△BDC 中，∵ ∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝180°- （∠C+∠BDC）
=180°- （30°+50°）
=100°.
三、典例精析
例2：在△ABC中,∠B比∠A大36°,∠C比∠A小36°,求△ABC的各内角的度数,并判断△ABC的形状.
解:设∠A=x°,则∠B=x°+36°,∠C=x°-36°.
根据题意,得x+x+36+x-36=180,
解得x=60.
所以x°+36°=96°,x°-36°=24°.
所以∠A=60°,∠B=96°,∠C=24°.
所以△ABC是钝角三角形.
3.如图所示，在△ABC中，点D在AB上,点E在AC上，DE∥BC.若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为(　　)
A.54° B.62° C.64° D.74°
1.图中共有　　 　个三角形 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
四、当堂练习
C
2.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个锐角的度数是(　　)
A.18° B.36° C.54° D.72°
D
C
5.一副三角尺按如图所示的方式摆放(直角顶点C重合),边AB与CE交于点F,DE∥CB,则∠BFC等于(　　)
A.105° B.100° C.75° D.60°
4.如图所示，在△ABC中，∠ACB=70°，∠1=∠2，则∠BPC的度数为(　　)
A.70° B.108°
C.110° D.125°
四、当堂练习
C
A
9.如图所示，已知∠AON=40°，P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A的度数为　 　　 　.
8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,若∠ABC=25°，则∠ACD=　　　　°.
四、当堂练习
6.一个三角形中最多有　　 个内角是钝角,最多有　 　个内角是锐角.
7.如果一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,那么这个三角形中最大的一个内角等于　　　　度.
1
3
90
25
50°或90°
四、当堂练习
10.如图所示,在△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B.
(1)试说明:CD⊥AB；
(2)如果∠A=28°,求∠B和∠BCD的度数.
解:(1)因为∠ACB=90°,
所以∠1+∠BCD=90°.
又因为∠1=∠B,
所以∠B+∠BCD=90°,
所以∠BDC=90°,
所以CD⊥AB.
(2)因为∠A=28°,∠ACB=90°,
所以∠B=90°-28°=62°.
因为∠BCD+∠B=90°,
所以∠BCD=90°-∠B=28°.
1.(1)三角形的定义:由不在　　　 的三条线段首尾
　 　　所组成的图形叫做三角形.
(2)有关概念:如图,线段AB,BC,AC是三角形的　　,点A,B,C是三角形的　　　　,∠A,∠B,∠C是相邻两边组成的角,叫做三角形的　　　,简称三角形的角.
(3)表示方法:顶点是A,B,C的三角形,记作“　　　　”,读作“　 　　”.
一、导入新课
复习回顾
同一直线上
顺次相接
边
顶点
内角
△ABC
三角形ABC
2.三角形的内角和:三角形三个内角的和等于　　 　.
3.三角形按角的大小分为: 三角形、 三角形、 三角形.
180°
4.直角三角形的表示方法及其性质:通常，我们用符号“　　 　”表示
“直角三角形ABC”，直角三角形的两个锐角　　 　.
Rt△ABC
互余
锐角
直角
钝角
观察图中的三角形，你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗
一、导入新课
情境导入
三角形除了按角分类，还可以如何分类？
想一想：你能找出下列三角形各自的特点吗？
二、新知探究
探究一：三角形按边分类
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
三边均不相等
有两条边相等
三条边均相等
腰
底边
顶角
底角
二、新知探究
知识归纳
三条边各不相等的三角形叫作不等边三角形；
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形；
三条边都相等的三角形叫作等边三角形．
思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？三角形若按边该如何分类？
二、新知探究
三角形按边分类
不等边三角形
等腰三角形
我们可以把三角形按边分类:
腰和底不等的等腰三角形
等边三角形（三边都相等
的三角形）
知识归纳
1.量一量图中的三角形的各边长,其中是等腰三角形(不包括等边三角形)的是　　　,是等边三角形的是　　　　.(填序号)
二、新知探究
③
④
跟踪练习
二、新知探究
探究二：三角形的三边关系
解:装有黄色彩灯的电线长.
方法一:测量
可以得出：
议一议：(1)元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯(如下图)，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由.
A
B C
方法二:根据“两点之间的所有连线中,线段最短”的结论，
也可以得出: .
(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系 为什么
a
b
c
B
A
C
二、新知探究
如图：根据“两点之间线段最短”，
可得a＋b＞c,
同理b＋c＞a，
a＋c＞b.
你能得出什么样的结论？
二、新知探究
做一做：分别量出(如下图)三个三角形的三边长度,并填入空格内.
(1)a=　　　　，b=　　　　，c=　　　　;
(2)a=　　　　，b=　　　　，c=　　　　;
(3)a=　　　　，b=　　　　，c=　　　　.
计算每个三角形的任意两边之差,并与第三边比较,你能得到什么结论 再画一些三角形试一试.
二、新知探究
三角形的三边关系:
三角形任意两边之和　　　　　　.
三角形任意两边之差　　　　　　.
大于第三边
小于第三边
知识归纳
a
b
c
B
A
C
三条线段能够组成三角形的条件.
两边之差＜第三边＜两边之和
AB-AC＜ BC ＜AB+AC
二、新知探究
2.判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm；
（3）5cm、6cm、10cm.
归纳：判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.
解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm；
（2）不能，因为5cm+6cm=11cm；
（3）能，因为5cm+6cm>10cm.
跟踪练习
二、新知探究
3.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？
解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.
取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.
跟踪练习
如果一根木棒能与原来的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值范围是什么？
归纳：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
三、典例精析
例1：用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么三边的长分别是多少
解:（1）设底边长为x厘米,则腰长为2x厘米.
由题意,得x+2x+2x=18,
解得x=3.6.
所以三边的长分别为3.6厘米,7.2厘米,7.2厘米.
(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗
解:①当4厘米长的边为底边时,设腰长为x厘米,则4+2x=18,解得x=7.
所以能围成三边的长分别为7厘米,7厘米,4厘米的等腰三角形;
②当4厘米长的边为腰长时,设底边长为x厘米,
则4×2+x=18,解得x=10.
因为4+4<10,所以此时不能围成三角形.
综上,能围成底边长为4厘米的等腰三角形.
三、典例精析
注意要分类讨论.
三、典例精析
例2：若三角形的两边长分别是2和7,第三边的长为奇数,求第三边的长.
解:设第三边的长为x.
根据两边之和大于第三边,得x<2+7,即x<9.
根据两边之差小于第三边,得x>7-2,即x>5.
所以x的值大于5小于9.
又因为第三边的长为奇数,所以x只能取7.即第三边的长为7.
2.如图所示,为估计池塘岸边A,B间的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15米,OB=10米,则A,B间的距离不可能是 (　　)
A.20米 B.15米 C.10米 D.5米
四、当堂练习
1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是(　　)
A.3,4,8 B.5,6,10 C.5,5,11 D.5,6,11
B
D
3.已知AB=3,BC=1,则AC的长度的取值范围是(　　)
A.2≤AC≤4 B.2C.1≤AC≤3 D.1A
四、当堂练习
4.已知三角形的三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形有(　　)
A.2个 B.3个 C.5个 D.13个
B
5.王师傅想做一个三角形的框架,他有两根长度分别为11 cm和12 cm的细木条,需要将其中一根木条分为两段,如果不考虑损耗和接头部分,那么他可以把　　　　分为两段(　　)
A.11 cm长的木条 B.12 cm长的木条
C.两根都可以 D.两根都不行
B
6. 一个三角形的两边长分别是2和6，第三边长为偶数，则第三边长为　　　　.
6
四、当堂练习
7.选择长度分别为2 cm,3 cm,5 cm和6 cm的四根木棒中的三根,钉成一个三角形木架,可供选择的方法有　　　　种.
2
8.已知等腰三角形的一边长等于7,另一边长等于8,则它的周长为　 　　.
9.a,b,c分别为△ABC的三边长,化简|a+b+c|-|a-b-c|的结果为　　　　.
22或23
2a
四、当堂练习
10.小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8cm和5cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根的长度可以是多少？
∵x为偶数，
∴小颖有5种选法.
第三根木棒的长度可以是4cm，6cm，8cm，10cm，12cm.
解：设第三根木棒长为xcm，有8-5＜x＜8+5，
即3＜x＜13.
四、当堂练习
11.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得
a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.
∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|
＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b
＝3c＋a－b.
五、课堂小结
内容
三角形任意两边之和大于第三边.
三角形任意两边之差小于第三边.
认识三角形2
三边关系
三角形按边分类
不等边三角形
等腰三角形（包括等边三角形）
依据
两点之间线段最短.
应用
判断三条线段能否构成三角形.