22.3 矩形和菱形的判定定理（第3课时）课件(共29张PPT)-八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

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2023-2024学年八年级下册数学同步精品课堂（沪教版）
第 22章 四边形
22.3矩形和菱形的判定定理（第3课时）
学习目标
1.经历矩形、菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．（重点）
2.会用这些矩形、菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点）
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
复习引入
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
问题3 菱形的定义是什么？性质有哪些？
思考
矩形和菱形具有一些特殊的性质，是否能从它们的性质定理所揭示的图形特征中,找到判定矩形和菱形的简捷、有效的方法
1.对于四边形 ABCD,从它的边或角进行考察.
2.在四边形 ABCD 是平行四边形的基础上，从它的对角线进行考察.
已知：如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形．ABCD证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠A=90°.∴□ABCD是矩形.矩形判定猜想证明矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.ABCD∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形几何语言由角判定一个四边形是矩形有几种方法？由直角的个数判定矩形已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
矩形判定猜想证明
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
∵AC=BD
∴□ ABCD是矩形
几何语言
两条对角线相等的四边形不一定是矩形，这个四边形必须是平行四边形才可以.
由对角线的关系判定矩形
用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，二是四边形是平行四边形．由对角线的关系判定矩形判定方法几何语言图示角对角线有一个角是直角的平行四边形是矩形．有三个角是直角的四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形∵AC=BD∴□ ABCD是矩形∵在□ABCD中，∠A=90°∴□ABCD是矩形.归纳总结已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA
求证：四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
证明：在四边形ABCD中
∵AB=CD，BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=BC
∴平行四边形ABCD是菱形
菱形判定猜想证明
菱形的判定定理1：四边都相等的四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理：
四边形ABCD
A
B
C
D
归纳总结
菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
O
已知： 中，AC ⊥ BD
ABCD
求证： 是菱形
ABCD
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC
∵AC ⊥ BD ∴∠AOB=∠COB=90°
又∵BO是公共边
∴△AOB≌△COB
∴AB=BC
菱形判定猜想证明
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
归纳总结
想一想
制作门窗或矩形零件时,在得到其两组对边分别相等后,可通过测量两条对角线长度来检验四个角是否符合要求,其依据是什么
例题4 已知:如图22-39,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点 O,点 E、F、G、H 分别在 AO、BO、CO、DO 上，且AE=BF=CG=DH
求证;四边形 EFGH 是矩形.
证明∵四边形ABCD 是矩形
∴ AC=BD(矩形的对角线相等);
得 AO=BO=CO=DO.
由 AE=BF=CG=DH,得 OE-OF=OG=OH.
∴四边形 EFGH 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
∵EO+OG=FO+OH，即 EG=FH，
∴四边形 EFGH 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
例题5、已知：如图EF是□ABCD的对角线AC的垂直平分线，EF与边AD,BC分别交于点E,F.
求证：四边形AECF是菱形
分析 已知 EF⊥AC，所以要证明四边形 AFCE 是菱形，只要证明四边形 AFCE 是平行四边形.
例题5、已知：如图EF是□ABCD的对角线AC的垂直平分线，EF与边AD,BC分别交于点E,F.
求证：四边形AECF是菱形
证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE //FC(平行四边形的对边平行),得 ∠1= ∠ 2.
∵EF 垂直平分AC，
∴AO=OC， ∠ AOE= ∠ COF=90°
∴△AOE≌△COF，得 EO=FO.
∴四边形 AFCE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).又∵ EF⊥AC，
∴四边形 AFCE 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
1. 如图,将一张矩形的纸片对折两次,沿虚线剪下,再打开,我们得到的是菱形吗 为什么
课本练习
2.证明:对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
3.如图，已知 BF、BE 分别是∠ABC 与它的邻补角的平分线AE⊥BE 于点 E，AF⊥BF 于点 F,那么四边形 AEBF 是矩形吗 为什么
随堂检测
D
D
D
B
B
C
AC⊥BD或AB＝AD
AB＝AC或BD＝CD
菱形的判定：
对角线互相垂直的平行四边形.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形.
对角线互相垂直平分的四边形.
课堂小结
定义：有一个角是直角的平行四边形
判定定理1：对角线相等的平行四边形
判定定理2：三个角是直角的四边形
矩形的判定：