22.3 矩形和菱形的性质应用（第2课时）课件(共29张PPT)-八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

(共29张PPT)
2023-2024学年八年级下册数学同步精品课堂（沪教版）
第 22章 四边形
22.3矩形和菱形的性质应用（第2课时）
学习目标
1．掌握矩形、菱形的有关性质并能运用这些知识进行有关的证明和计算.
2．通过矩形菱形的性质运用，感悟类比、转化思想.
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
对角线相等
既是轴对称图形也是中心对称图形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
定义
性质
知识回顾
菱形的性质
边
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
定义
知识回顾
例题1、已知矩形ABCD的两条对角线交于O，且∠AOD=1200，AB=4cm．
求AC、BD的长．
D
C
B
A
O
解：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴AC=BD(矩形的对角线相等).
∴OA=OB.
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°,得△AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB=4(cm).
∴AC=2OA=8(cm).
因此,BD=AC=8 cm.
例题2、已知菱形ABCD的两条对角线交于O，且AB＝13cm，AC＝24cm．
求这个菱形的面积．
D
C
B
A
O
分析 由菱形的对角线互相垂直平分,可知 AC⊥BD，点 O是AC 与BD 的中点.由△AOB 是直角三角形,求出 BO的长，就可求得菱形 ABCD的面积.
例题2、已知菱形ABCD的两条对角线交于O，且AB＝13cm，AC＝24cm．
求这个菱形的面积．
解 ∵四边形ABCD 是菱形，
∴AO=OC,BO=OD(菱形的对角线互相平分);
AC∥BD(菱形的对角线互相垂直)..
∵AC=24，
因为菱形 ABCD的面积等于△ABC与△ADC 的面积和，所以
想一想
如果已知菱形的两条对角线的长，那么可以直接求出这个菱形的面积吗
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例题3、已知:菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°．
求证：AE＝AF．
A
B
C
D
E
F
分析 已知四边形 ABCD 是菱形，且∠B=60°,由此联想到等边三角形.联结对角线 AC,要证明 AE=AF，只要证明它们分别所在的两个三角形全等.
例题3、已知:菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°．
求证：AE＝AF．
证明 如图,联结对角线 AC.
在菱形 ABCD 中，
AB=BC=CD=DA(菱形的四条边都相等)，
∠B= ∠ D= 60°(平行四边形的对角相等)
△ABC、△ADC 是等边三角形
得 AB=AC，∠BAC=60°
∵∠EAF=60°，
∴∠FAC=∠EAF-∠EAC=60°-∠EAC
又∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC
∴ ∠BAE=∠FAC.
而∠B=∠BAC=∠ACF
于是,得△ABE≌△ACF..
∴AE=AF
1.已知矩形的对角线相交所成的锐角是 60°,较短的边长为 12 m,求它的对角线的长.
课本练习
3.已知菱形的边长为 6 cm,一个角为 60°,求菱形的两条对角线的长
1. 如图，菱形ABCD的对角线AC , BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）
A．20 B．24
C．40 D．48
A
O
D
C
A
B
随堂检测
2.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
B
3.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（　　）
A.18 B.16 C.15 D.14
B
4.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是 (　　)
A.10 B.12 C.15 D.20
C
5.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC , BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
第4题图
第5题图
6cm
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
6.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB,CD于E,F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
　　　　　　　　　　　　　
7. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为_____．
2.5
8. 如图，点E,F分别是矩形ABCD的边AB,CD上的点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴△ADF≌△CBE（SAS）.
∴AF＝CE．
AD＝CB，
∠D＝∠B，
DF＝BE，
在△ADF和△CBE中，
9.如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
又由折叠知,∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3.∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
∴∠2＝∠3.
10.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,
AO=4cm，求两对角线AC , BD的长.
O
C
B
D
A
解：∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC，OB=OD,
AC⊥BD.
∵Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2,
AB= 5，AO= 4,
∴OB= 3.
∴BD= 2OB = 6 cm， AC= 2OA = 8 cm.
5
4
3
11.菱形ABCD的两条对角线BD，AC长分别是6cm和8cm，求菱形面积.
C
B
D
A
O
解：
O
(cm2).
12.如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC.
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC= ×180°=60°，∴∠ABO= ×∠ABC=30°.
∴△ABC是等边三角形.
O
A
B
C
D
∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm.
∴ .
∴BD=2OB= cm；
（2）S菱形ABCD = AC BD
= ×2×
= （cm2）．
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm.
O
A
B
C
D
13.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
14.如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴AO＝BE .
15. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
16. 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）.
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花坛ABCD是菱形，
当矩形两条对角线的夹角有60度时，矩形问题可以结合等边三角形，直角三角形共同解决．
当菱形中有一条对角线的长度等于边长时，菱形问题也可以转化为等边三角形、直角三角形共同解决。
课堂小结