专题3.3旋转---半角模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

(共22张PPT)
专题三 全等模型---旋转
§3.3 “半角”模型
人教版中考第二轮总复习---几何模型
理论依据
题型概述
旋转模型
1.常见图形:
等腰三角形,等边三角形,等腰直角三角形,正方形.
O
O
C
B
A
A
O
C
B
O
A
B
C
D
E
E
A
O
C
B
2.模型特征：
①有公共顶点的两个角,其中一个角是另一个角的一半；
②大角的两边相等；
③存在互补(或互余)的角.
3.解题思路:
③通过全等的性质得出线段之间的数量关系.
①以公共端点为旋转中心,相等的两条线段的夹角为旋转角；
将分散的条件集中,隐蔽的关系显现；
②证明一对轴对称的全等三角形；
图形示例 模型分析
等腰直角三角形含半角 当一个角包含着这个角的半角,常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成的三角形全等.
正方形 含半角 考点3-1
模型分析
半角模型---90°+45°
E
A
C
E
D
B
A
B
E
F
D
C
45
G
【例1-1】如图,已知△ABC是等腰直角三角形,点D,E在BC上,且∠DAE=45 .
求证:DE2=BD2+CE2
E
A
C
E
D
B
方法一：将△ACE绕点A旋转到△ADE ,连接E B得△ADE≌△ADE 再证Rt△BDE
方法二：将△ABD沿着AD翻折到△ADF,连接EF,得△ABD≌△AFD；△ACE≌△AFE；再证Rt△DFE
A
C
E
D
B
F
考点3-1
典例精讲
半角模型---90°+45°
【例1-2】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45 .求证:EF=DF+BE；
E
F
考点3-1
典例精讲
半角模型---90°+45°
A
B
E
F
D
C
45
【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90 得△ADE .
易证：AE =AE,BE=DE ,∠E AF=45
易证：△AFE ≌△AFE(SAS)→EF=E F
∴EF=E F=DF+DE =DF+BE．
将△ABE绕点A逆时针旋转90 得△ADE .
∴△AEF≌△AE F.(SAS)
证明：∵四边形ABCD正方形.
∴BC=CD=DA=AB,∠BAD=∠B=∠ADC=90 .
∴∠ADE =∠B=90 ,∠E AD=BAE,AE =AE,DE =BE,
∵∠EAF=45 ,∠BAD=90 .
∴∠BAE+∠DAF=45 .
∴∠E AF=∠E AD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45 .
∴EF=E F=DF+BE
【例1-2】如图,若E,F分别在CB,DC延长线上时,∠EAF=45 .EF=DF+BE还成立吗 若成立,请证明.若不成立,写出新的结论,并证明.
考点3-1
典例精讲
半角模型---90°+45°
E
A
B
E
F
D
C
45
F
【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90 得△ADE .
易证：AE =AE,BE=DE ,∠E AF=45
易证：△AFE ≌△AFE(SAS)→EF=E F
∴EF=E F=DF-DE =DF-BE．
【变式1】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45 .求证:C△CEF=2BC；
E
∴C△CEF=CF+EF+CE
=CF+DF+BE+CE
=BC+CD
=2BC.
考点3-1
变式训练
半角模型---90°+45°
【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90 得△ADE .
易证：AE =AE,BE=DE ,∠E AF=45
易证：△AFE ≌△AFE(SAS)→EF=E F
易证：EF=E F=DF+DE =DF+BE.
A
B
E
F
D
C
45
A
B
E
F
D
C
M
N
45
【变式2】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45 ,BD交AE,AF于点M,N.求证：BM2+DN2=MN2
【分析】将△ADN绕点A顺时针旋转90 得△AMN ,连接MN
N
考点3-1
变式训练
半角模型---90°+45°
易证：AN =AN,DN=BN ,∠N BA=∠NDA=45 ,∠N AM=45
易证：△AMN ≌△AMN(SAS)→MN=MN ,∠N BM=90
易证：BN 2+BM2=MN 2．
∴BM2+DN2=MN2
【变式3】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45 ,BD交AE,AF于点M,N,过点A作AH⊥EF于点H,
求证：(1)△ABE≌△AHE；△AHF≌△ADF；
(2)EA平分∠BEF,FA平分∠DFE.
考点3-1
变式训练
半角模型---90°+45°
A
B
E
F
D
C
M
N
45
H
【变式4】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45 ,BD交AE,AF于点M,N.
求证：(1)A、B、E、N四点共圆；
(2)A、D、F、M四点共圆；
(3)M、N、F、E四点共圆.
A
B
E
F
D
C
M
N
45
(1)∵∠EAN=∠EBN=45 ,∴A、B、E、N四点共圆
(2)∵∠FAM=∠FBM=45 ,∴A、D、F、M四点共圆
(3)∵∠MEN=∠MFN=45 ,∴M、N、F、E四点共圆
考点3-1
变式训练
半角模型---90°+45°
A
B
E
F
D
C
M
N
45
【变式5】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45 ,BD交AE,AF于点M,N,求证：(1)△AMN∽△AFE；(2).
(1)∵∠MEN=∠MFN=45 ,∴M、N、F、E四点共圆
∴∠ANM=∠AEF,∠AMN=∠AFE,
∴△AMN∽△AFE.
考点3-1
变式训练
半角模型---90°+45°
A
B
E
F
D
C
M
N
45
【变式6】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45 ,BD交AE,AF于点M,N,求证：(1)△MAN∽△MDA；(2)△NAM∽△NBA.
(1)∴∠AMN=∠AMN,∠MAN=∠ADM=45 ,
∴△MAN∽△MDA.
(2)∴∠ANM=∠ANM,∠MAN=∠ABN=45 ,
∴△NAM∽△NBA.
考点3-1
变式训练
半角模型---90°+45°
A
B
E
F
D
C
M
N
45
【变式7】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45 ,BD交AE,AF于点M,N,求证：(1)△AMB∽△AFC；(2)△AND∽△AEC；
考点3-1
变式训练
半角模型---90°+45°
如图:正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45 ,连接BD交AE于G,AF于M,连接EM、GF.GF与EM相交于O点.则有下列结论.
线段之间的关系：
①EF=BE+FD
②GB2+MD2=GM2
③BM·DG=AB2
④AM=EM,AG=FG
⑦△AEF的边EF上的高等于正方形的边长；
⑧△EFC的周长等于正方形的边长的2倍.
角度之间的关系：
①∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFD
②根据下面共圆,每个共圆都至少可以得到四队相等的角.
特殊三角形：
△AGF与△AME是等腰直角三角形
四点共圆：
①ABEM
②ADFG
③GEFM
④CEMF
⑤CEGMF
面积关系：
①S△AEF=S△ABE+S△ADF
②S△AEF=2S△AGM
③S正方形ABCD:S△AEF=2AB:EF
相似关系：
①△AEF∽△AMG∽△BGE∽△DMF∽△DAG∽△MBA
②△EFG∽△EAB
③△ADF∽△EMF
考点3-1
知识归纳
半角模型---90°+45°
A
B
E
F
D
C
G
M
O
⑤CE= DM,DF= BG,EF= GM,
2
2
2
⑥
BE
CE
=
DF
FC
=
1
2
图形示例 模型分析
等边三角形含半角(∠BDC=120 ) 当一个角包含着这个角的半角,常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成的三角形全等.
考点3-2
模型分析
半角模型---120°+60°
A
C
B
F
E
D
60
G
【例2】如图,△ABC是等边三角形,BD=CD且∠BDC=120 ,E、F在边AB、AC上且∠EDF=60 .求证：EF=BE+CF.
考点3-2
典例精讲
半角模型---120°+60°
A
C
B
F
E
D
60
【分析】将△BDN绕点D顺时针旋转120 得△DCG,
易证：△DBE≌△DCG(SAS)→DE=DG,∠FDG=∠FDE=60
易证：△DFE≌△DFG(SAS)→EF=GF,
∴EF=GF=GC+CF=BE+CF.
如图,△ABC是等边三角形,BD=CD且∠BDC=120 ,E在直线AB上,点F在AC的延长线上,且∠EDF=60 .试问EF、BE、CF之间又有何数量关系
A
C
B
F
E
D
60
考点3-2
针对训练
半角模型---120°+60°
先将△ABE绕点A旋转得△ADE
再证△AEF≌△AE F
结论：EF=BE-DF
【例3】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180 ,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=0.5∠BAD,BE,DF,EF三条线段之间的数量关系是否仍然成立,若不成立,写出它们之间的数量关系并证明.
【思路点拨】
半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．
A
D
F
C
E
B
E
考点3-3
典例精讲
半角模型---邻补四边形
邻补四边形内含半角(邻边相等，对角互补的四边形)
1.如图：四边形ABCD中,E、F分别是CD、AD上的点,∠ABC= ∠ADC=90 且∠EBF=45 .猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.
2.如图：四边形ABCD中,E、F分别是CD、AD上的点, ∠ABC+∠ADC=180 且∠EBF=1/2∠ABC .猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.
2.如图：等腰直角△ABC中,∠ABC =90 ,E、F都是AC上的点，且∠EBF=45 ,猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明.
备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明.
备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明.
知识点三
模型分析
半角模型---邻补四边形
A
C
B
45
A
C
B
D
a
b
c
c=a+b
A
C
B
30
A
C
B
b
c
a
D
c=a+b
说明：上图依次是45 ,30 的三角形对称(翻折),翻折形成正方形或等边三角形等的对称全等.(半角可以任意角去折叠,常见度数还有22.5 半角)
说明：轴对称有如下性质：
①把图形变为与之全等的图形,因而面积和周长不变.
②在反射变换下,任意两点A和B,变换后的对应点为A 和B ,则有直线AB和A B 所成的角的平分线为l.
③两点之间的距离保持不变,任意两点A和B,变换后的对应点为A 和B ,则有AB=A B .
中小学数学中的很多图形都是轴对称图形,利用这些图形的对称轴性质,可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题.
知识点三
模型分析
自造半角模型解题策略：三角形作高翻折
1.如图,E是正方形ABCD边DC上一点,(与D,C不重合),连接AE,将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE,延长EF交BC于G,连接AG,作GH⊥AG,与AE的延长线交于点H,连接CH.显然AE是∠DAF的平分线,EA是∠DEF的平分线.仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线,并说明理由.
提升能力
强化训练
半角模型
A
H
M
C
G
B
F
E
D
N
(1)易证：△AFG≌△ABG.
∴AG平分∠BAF,AG平分∠BGF；
【分析】AG,GA,GH,CH分别平分∠BAF,∠BGF,∠EGM,∠DCM.
∴可证GH平分∠EGM.
(2)过点H作HN⊥BM,
易证：△ABG≌△GNH,
∴HN=BG,GN=AB,
∴BG=CN,
∴CN=HN,
∴△CNH是等腰直角三角形,
∴∠HCN=45 ,
∴CH平分∠DCN；
(3)∵∠AGH=90 ,AG平分∠BGE,
【分析】由半角模型可得,当∠ECG=45 时,EG=BE+DG,∴C△AEG=AE+AG+EG=AE+AG+BE+DG=AB+AD=2a,故结论①错误；由半角模型得：EG=BE+DG,∴EG ≠BE +DG ,故结论②错误；设BE=ma,则AH=FH=ma,S△AEF=0.5AE·HF=0.5(1-m)a·ma=0.5(-m2+m)a2当m=0.5时,可得△AEF面积的最大值为1/8a2,故结论③正确.
2.如图,正方形ABCD边长为a,E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45 ,点F在射线AM上,且AF=BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：
①△AEG的周长为(1+)a； ②BE2+DG2=EG2；
③△EAF的面积的最大值a2.其中正确的结论是______(填写所有正确结论的序号)
提升能力
强化训练
半角模型
A
M
F
E
B
C
D
G
H
③