专题4.3圆---利用“胡不归”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

(共25张PPT)
专题四 与圆有关的模型
人教版中考第二轮总复习---几何模型
§4.3 利用“胡不归”模型求最值
【古老传说】从前有个少年外出求学,某天得知老父亲病危的消息后便立即回家.根据两点之间线段最短,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,然而,当他赶来到父亲的面前时,老人刚刚咽气了.邻居告诉他,在弥留之际,老人在不断地叨念:“胡不归 胡不归 ”
这个古老的传说,引起了人们的思索：少年忽略了在驿道上行走要比在砂地上行走快的这一因素.如果他能选择一条合适的路线,小伙子能否提前到家 若可以,他应该选择一条怎样的路线呢
这就是风靡千百年的“胡不归”问题.
B
A
沙 砾 地
驿 道
D
C
知识点一
情境导入
胡不归模型
不妨假设在AD上行走的速度为1个单位长度/s,在BD上行走的速度为2个单位长度/s,总共用时为：t=
“已知在驿道和沙砾道行走的速度分别为v1和v2,显然v1＜v2,在BC上求一定点D,使从点A至点D、再从点D至点B的行走时间最短”
AD1+D1H=AD1+BD1sin30
H
E
M
30
B
D1
C
A
D2
第一步：在速度快的线段与起点相异的一侧,终点作一条射线,使之与该线段构成的角α的满足sinα=1/v；
第二步：过起点作射线的垂线；
第三步：该垂线与线段的交点即为所求.
知识点一
情境导入
胡不归模型
第四步：计算.
知识点一
模型归纳
胡不归模型
模型的特征：
问题中涉及到两个定点,一个动点.
解题思想：
折转直
解题步骤：
第一步：在系数不为1的线段的定端点处作一个角,使其的正弦值等于此线段的系数.(注意题目中的特殊角)；
第二步：过动点作上一步的角的边的垂线,构造直角三角形；
第三步：根据两点之间线段最短,找到最小值的位置；
预备知识
模型分析
胡不归模型
直角三角形斜边大于直角边,直角三角形中,斜边打一个折扣(sinα),化归为这个角的对边.斜边·sinα=对边.
tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanα·tanβ
sin(a+β)=sinα·cosβ+cosa·sinβ
条件：两定一动(动点一般在某确定的直线上运动)
两定：点A、B两点为定点；
一定：点P为直线AB外的一个动点
问题：确定动点P,使mPA+PB最短(0＜m＜1)
更一般地：使mPA+nPB最短(不妨设m＞n)
思路：设所求P点在直线AN上我们在直线AN异于B点的一侧构造∠NAM,使得sin∠NAM=m(相当于把mPA通过正弦打折化归到直角三角形的直角边.机不可失：我们作BF⊥AM交AN于P点,毫无疑问P点即为所求.
mPA=PF,mPA+PB=BFBF即为mPA+PB的最小值(而mPA+PB＜AB,胡不归的来源)
模型识别
模型分析
胡不归模型
B
A
N
P
M
F
更一般地：使mPA+nPB最短(不妨设m＞n).我们只须在上式中提取m、n中的较大者,即可化归到上述类型.
至于点P的位置和最小值的求法我们可以用几何或者代数的方法很容易得到解决.当然,如果我们能用正弦或者正切的和差化积的公式解决,就更“牛”了.
模型拓展
模型分析
胡不归模型
在类似的位置构造一个正弦等于n/m的角即可---m(PA+ PB)
n
m
知识点一
典例精讲
胡不归模型
【例1】如图,AC是⊙0的直径,AC=4,弧BA=120 ,点D是弦AB上的一个动点,那么OD+0.5BD的最小值为______.
A
D
O
B
C
解析：作BK∥CA,DE⊥BK于E,OM⊥BK于M,连接OB.由已知得∠BAC=30 ,在Rt△DBE中,DE=0.5BD,∴0D+0.5BD=0D+DE,根据垂线段最短可知,当点E与M重合时,OD+0.5BD的值最小,最小值为OM=√3.
K
E
M
知识点一
典例精讲
胡不归模型
【例2】如图,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,),C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为_________.
解析：设点P在DC上的速度为v,则时间 易得AC=3,
∴sin∠BAO=sin∠CAO=1/3,过点D做DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB
于点F，则DE=1/3AD, ∴DE+DC最小时,即当D,E,C
三点共线时,t最小.DE+DC最小时，即当D、E、C三点共线时，
t最小，此时∠DCO=∠BAO,∴sin∠DCO=1/3.
由勾股定理可求得OD= ,∴
y
x
A
O
C
B
D
E
D
F
【例3】如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,△ABC=150 ,
则线段AP+BP+PD的最小值为___.
知识点一
典例精讲
胡不归模型
解析：根据对称性,AP+BP+PD=AP+2PB=2(0.5AP+PB),所以只需求0.5AP+PB的最小值,过点A作∠PAM=30 ,过点P作PE⊥AM交AM于点E,过点B作BF⊥AM交AM于点F.∵∠PAM=30 ,∴PE=0.5AP, ∴0.5AP+PB=PE+PB,当E与F重合时,取得最值,此时AP+BP+PD=2BF=2×AB=6
A
P
D
C
B
E
F
M
【例4】如图,B(0,4),C(-2,0),动点P(0,m)在y轴上运动。问题情境(1)当m=___时，CP最短,理由是_________. 问题再现(2)当m为何值时, 的最小值？请求出最小值。小明的解决方法：如图,作射线BA,使∠OBA=30 ,交x轴于点A,过点C作CF⊥AB于点F,请完善小明的解法.问题突破当m为何值时，CP+ BP的最小值？
O
C
B
x
y
A
F
P
解：在x正半轴上截取OA=0.5OB连接AB,
过点C作CF⊥AB于点F,则
知识点一
典例精讲
胡不归模型
1.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,4),B(-1,0),在y轴上有一动点G,则BG +1/3AG的最小值为_____.
2.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30 ,AD⊥BC于点D,P是AD上的一个动点,连接PB,则PA+2PB的最小值为____.
y
x
O
B
A
G
C
M
知识点一
针对训练
胡不归模型
A
D
C
B
P
E
F
P
2 2
4+2 2
3
( 2,0)
E
A
D
O
C
B
3.如图,AC是⊙O的直径,AC=4,弧BA=120 ,点D是弦AB上的一个动点,则OD+0.5BD的最小值为____
知识点一
针对训练
胡不归模型
在Rt△DBE中,DE=0.5BD,∴OD+0.5BD=OD+DE,根据垂线段最短可知,当点E与M重合时,
OD+0.5BD的值最小,最小值为OM,
∵∠BAO=∠ABO=30 ∴∠OBM=60 ,
在Rt△OBM中，∵OB=2,∠OBM=60 ∴OM=OB·sin60 =√3 ,
∴0.5DB+OD的最小值为√3，
∴弧BA的度数为120°，∴∠C=60°,
∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∴A=30°作BK∥CA,DE⊥BK于E,OM⊥BK于M,连接OB.∴BK∥AC,∴∠DBE=∠BAC=30
M
K
解：设P在DC上的速度为v,则∵OA=2√2,0C=1,∴AC=3.∴sin∠BA0=sin∠CA0=
过点D作DE⊥AB交AB于点E,则DE=
要使t最小,即DE+DC最小时.当C、D、E三点共线,
并且CE⊥AB时，此时,∠DCO=∠BAO,∴sin∠DCO=sin∠BA0=1/3
根据勾股定理，得OD2+OC2=DC2,∵OA=2√2,0C=1,∴AC=3.
∴0D ＋1=(30D) ,∴OD=
4.如图,△ABC在平面直角坐标系中,AB=AC,A(0,2 ),C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C.点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为________.
知识点一
针对训练
胡不归模型
y
x
O
D
B
C
E
F
1.如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则PB+PD的最小值等于___________.
A
P
B
C
D
H
M
H
当B、P、H三点共线时,可得PB+PH取到最小值,即BH的长,解直角△ABH即可得BH长.
解析：考虑如何构造“ PD”,已知∠A=60 ,且sin60= ,故延长AD,作PH⊥AD交延长线于H点，即可得PH= PD，将问题转化为：求PB+PH最小值.
提升能力
强化训练
胡不归模型
2.如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是_______.
A
D
E
C
B
H
H
【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来,只需分析角度的三角函数值,作出垂线DH,即可解决问题,若稍作改变,将图形改造如下：
则需自行构造α,如下图,这一步正是解决“胡不归”问题关键所在.
提升能力
强化训练
胡不归模型
3.如图,已知抛物线y=(x+2)(x-4)(k为常数,且k＞0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=x+b与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；
(2)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),
连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单
位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速
度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整
个运动过程中用时最少？
y
x
O
A
C
B
D
提升能力
强化训练
中考实战练习
y
x
O
A
C
B
D
【分析】第一小问,利用有点必代即可求出解析式,此处我们直接写答案：A(-2,0),B(4,0),直线解析式为y=-√3/3x+4√3.D点坐标为(-5,3√3),故抛物线解析式为-y=√3/9(x+2)(x-4),化简为：
点M运动的时间为 .即求 的最小值.
提升能力
强化训练
中考实战练习
接下来问题便是如何构造DF/2,考虑BD与x轴夹角为30 ,且DF方向不变,故过点D作DM∥x轴,过点F作FH⊥DM交DM于H点,则任意位置均有FH=DF/2.当A、F、H共线时取到最小值,根据A、D两点坐标可得结果.
F
M
F
H
解：(1),(2)略；
(3)由(1)知,D(-5,3√3),如图3(2).
过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=3√3,ON=5,BN=4+5=9,
∴tan∠DBA=DN:BN=3√3:9=√3/3,∴∠DBA=30°.由动点M在线段AF和线段FD上的速度之比为1:2,
故过点D作DK∥x轴,则∠KDF=∠DBA=30°.过点F作FG⊥DK于点G,则FG=1/2DF.
由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,其运动时间为AF/1+DF/2=AF+FG(秒),即运动时间等于折线AF+FG的长度.
由垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.过点A作AH⊥DK于点H,AH与直线BD的交点,即为所求之F点.∵A点横坐标为-2,直线BD解析式为 ∴
∴F（-2,2√3）.综上所述,当点F坐标为(-2,2√3)时,点M在整个运动过程中用时最少
提升能力
强化训练
中考实战练习
y
x
O
A
C
B
D
F
N
G
H
K
4.抛物线y=x2与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E,将线段OB沿x轴左右平移，线段0B的对应线段是01B1,当PE+0.5EC的值最大时，求四边形P01B1C周长的最小值,并求出对应的点01的坐标.
y
x
O
A
C
B
P
E
O1
F
B1
提升能力
强化训练
中考实战练习
考虑到PE与CH并无公共端点,故用代数法计算,设 ,则
当P点坐标为 ,取到最小值,故确定
P、C.求四边形面积最小值,运用将军型解题即可.
y
x
O
A
C
B
P
E
O1
F
B1
提升能力
强化训练
中考实战练习
H
【分析】根据抛物线解析式得A(-3√2,0),B(√2,0),C(0,√6),直线AC的解析式为：y=√3/3x+√6,可知AC与x轴夹角为30 .根据题意考虑,P在何处时,PE+EC/2取到最大值.过点E作EH⊥y轴交y轴于H点,则∠CEH=30 ,故CH=EC/2,问题转化为PE+CH何时取到最小值.
P
P
E
F
E
F
C1
5.在平面直角坐标系中,将二次函数y=ax (a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),0A=1经过点A的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,△ABD的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方,求△ACE面积的最大值,并求出此时点E的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点,在(2)的结论下,
求PE+PA的最小值.
y
x
O
A
B
C
提升能力
强化训练
中考实战练习
1.如图,四边形ABCD是菱形,AB=8,且∠ABC=60 ,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,则AM+BM的最小值为_______.2.如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=30 ,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则PB+PD的最小值等于_______.3.如图：在矩形ABCD中,AB=1,BC=,P为边AD上任意一点,连接PB,则PB+PD的最小值等于_______.
A
M
D
C
B
A
P
C
D
B
A
C
D
B
P
查漏补缺
基础训练
胡不归模型
4.如图,在△ABC中,∠A=15 ,AB=2,P为AC边上的一个动点(不与A、C重合),连接BP,则AP+PB的最小值是_______.5.在平面直角坐标系中,已知A(2,0),C(0,-1),若P为线段O4上一动点，则CP+1/3AP的最小值为______6.等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中,其中BC边在x轴上,BC边的高OA在y轴上.一只电子虫从A出发,先沿y轴到达G点,再沿GC到达C点,己知电子虫在y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍,若电子虫走完全程的时间最短,则点G的坐标为_______.
A
P
B
C
y
x
O
C
B
A
查漏补缺
基础训练
胡不归模型
(0,- 3)
7.如图,P为正方形ABCD对角线BD上一动点,若AB=2,则AP+BP+CP的最小值为_____.8.如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是______.9.在△ABC中,∠ACB=90 ,∠ABC=60 ,P为AC上一动点,AB=10,则2BP+AP的最小值为___.
A
P
C
D
B
A
D
E
C
B
A
P
B
C
查漏补缺
基础训练
胡不归模型
2+ 6