专题03函数、方程及不等式的应用（课件）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用）
文档属性
| 名称 | 专题03函数、方程及不等式的应用（课件）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 43.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-25 10:10:18 | ||
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文档简介
(共68张PPT)
专题03 函数、方程及不等式的应用
2024年中考数学二轮复习讲练测
目录
CONTENTS
01
02
知识建构
03
考点精讲
考情分析
第一部分
考情分析
稿定PPT
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02
考点要求 命题预测
函数、方程及不等式的应用 函数、方程及不等式的应用在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问题抽象出一次方程(组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的实际应用，解不等式(组)的应用题，与一次函数、反比例函数、二次函数的相关应用题等.
第二部分
知识建构
稿定PPT
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02
第三部分
考点精讲
考点一 函数、方程及不等式的应用
题型01 坐标方法的简单应用
利用隐含的平面直角坐标系确定地理位置的坐标的一般步骤：
1)根据已知地理位置的坐标找出原点的位置:
2)根据原点的位置建立平面直角坐标系;
3)由平面直角坐标系得到其他地理位置的坐标.
用坐标表示地理位置确定物体位置的方法：
有行列定位法、方向角+距离定位法、经纬定位法，最常用的是用平面直角坐标系中点的坐标来表示位置解答此类问题的关键是建立平面直角坐标系，而建立平面直角坐标系的关键是确定坐标原点,确定坐标原点的位置一般分两种情况:(1)题目隐含条件中已经给定:(2)任意选择，自建坐标系.
提分笔记
题型01 坐标方法的简单应用
1．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
2．（2019·浙江金华·统考中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（ ）
A．在南偏东75 方向处 B．在5km处
C．在南偏东15 方向5km处 D．在南偏东75 方向5km处
1.（2023·山西晋城·校联考模拟预测）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ．
2.（2022·河北石家庄·校联考三模）某学校在某商城的南偏西方向上，且距离商城，则下列表示正确的是（ ）
题型01 坐标方法的简单应用
题型02 从函数图象上获取信息
从函数图象中获取信息的方法
(1)首先弄清坐标轴所表示的意义：x轴和y轴上的点分别表示自变量和因变量，要弄清自变量与因变量及其取值范围是什么:
(2)弄清图象上的点所表示的意义：由该点向x轴和y轴分别作垂线，当自变量取x轴上的垂足所对应的数时，因变量取y轴上的垂足所对应的数.
(3)弄清图象上的最高点和最低点分别表示的意义：最高点对应着函数的最大值，最低点对应着函数的最小值，进而求出函数的取值范围,
(4)弄清图象上的上升线、下降线、水平线分别表示的意义:上升线表示函数值随自变量取值的增加而增大，下降线表示函数值随自变量取值的增加而减下，水平线表示函数值随自变量取值的增加而不变.
提分笔记
1．（2023·贵州·统考中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速度为
C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到黄果树景点的时间共用了
2．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
题型02 从函数图象上获取信息
1（2023·广东湛江·统考一模）在我国川西高原某山脉间有一河流，当河流中的水位上升到一定高度时因河堤承压有溃堤的危险．于是水利工程师在此河段的某处河堤上修了一个排水的预警水库连通另一支流．当河流的水位超过警戒位时就有河水流入预警的水库中，当水库有一定量的积水后，就会自动打开水库的排水系统流入另一支流．当河流的水位低于警戒位时水库的排水系统的排水速度则变慢．假设预警水库的积水时间为分钟，水库中积水量为吨，图中的折线表示某天与的函数关系，下列说法中：
①这天预警水库排水时间持续了分钟；②河流的水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少吨分；
③预警水库最高积水量为吨；④河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为吨分．
其中正确的信息判断是 A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【详解】解：由图象得：～分，水库开始积水，
～分，水库有一定量的积水，水库的排水系统打开，
～分时，水库停止进水，只排水，
这天预警水库排水时间持续了分钟，故①错误；
吨分，也就是水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少吨分，②正确；
从图象看出预警水库积水量为吨时停止进水，并不能反映出预警水库的最高积水量，③错误；
从图象看出河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为吨分，④正确．故选：D．
题型02 从函数图象上获取信息
2.（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则甲到B地后乙距离B地 m．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，则，
甲加速后的速度为：，
由图可知，甲在第86分钟到达B地，
∴A、B两地距离为，
∴甲到B地后乙与B地距离为：，
故答案为：3600．
题型02 从函数图象上获取信息
题型03 实际问题与一次方程（组）
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1）审题：弄清题意；
2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；
3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程；
4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；
5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.
提分笔记
题型03 实际问题与一次方程（组）
高分秘籍
与一次方程（组）有关应用题的常见类型：
1．（2023·四川南充·统考中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·贵州·统考中考真题）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型一 一元一次方程与实际问题
3．（2023·江苏扬州·统考中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，
根据题意，得解得，，∴，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型一 一元一次方程与实际问题
1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）某医疗器械企业计划购进20台机器生产口罩，已知生产口罩面的机器每台每天的产量为12000个，生产耳挂绳的机器每台每天的产量为96000个，口罩是一个口罩面和两个耳挂绳构成，为使每天生产的口罩面和耳挂绳刚好配套，该企业应分别购进生产口罩面和生产耳挂绳的机器各多少台？
【详解】解：设该企业购进生产口罩面的机器台，则生产耳挂绳的机器为台，
依题意得， 解得 ∴，
∴该企业购进生产口罩面的机器台，生产耳挂绳的机器为台．
2．（2022·山西运城·统考一模）在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，政府为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天后，还剩70米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工5米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？
【详解】设甲工程队每天施工x米，则乙工程队每天施工(x-5)米，
根据题意可得：，
解得：，
，
答：甲工程队每天施工35米，乙工程队每天施工30米．
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型一 一元一次方程与实际问题
类型二 列二元一次方程组
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型二 列二元一次方程组
1（2023衢州市一模）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
2（2023·河北保定·二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为（ ）
A． B． C． D．
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型三 二元一次方程组与实际问题
1．（2023·四川巴中·统考中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
2．（2023·辽宁·统考中考真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型三 二元一次方程组与实际问题
1．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）元旦期间，七（1）班明明等同学随家长一同到某景区游玩，该景区门票价格规定如图：
(1)明明他们一共人，分别按成人和学生购票，共需元，求他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)购完票后，明明发现，如果购团体票更省钱，正在此时，七（2）班涛涛等名同学和他们的名家长共人也来购票，请你为七（2）班设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型一 列分式方程
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
题型04 分式方程的实际应用
提分笔记
类型一 列分式方程
1．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川广安·统考中考真题）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
题型04 分式方程的实际应用
类型一 列分式方程
1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前5天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产万个口罩，则可列方程式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模），两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型04 分式方程的实际应用
类型二 分式方程与实际问题
1．（2023·湖北武汉·统考中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．
【详解】解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．∴，解得，经检验是方程的根且符合题意，
∴两图象交点的纵坐标是．故答案为：
题型04 分式方程的实际应用
2．（2023·重庆·统考中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
【详解】（1）解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，
由题意知，，解得，，
∴，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
（2）解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，
由题意知，，解得，
经检验，是分式方程的解，∴购买牛肉面60份．
类型二 分式方程与实际问题
1.（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：
(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；
(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
【详解】（1）解：设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，则，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
（2）解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为（小时），
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：（小时），
设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得：，解得：，
答：为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时．
题型04 分式方程的实际应用
类型二 分式方程与实际问题
2.（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
【详解】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．
由题意：解得x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．
（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．
m≤100﹣m，∴m≤50，
由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，
∴m=50时，w有最小值=5500（元）
题型04 分式方程的实际应用
题型05 不等式（组）的实际应用
一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：
1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50.
提分笔记
1．（2023·山东济南·统考中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得解这个方程，得，
经检验，是原方程的根．∴，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
题型05 不等式（组）的实际应用
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．∴即，
∵，∴随的增大而增大．∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
2．（2023·江西·统考中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
(1)求该班的学生人数；
(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人，
由题意得，，解得，
∴该班的学生人数为45人；
（2）解：由（1）得一共购买了棵树苗，
设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，
由题意得，，解得，
∴m得最小值为80，∴至少购买了甲树苗80棵，
答：至少购买了甲树苗80棵．
题型05 不等式（组）的实际应用
1.（2023·广东佛山·统考二模）日前市教育局发布了《佛山市教育局关于做好2023年我市初中毕业升学体育考试工作的通知》，确定了考试项目可由学生自行选择．某校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划增购一批篮球和足球，如果购买20个足球和15个篮球，共需2050元；如果购买10个足球和20个篮球，共需1900元．
(1)足球与篮球的单价分别为多少元？
(2)若学校计划用不超过2800元的经费购买足球和篮球共50个，且足球数不多于篮球数的3倍，则最多购买多少个篮球？
题型05 不等式（组）的实际应用
2.（2022·云南昆明·统考三模）某地区为打造乡村振兴示范区．实行大面积机械化种植，今年共计种植某作物700亩，预计租用10台作物收割机在一天之内完成该作物的收割.已知可租用A、B两种型号的作物收割机，2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收制该作物310亩，1台A型号收割机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩，租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用B型号收割机的租金为每天2000元．(1)两种型号收割机每台每天平均收割多少亩该作物
(2)设租用x台A型号的收割机，完成该作物的收割需要的总租金为y元，一共有多少种租赁方案，并求出最少的总租金．
题型05 不等式（组）的实际应用
当时，，即租用A型号的收割机7台，租用B型号的收割机3台，完成该作物收割需要的总租金为元；
当时，，即租用A型号的收割机8台，租用B型号的收割机2台，完成该作物收割需要的总租金为元；
当时，，即租用A型号的收割机9台，租用B型号的收割机1台，完成该作物收割需要的总租金为元；
当时，，即租用A型号的收割机10台，租用B型号的收割机0台，完成该作物收割需要的总租金为元；
综上所述，一共有4种租赁方案，最少的总租金为27000元．
题型06 一元二次方程的实际应用
高分秘籍
4)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
5）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m，则m =n（n－1）
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m，则m = n（n－1）
题型06 一元二次方程的实际应用
高分秘籍
1．（2023·浙江衢州·统考中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江湖州·统考中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型06 一元二次方程的实际应用
3．（2022·山东济南·统考中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 ．
【详解】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：16．
题型06 一元二次方程的实际应用
1.（2023·广东阳江·一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？
【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染人．根据题意得，解得，或，∵，∴，
答：每轮感染中平均一个人传染人；
（2）解：根据题意可得：第三轮的患病人数为，∵，∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过人，
答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人；
题型06 一元二次方程的实际应用
2.（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
【详解】（1）解：设该公司销售产品每次的增长率为，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．
答：该公司销售产品每次的增长率为．
（2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，依题意，得：，解得：，．尽量减少库存，．答：每套产品需降价1万元．
题型07 一次函数的实际应用
一次函数的实际应用：
1）一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→
结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起
解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案
的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用.
2）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，
通过建模解决问题.
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围.
高分秘籍
3）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，
由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，
则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，
自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.
涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→
根据自变量的取值范围确定最值．
4）当需要利用函数和函数图象比较数的大小，主要有三种方法：
①直接把x值代入函数关系式，求出相应的y值，比较数的大小；
②在函数图象上描出各点，再根据各点的位置情况，比较数的大小；
③利用函数的增减性，比较数的大小.
类型一 行程问题
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．
(1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
题型07 一次函数的实际应用
1.（2022·浙江绍兴·统考一模）绍兴首条智慧快速路于今年3月19日正式通车．该快速路上，两站相距，甲、乙两名杭州亚运会会务工作志愿者从站出发前往站附近的比赛场馆开展服务．甲乘坐无人驾驶小巴，乙乘坐无人驾驶汽车．图中，分别表示甲、乙离开站的路程与时间的函数关系的图象．
(1)填空：甲比乙提前______分钟出发；无人驾驶小巴的速度为______；当乙乘坐无人驾驶汽车到达站时，无人驾驶小巴离站还有______．
(2)求乙离开站的路程与时间的函数关系式
并说明图中两函数图象交点的实际意义．
类型一 行程问题
题型07 一次函数的实际应用
类型二 最大利润问题
1．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
题型07 一次函数的实际应用
（2）设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，则，
∵，所以随增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，得，解得．
∴当时，最大，此时，．
答：冰墩墩进货个，雪容融进货个时，获得最大利润，最大利润为元．
1（2023·河南洛阳·统考二模）西峡猕猴桃是河南省西峡县特产．某网店新进甲、乙两种猕猴桃，已知购进件甲种猕猴桃和件乙种猕猴桃需元，购进件甲种猕猴桃和件乙种猕猴桃需元．
(1)求甲、乙两种猕猴桃的进货单价；
(2)若该网店购进甲、乙两种猕猴桃共件，甲种猕猴桃按进价提价后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的倍标价后再打七折销售，若甲、乙两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于元（不考虑损耗），请你帮网店设计利润最大的进货方案，并说明理由．
类型二 最大利润问题
题型07 一次函数的实际应用
（2）解：由（1）可知，甲种猕猴桃的进货单价是元，
乙种猕猴桃的进货单价是元，
∵甲种猕猴桃按进价提价后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的倍标价后再打七折销售，
∴甲种猕猴桃的售价为（元/件），乙种猕猴桃的售价为（元/件），
设购进甲种猕猴桃件，则购进乙种猕猴桃件，总利润为元，销售总额为元，
∴两种猕猴桃件全部售完后的总利润为，
两种猕猴桃件全部售完后的销售总额为，
∵，∴，
∵，而，∴随的增大而减小，∴当时，最大是（元），
∴当购进甲、乙两种猕猴桃各件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是元．
类型三 几何问题
1．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【详解】∵点P (m， 2)是△ABC内部(包括边上)的点．
∴点P在直线y= 2上，如图所示，，
当P为直线y= 2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y= 2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2 =-x+ 3中令y=2，则x= 1，
∵y1 =x+ 3中令y=2，则x= -1，
∴m的最大值为1， m的最小值为- 1．
则m的最大值与最小值之差为：1- (-1)= 2．
故选：B．
题型07 一次函数的实际应用
1.（2023·江苏盐城·校考三模）如图，菱形的顶点、在轴上，，点在边上且横坐标为8，点为边上一动点，轴上有一点．当点到所在直线的距离取得最大值时，点的坐标为 ．
【详解】解：如图，，，，，
点在边上且横坐标为8，，，，
直线过定点，时，点到所在直线的距离取得最大值．
，，设解析式为，代入点坐标得，
，即．此刻直线的值为：，
设直线解析式为：，代入点坐标得：，，
直线的解析式为：，
令，则，解得．
此刻点的坐标为：．故答案为：．
类型三 几何问题
题型07 一次函数的实际应用
类型四 方案选择问题
1．（2022·山东济南·统考中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
题型07 一次函数的实际应用
题型07 一次函数的实际应用
类型四 方案选择问题
2．（2023·四川·统考中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出
在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【详解】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为、
当时，方式A的计费金额为元，方式B的计费金额为108元；
方式A的计费金额，方式B的计费金额为108元；
当时，方式A的计费金额为，方式B的计费金额为
总结如下表：
（2）解：当时，
，
，故选方式B计费．
（3）解：令，有解得
∴当时，方式A更省钱；
当时，方式A和B金额一样；
当时，方式B更省钱．
1．（2023·浙江·模拟预测）某礼品经销商在春节前购进了甲、乙两种规格的礼品盒盒，共花费了元．已知甲、乙两种规格的礼品盒的进价和售价如下表：
(1)该礼品经销商购进甲、乙两种规格的礼品盒各多少盒？
(2)由于市场供不应求，该礼品经销商计划再购进两种礼品盒共盒，而此次投入不超过元，为使得获利最大，应如何进货．
题型07 一次函数的实际应用
类型四 方案选择问题
1．（2023·江苏苏州·统考中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：
(1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）
(2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
(3)在整个往返过程中，若，求的值．
题型07 一次函数的实际应用
类型五 其它问题
【详解】（1）∵，
当滑块在点时，， ，
当滑块在点时，， ，
∴的值由负到正．
故答案为：由负到正．
（2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，
∵，∴，
∴∴是的一次函数，
∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；∴当时，，
∴，∴，∴滑块从点到点所用的时间为 ，
∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，
∴滑块从点到点的滑动时间为 ，∴滑块返回的速度为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴与的函数表达式为；
（3）当时，有两种情况，由（2）可得，
①当时，，解得：；
②当时，，解得：，
综上所述，当或时，．
题型08 反比例函数与实际问题
用反比例函数解决实际问题的步骤：
1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
利用反比例函数解决实际问题，要做到：
1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
【易错点】1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
提分笔记
1．（2023·浙江温州·统考中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
∴P关于V的函数解析式为，∴当时，则，当时，则，∴压强由加压到，则气体体积压缩了；故答案为20．
题型08 反比例函数与实际问题
2．（2022·山东枣庄·统考中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
2．（2022·山东枣庄·统考中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
（2）解：当x≥3时，设y=，把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=，
解得k=13.5，∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）解：能，理由如下：
当x=15时，y==0.9，因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
题型08 反比例函数与实际问题
1．（2023·广东云浮·统考一模）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 小时．
【详解】解：由题意可得，当时，，
当时，设函数关系式为，将代入可得：， 所以y与t的函数关系式为；
当时，函数关系式为，将代入可得：，所以y与t的函数关系式是：；
当时，将代入可得：，解得：；
当时，将代入可得：，解得：．
（小时），
所以成年人服药一次有效的时间是小时．
故答案为：．
题型08 反比例函数与实际问题
题型09 二次函数与实际问题
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，
与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
高分秘籍
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题.
【注意】自变量的取决范围.
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题.
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题.
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
类型一 销售问题
1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求关于的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
题型09 二次函数与实际问题
（2）设利润为当时，
∵在范围内，随着的增大而增大，当时，取得最大值为；
当时，
∴当时，w取得最大值为
，当销售价格为元时，利润最大为．
类型一 销售问题
1.（2023·广东深圳·校考模拟预测）深圳某公司生产A、B两种玩具，每个B玩具的成本是A玩具的1.5倍，公司投入1600元生产A种玩具，3600元生产B种玩具，共生产玩具1000个，请解答下列问题：
(1)A、B两种玩具每个的成本分别是多少元？
(2)某大学生自主创业，在网上销售B玩具，物价部门规定每个售价不低于进货价且每个的利润不允许高于进货价的．试营销阶段发现：当销售单价是8元时，每天的销售量为120件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少20件．求销售单价为多少元时，该玩具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【详解】（1）解：设A玩具每个的成本为x元，B玩具每个的成本为元．
根据题意得：解得：经检验 是原方程的解．
答：A、B两种玩具每个的成本分别是4元和6元．
（2）解：设销售单价为a元，则销售量为： 件；由题可知且
根据题意得：
，
当销售单价为9元时利润最大为300元．
题型09 二次函数与实际问题
类型二 拱桥问题
1．（2023·陕西·统考中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．
【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，
把代入得：，解得：，
∴；∴方案一中抛物线的函数表达式为；
题型09 二次函数与实际问题
（2）解：在中，令得：
，解得或，
∴，∴；
∵，∴．
类型二 拱桥问题
1．（2023·河南濮阳·统考三模）湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度．(1)求抛物线的表达式；
(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？
【详解】（1）解：∵为4米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米，∴抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）解：在中，令可得：，
解得：（舍去）或，∴C处距桥墩的距离至少为米．
题型09 二次函数与实际问题
类型三 图形问题
1．（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，此时x的值为2m；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
题型09 二次函数与实际问题
类型三 图形问题
1（2022·福建南平·统考一模）如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．
(1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)当矩形茶园的面积为200平方米时，求的长．
【详解】（1）解：，
，得
自变量的取值范围为：
（2）根据题意，令得：
解得
答：当矩形茶园的面积为200平方米时，长10米．
题型09 二次函数与实际问题
类型四 图形运动问题
1．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：根据题意可得：，，设，则，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，
，，，，
，
由图象可得的最大值为3，，解得：或（舍去），，
，
平行四边形的面积为：，故选：C．
题型09 二次函数与实际问题
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ）
【详解】解：，
，
，
，
故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，
故选：A．
类型四 图形运动问题
题型09 二次函数与实际问题
类型四 图形运动问题
1（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）在中，，，，点，点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，沿边以的速度向点运动，（点不与，重合，点不与，重合），设运动时间为．
(1)求证：；
(2)当为何值时，以为直径的与直线相切？
(3)把沿直线折叠得到，若与梯形重叠部分的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
【详解】（1）证明：点，点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，
沿边以的速度向点运动，
设运动时间为，则，
，， ，
，；
题型09 二次函数与实际问题
（2）解：过作于，如图所示： 在中，，
由（1）知， ，即，，的半径，
由（1）知，即，，
，于，由等面积法可知；，
圆心到直线的距离，
与直线相切， ，解得，即当时，与直线相切；
类型四 图形运动问题
1（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）在中，，，，点，点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，沿边以的速度向点运动，（点不与，重合，点不与，重合），设运动时间为．
(3)把沿直线折叠得到，若与梯形重叠部分的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
（3）解：折叠如图所示：
当点落在直线上时，则点为的中点，根据题意，以点在直线上为分界线分两种情况讨论：
①当时（当点落在直线上方），，
当时，；
②当时（当点落在直线下方），设交于，交于，，，
，
，当时，，
综上所述，当时，值最大，最大值是8．
题型09 二次函数与实际问题
类型五 投球问题
1．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
求符合条件的n的整数值．
【详解】（1）解：∵抛物线，∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
题型09 二次函数与实际问题
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，∴点A的坐标范围为，
当经过时，，解得；当经过时，，解得；
∴∴符合条件的n的整数值为4和5．
类型五 投球问题
1．（2023·安徽·校联考模拟预测）掷实心球是安徽省高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图是某学生投实心球，出手后实心球沿一段抛物线为常数，运行，当运行到最高点时，运行高度，水平距离．
（1）当出手高度为时， ；
（2）若实心球落地水平距离不小于，且不超过，则的取值范围是 ．
【详解】解：（）设，
将代入可得，解得，
（2）设，若落地水平距离不小于，
则当时，，代入得，解得；
当时，，代入得，解得，
综上所述，．
题型09 二次函数与实际问题
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专题03 函数、方程及不等式的应用
2024年中考数学二轮复习讲练测
目录
CONTENTS
01
02
知识建构
03
考点精讲
考情分析
第一部分
考情分析
稿定PPT
稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你
02
考点要求 命题预测
函数、方程及不等式的应用 函数、方程及不等式的应用在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问题抽象出一次方程(组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的实际应用，解不等式(组)的应用题，与一次函数、反比例函数、二次函数的相关应用题等.
第二部分
知识建构
稿定PPT
稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你
02
第三部分
考点精讲
考点一 函数、方程及不等式的应用
题型01 坐标方法的简单应用
利用隐含的平面直角坐标系确定地理位置的坐标的一般步骤：
1)根据已知地理位置的坐标找出原点的位置:
2)根据原点的位置建立平面直角坐标系;
3)由平面直角坐标系得到其他地理位置的坐标.
用坐标表示地理位置确定物体位置的方法：
有行列定位法、方向角+距离定位法、经纬定位法，最常用的是用平面直角坐标系中点的坐标来表示位置解答此类问题的关键是建立平面直角坐标系，而建立平面直角坐标系的关键是确定坐标原点,确定坐标原点的位置一般分两种情况:(1)题目隐含条件中已经给定:(2)任意选择，自建坐标系.
提分笔记
题型01 坐标方法的简单应用
1．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
2．（2019·浙江金华·统考中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（ ）
A．在南偏东75 方向处 B．在5km处
C．在南偏东15 方向5km处 D．在南偏东75 方向5km处
1.（2023·山西晋城·校联考模拟预测）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ．
2.（2022·河北石家庄·校联考三模）某学校在某商城的南偏西方向上，且距离商城，则下列表示正确的是（ ）
题型01 坐标方法的简单应用
题型02 从函数图象上获取信息
从函数图象中获取信息的方法
(1)首先弄清坐标轴所表示的意义：x轴和y轴上的点分别表示自变量和因变量，要弄清自变量与因变量及其取值范围是什么:
(2)弄清图象上的点所表示的意义：由该点向x轴和y轴分别作垂线，当自变量取x轴上的垂足所对应的数时，因变量取y轴上的垂足所对应的数.
(3)弄清图象上的最高点和最低点分别表示的意义：最高点对应着函数的最大值，最低点对应着函数的最小值，进而求出函数的取值范围,
(4)弄清图象上的上升线、下降线、水平线分别表示的意义:上升线表示函数值随自变量取值的增加而增大，下降线表示函数值随自变量取值的增加而减下，水平线表示函数值随自变量取值的增加而不变.
提分笔记
1．（2023·贵州·统考中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速度为
C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到黄果树景点的时间共用了
2．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
题型02 从函数图象上获取信息
1（2023·广东湛江·统考一模）在我国川西高原某山脉间有一河流，当河流中的水位上升到一定高度时因河堤承压有溃堤的危险．于是水利工程师在此河段的某处河堤上修了一个排水的预警水库连通另一支流．当河流的水位超过警戒位时就有河水流入预警的水库中，当水库有一定量的积水后，就会自动打开水库的排水系统流入另一支流．当河流的水位低于警戒位时水库的排水系统的排水速度则变慢．假设预警水库的积水时间为分钟，水库中积水量为吨，图中的折线表示某天与的函数关系，下列说法中：
①这天预警水库排水时间持续了分钟；②河流的水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少吨分；
③预警水库最高积水量为吨；④河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为吨分．
其中正确的信息判断是 A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【详解】解：由图象得：～分，水库开始积水，
～分，水库有一定量的积水，水库的排水系统打开，
～分时，水库停止进水，只排水，
这天预警水库排水时间持续了分钟，故①错误；
吨分，也就是水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少吨分，②正确；
从图象看出预警水库积水量为吨时停止进水，并不能反映出预警水库的最高积水量，③错误；
从图象看出河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为吨分，④正确．故选：D．
题型02 从函数图象上获取信息
2.（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则甲到B地后乙距离B地 m．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，则，
甲加速后的速度为：，
由图可知，甲在第86分钟到达B地，
∴A、B两地距离为，
∴甲到B地后乙与B地距离为：，
故答案为：3600．
题型02 从函数图象上获取信息
题型03 实际问题与一次方程（组）
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1）审题：弄清题意；
2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；
3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程；
4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；
5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.
提分笔记
题型03 实际问题与一次方程（组）
高分秘籍
与一次方程（组）有关应用题的常见类型：
1．（2023·四川南充·统考中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·贵州·统考中考真题）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型一 一元一次方程与实际问题
3．（2023·江苏扬州·统考中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，
根据题意，得解得，，∴，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型一 一元一次方程与实际问题
1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）某医疗器械企业计划购进20台机器生产口罩，已知生产口罩面的机器每台每天的产量为12000个，生产耳挂绳的机器每台每天的产量为96000个，口罩是一个口罩面和两个耳挂绳构成，为使每天生产的口罩面和耳挂绳刚好配套，该企业应分别购进生产口罩面和生产耳挂绳的机器各多少台？
【详解】解：设该企业购进生产口罩面的机器台，则生产耳挂绳的机器为台，
依题意得， 解得 ∴，
∴该企业购进生产口罩面的机器台，生产耳挂绳的机器为台．
2．（2022·山西运城·统考一模）在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，政府为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天后，还剩70米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工5米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？
【详解】设甲工程队每天施工x米，则乙工程队每天施工(x-5)米，
根据题意可得：，
解得：，
，
答：甲工程队每天施工35米，乙工程队每天施工30米．
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型一 一元一次方程与实际问题
类型二 列二元一次方程组
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型二 列二元一次方程组
1（2023衢州市一模）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
2（2023·河北保定·二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为（ ）
A． B． C． D．
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型三 二元一次方程组与实际问题
1．（2023·四川巴中·统考中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
2．（2023·辽宁·统考中考真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型三 二元一次方程组与实际问题
1．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）元旦期间，七（1）班明明等同学随家长一同到某景区游玩，该景区门票价格规定如图：
(1)明明他们一共人，分别按成人和学生购票，共需元，求他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)购完票后，明明发现，如果购团体票更省钱，正在此时，七（2）班涛涛等名同学和他们的名家长共人也来购票，请你为七（2）班设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．
题型03 实际问题与一次方程（组）
类型一 列分式方程
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
题型04 分式方程的实际应用
提分笔记
类型一 列分式方程
1．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川广安·统考中考真题）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
题型04 分式方程的实际应用
类型一 列分式方程
1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前5天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产万个口罩，则可列方程式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模），两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型04 分式方程的实际应用
类型二 分式方程与实际问题
1．（2023·湖北武汉·统考中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．
【详解】解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．∴，解得，经检验是方程的根且符合题意，
∴两图象交点的纵坐标是．故答案为：
题型04 分式方程的实际应用
2．（2023·重庆·统考中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
【详解】（1）解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，
由题意知，，解得，，
∴，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
（2）解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，
由题意知，，解得，
经检验，是分式方程的解，∴购买牛肉面60份．
类型二 分式方程与实际问题
1.（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：
(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；
(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
【详解】（1）解：设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，则，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
（2）解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为（小时），
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：（小时），
设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得：，解得：，
答：为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时．
题型04 分式方程的实际应用
类型二 分式方程与实际问题
2.（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
【详解】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．
由题意：解得x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．
（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．
m≤100﹣m，∴m≤50，
由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，
∴m=50时，w有最小值=5500（元）
题型04 分式方程的实际应用
题型05 不等式（组）的实际应用
一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：
1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50.
提分笔记
1．（2023·山东济南·统考中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得解这个方程，得，
经检验，是原方程的根．∴，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
题型05 不等式（组）的实际应用
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．∴即，
∵，∴随的增大而增大．∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
2．（2023·江西·统考中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
(1)求该班的学生人数；
(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人，
由题意得，，解得，
∴该班的学生人数为45人；
（2）解：由（1）得一共购买了棵树苗，
设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，
由题意得，，解得，
∴m得最小值为80，∴至少购买了甲树苗80棵，
答：至少购买了甲树苗80棵．
题型05 不等式（组）的实际应用
1.（2023·广东佛山·统考二模）日前市教育局发布了《佛山市教育局关于做好2023年我市初中毕业升学体育考试工作的通知》，确定了考试项目可由学生自行选择．某校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划增购一批篮球和足球，如果购买20个足球和15个篮球，共需2050元；如果购买10个足球和20个篮球，共需1900元．
(1)足球与篮球的单价分别为多少元？
(2)若学校计划用不超过2800元的经费购买足球和篮球共50个，且足球数不多于篮球数的3倍，则最多购买多少个篮球？
题型05 不等式（组）的实际应用
2.（2022·云南昆明·统考三模）某地区为打造乡村振兴示范区．实行大面积机械化种植，今年共计种植某作物700亩，预计租用10台作物收割机在一天之内完成该作物的收割.已知可租用A、B两种型号的作物收割机，2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收制该作物310亩，1台A型号收割机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩，租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用B型号收割机的租金为每天2000元．(1)两种型号收割机每台每天平均收割多少亩该作物
(2)设租用x台A型号的收割机，完成该作物的收割需要的总租金为y元，一共有多少种租赁方案，并求出最少的总租金．
题型05 不等式（组）的实际应用
当时，，即租用A型号的收割机7台，租用B型号的收割机3台，完成该作物收割需要的总租金为元；
当时，，即租用A型号的收割机8台，租用B型号的收割机2台，完成该作物收割需要的总租金为元；
当时，，即租用A型号的收割机9台，租用B型号的收割机1台，完成该作物收割需要的总租金为元；
当时，，即租用A型号的收割机10台，租用B型号的收割机0台，完成该作物收割需要的总租金为元；
综上所述，一共有4种租赁方案，最少的总租金为27000元．
题型06 一元二次方程的实际应用
高分秘籍
4)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
5）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m，则m =n（n－1）
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m，则m = n（n－1）
题型06 一元二次方程的实际应用
高分秘籍
1．（2023·浙江衢州·统考中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江湖州·统考中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型06 一元二次方程的实际应用
3．（2022·山东济南·统考中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 ．
【详解】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：16．
题型06 一元二次方程的实际应用
1.（2023·广东阳江·一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？
【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染人．根据题意得，解得，或，∵，∴，
答：每轮感染中平均一个人传染人；
（2）解：根据题意可得：第三轮的患病人数为，∵，∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过人，
答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人；
题型06 一元二次方程的实际应用
2.（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
【详解】（1）解：设该公司销售产品每次的增长率为，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．
答：该公司销售产品每次的增长率为．
（2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，依题意，得：，解得：，．尽量减少库存，．答：每套产品需降价1万元．
题型07 一次函数的实际应用
一次函数的实际应用：
1）一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→
结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起
解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案
的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用.
2）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，
通过建模解决问题.
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围.
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3）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，
由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，
则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，
自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.
涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→
根据自变量的取值范围确定最值．
4）当需要利用函数和函数图象比较数的大小，主要有三种方法：
①直接把x值代入函数关系式，求出相应的y值，比较数的大小；
②在函数图象上描出各点，再根据各点的位置情况，比较数的大小；
③利用函数的增减性，比较数的大小.
类型一 行程问题
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．
(1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
题型07 一次函数的实际应用
1.（2022·浙江绍兴·统考一模）绍兴首条智慧快速路于今年3月19日正式通车．该快速路上，两站相距，甲、乙两名杭州亚运会会务工作志愿者从站出发前往站附近的比赛场馆开展服务．甲乘坐无人驾驶小巴，乙乘坐无人驾驶汽车．图中，分别表示甲、乙离开站的路程与时间的函数关系的图象．
(1)填空：甲比乙提前______分钟出发；无人驾驶小巴的速度为______；当乙乘坐无人驾驶汽车到达站时，无人驾驶小巴离站还有______．
(2)求乙离开站的路程与时间的函数关系式
并说明图中两函数图象交点的实际意义．
类型一 行程问题
题型07 一次函数的实际应用
类型二 最大利润问题
1．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
题型07 一次函数的实际应用
（2）设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，则，
∵，所以随增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，得，解得．
∴当时，最大，此时，．
答：冰墩墩进货个，雪容融进货个时，获得最大利润，最大利润为元．
1（2023·河南洛阳·统考二模）西峡猕猴桃是河南省西峡县特产．某网店新进甲、乙两种猕猴桃，已知购进件甲种猕猴桃和件乙种猕猴桃需元，购进件甲种猕猴桃和件乙种猕猴桃需元．
(1)求甲、乙两种猕猴桃的进货单价；
(2)若该网店购进甲、乙两种猕猴桃共件，甲种猕猴桃按进价提价后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的倍标价后再打七折销售，若甲、乙两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于元（不考虑损耗），请你帮网店设计利润最大的进货方案，并说明理由．
类型二 最大利润问题
题型07 一次函数的实际应用
（2）解：由（1）可知，甲种猕猴桃的进货单价是元，
乙种猕猴桃的进货单价是元，
∵甲种猕猴桃按进价提价后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的倍标价后再打七折销售，
∴甲种猕猴桃的售价为（元/件），乙种猕猴桃的售价为（元/件），
设购进甲种猕猴桃件，则购进乙种猕猴桃件，总利润为元，销售总额为元，
∴两种猕猴桃件全部售完后的总利润为，
两种猕猴桃件全部售完后的销售总额为，
∵，∴，
∵，而，∴随的增大而减小，∴当时，最大是（元），
∴当购进甲、乙两种猕猴桃各件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是元．
类型三 几何问题
1．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【详解】∵点P (m， 2)是△ABC内部(包括边上)的点．
∴点P在直线y= 2上，如图所示，，
当P为直线y= 2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y= 2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2 =-x+ 3中令y=2，则x= 1，
∵y1 =x+ 3中令y=2，则x= -1，
∴m的最大值为1， m的最小值为- 1．
则m的最大值与最小值之差为：1- (-1)= 2．
故选：B．
题型07 一次函数的实际应用
1.（2023·江苏盐城·校考三模）如图，菱形的顶点、在轴上，，点在边上且横坐标为8，点为边上一动点，轴上有一点．当点到所在直线的距离取得最大值时，点的坐标为 ．
【详解】解：如图，，，，，
点在边上且横坐标为8，，，，
直线过定点，时，点到所在直线的距离取得最大值．
，，设解析式为，代入点坐标得，
，即．此刻直线的值为：，
设直线解析式为：，代入点坐标得：，，
直线的解析式为：，
令，则，解得．
此刻点的坐标为：．故答案为：．
类型三 几何问题
题型07 一次函数的实际应用
类型四 方案选择问题
1．（2022·山东济南·统考中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
题型07 一次函数的实际应用
题型07 一次函数的实际应用
类型四 方案选择问题
2．（2023·四川·统考中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出
在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【详解】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为、
当时，方式A的计费金额为元，方式B的计费金额为108元；
方式A的计费金额，方式B的计费金额为108元；
当时，方式A的计费金额为，方式B的计费金额为
总结如下表：
（2）解：当时，
，
，故选方式B计费．
（3）解：令，有解得
∴当时，方式A更省钱；
当时，方式A和B金额一样；
当时，方式B更省钱．
1．（2023·浙江·模拟预测）某礼品经销商在春节前购进了甲、乙两种规格的礼品盒盒，共花费了元．已知甲、乙两种规格的礼品盒的进价和售价如下表：
(1)该礼品经销商购进甲、乙两种规格的礼品盒各多少盒？
(2)由于市场供不应求，该礼品经销商计划再购进两种礼品盒共盒，而此次投入不超过元，为使得获利最大，应如何进货．
题型07 一次函数的实际应用
类型四 方案选择问题
1．（2023·江苏苏州·统考中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：
(1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）
(2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
(3)在整个往返过程中，若，求的值．
题型07 一次函数的实际应用
类型五 其它问题
【详解】（1）∵，
当滑块在点时，， ，
当滑块在点时，， ，
∴的值由负到正．
故答案为：由负到正．
（2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，
∵，∴，
∴∴是的一次函数，
∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；∴当时，，
∴，∴，∴滑块从点到点所用的时间为 ，
∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，
∴滑块从点到点的滑动时间为 ，∴滑块返回的速度为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴与的函数表达式为；
（3）当时，有两种情况，由（2）可得，
①当时，，解得：；
②当时，，解得：，
综上所述，当或时，．
题型08 反比例函数与实际问题
用反比例函数解决实际问题的步骤：
1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
利用反比例函数解决实际问题，要做到：
1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
【易错点】1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
提分笔记
1．（2023·浙江温州·统考中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
∴P关于V的函数解析式为，∴当时，则，当时，则，∴压强由加压到，则气体体积压缩了；故答案为20．
题型08 反比例函数与实际问题
2．（2022·山东枣庄·统考中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
2．（2022·山东枣庄·统考中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
（2）解：当x≥3时，设y=，把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=，
解得k=13.5，∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）解：能，理由如下：
当x=15时，y==0.9，因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
题型08 反比例函数与实际问题
1．（2023·广东云浮·统考一模）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 小时．
【详解】解：由题意可得，当时，，
当时，设函数关系式为，将代入可得：， 所以y与t的函数关系式为；
当时，函数关系式为，将代入可得：，所以y与t的函数关系式是：；
当时，将代入可得：，解得：；
当时，将代入可得：，解得：．
（小时），
所以成年人服药一次有效的时间是小时．
故答案为：．
题型08 反比例函数与实际问题
题型09 二次函数与实际问题
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，
与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
高分秘籍
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题.
【注意】自变量的取决范围.
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题.
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题.
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
类型一 销售问题
1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求关于的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
题型09 二次函数与实际问题
（2）设利润为当时，
∵在范围内，随着的增大而增大，当时，取得最大值为；
当时，
∴当时，w取得最大值为
，当销售价格为元时，利润最大为．
类型一 销售问题
1.（2023·广东深圳·校考模拟预测）深圳某公司生产A、B两种玩具，每个B玩具的成本是A玩具的1.5倍，公司投入1600元生产A种玩具，3600元生产B种玩具，共生产玩具1000个，请解答下列问题：
(1)A、B两种玩具每个的成本分别是多少元？
(2)某大学生自主创业，在网上销售B玩具，物价部门规定每个售价不低于进货价且每个的利润不允许高于进货价的．试营销阶段发现：当销售单价是8元时，每天的销售量为120件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少20件．求销售单价为多少元时，该玩具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【详解】（1）解：设A玩具每个的成本为x元，B玩具每个的成本为元．
根据题意得：解得：经检验 是原方程的解．
答：A、B两种玩具每个的成本分别是4元和6元．
（2）解：设销售单价为a元，则销售量为： 件；由题可知且
根据题意得：
，
当销售单价为9元时利润最大为300元．
题型09 二次函数与实际问题
类型二 拱桥问题
1．（2023·陕西·统考中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．
【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，
把代入得：，解得：，
∴；∴方案一中抛物线的函数表达式为；
题型09 二次函数与实际问题
（2）解：在中，令得：
，解得或，
∴，∴；
∵，∴．
类型二 拱桥问题
1．（2023·河南濮阳·统考三模）湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度．(1)求抛物线的表达式；
(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？
【详解】（1）解：∵为4米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米，∴抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）解：在中，令可得：，
解得：（舍去）或，∴C处距桥墩的距离至少为米．
题型09 二次函数与实际问题
类型三 图形问题
1．（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，此时x的值为2m；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
题型09 二次函数与实际问题
类型三 图形问题
1（2022·福建南平·统考一模）如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．
(1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)当矩形茶园的面积为200平方米时，求的长．
【详解】（1）解：，
，得
自变量的取值范围为：
（2）根据题意，令得：
解得
答：当矩形茶园的面积为200平方米时，长10米．
题型09 二次函数与实际问题
类型四 图形运动问题
1．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：根据题意可得：，，设，则，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，
，，，，
，
由图象可得的最大值为3，，解得：或（舍去），，
，
平行四边形的面积为：，故选：C．
题型09 二次函数与实际问题
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ）
【详解】解：，
，
，
，
故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，
故选：A．
类型四 图形运动问题
题型09 二次函数与实际问题
类型四 图形运动问题
1（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）在中，，，，点，点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，沿边以的速度向点运动，（点不与，重合，点不与，重合），设运动时间为．
(1)求证：；
(2)当为何值时，以为直径的与直线相切？
(3)把沿直线折叠得到，若与梯形重叠部分的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
【详解】（1）证明：点，点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，
沿边以的速度向点运动，
设运动时间为，则，
，， ，
，；
题型09 二次函数与实际问题
（2）解：过作于，如图所示： 在中，，
由（1）知， ，即，，的半径，
由（1）知，即，，
，于，由等面积法可知；，
圆心到直线的距离，
与直线相切， ，解得，即当时，与直线相切；
类型四 图形运动问题
1（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）在中，，，，点，点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，沿边以的速度向点运动，（点不与，重合，点不与，重合），设运动时间为．
(3)把沿直线折叠得到，若与梯形重叠部分的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
（3）解：折叠如图所示：
当点落在直线上时，则点为的中点，根据题意，以点在直线上为分界线分两种情况讨论：
①当时（当点落在直线上方），，
当时，；
②当时（当点落在直线下方），设交于，交于，，，
，
，当时，，
综上所述，当时，值最大，最大值是8．
题型09 二次函数与实际问题
类型五 投球问题
1．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
求符合条件的n的整数值．
【详解】（1）解：∵抛物线，∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
题型09 二次函数与实际问题
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，∴点A的坐标范围为，
当经过时，，解得；当经过时，，解得；
∴∴符合条件的n的整数值为4和5．
类型五 投球问题
1．（2023·安徽·校联考模拟预测）掷实心球是安徽省高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图是某学生投实心球，出手后实心球沿一段抛物线为常数，运行，当运行到最高点时，运行高度，水平距离．
（1）当出手高度为时， ；
（2）若实心球落地水平距离不小于，且不超过，则的取值范围是 ．
【详解】解：（）设，
将代入可得，解得，
（2）设，若落地水平距离不小于，
则当时，，代入得，解得；
当时，，代入得，解得，
综上所述，．
题型09 二次函数与实际问题
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