专题6.2直角三角---十字架模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

(共17张PPT)
专题六 直角三角形模型
人教版中考第二轮总复习---几何模型
§6.2 “十字架”模型
考点4-1
模型分析
正方形中的十字架结构
【引例】在正方形ABCD中,BN⊥AM,则常见的结论有哪些
A
M
N
D
C
B
P
【结论】△ADM≌△BAN,AM=BN.
“垂等图”
【例1】在正方形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点,
⑴若EF⊥GH,证明：EF=GH；
⑵若EF=GH,证明：EF⊥GH.
以上结论，称之为“垂等图”！
以上方法：改斜归正,横平竖直.
过点H作HN⊥BC,过点F作FM⊥AB.
【结论】△HNG≌△FME,GH=EF.
A
F
H
D
C
B
P
G
E
M
N
考点4-1
典例精讲
正方形中的十字架结构
1.如图,将边长为4的正方形纸片ABCD折叠,使得点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F在AD边,求折痕FG的长.
A
B
E
F
C
D
B
G
【解析】连接AE,由轴对称的性质可知,AE⊥FG
(FG垂直平分AE),这样就可以直接用上面的结论.
所以由垂直得到相等,所以FG=AE
考点4-1
针对训练
正方形中的十字架结构
考点4-2
模型分析
矩形中的十字架结构
【思考】既然正方形内可出现垂直,那么矩形内出现垂直会有什么结论呢
【引例】如图1,在矩形ABCD中,AB=m,AD=n,在AD上有一点E,若CE⊥BD,则CE和BD之间有什么数量关系 证明请.
B
E
C
D
A
图1
CE
BD
=
CD
BC
=
m
n
【例2-1】如图2,一般情况,在矩形ABCD中,E、F、G、H分别为AD、BC、AB、CD边上的点,当EF⊥GH时,证明：⑴△FME∽GNH；⑵EF:GH=AB:BC
N
M
B
H
E
C
D
A
F
E
图2
考点4-2
典例精讲
矩形中的十字架结构
【例2-2】如图,已知直线y=-x+2与x轴,y轴分别交于B,A两点,将△AOB沿着AB翻折,使点O落在点D上,当反比例函数经过点D时,求k的值.
F
G
E
【解析】求出点D的坐标就好啦！这个题学生不会做,主要是图不完整,太空啦！所以把它围成一个矩形就好啦！(如图)发现连接OD后,有OD⊥AB(发现没有,矩形内部垂直模型出来了！)
∴ED:AO=OE:OB=OD易求A(0,2),B(4,0)
∴AB=2√5,OD=20G,
考点4-2
典例精讲
矩形中的十字架结构
y
x
O
D
A
B
在△ABO中,利用面积法可快速求出:
OG=
4 5
5
∴OD=
8 5
5
∴
ED
2
=
OE
2
8 5
5
=
2 5
=
4
5
∴ED=
8
5
,OE=
16
5
∴D( , )
8
5
16
5
∴k=
8
5
×
16
5
=
128
25
1.如图把边长为AB=6,BC=8的矩形ABCD对折,使点B和D重合,求折痕MN的长.
A
M
C
D
B
N
考点4-2
针对训练
矩形中的十字架结构
MN=
15
2
2.在Rt△ACB中,AC=4,BC=3,点D为AC上一点,连接BD,E为AB上一点,CE⊥BD，当AD=CD时,求AE的长.
我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形.所以矩形的结论可沿用至直角三角形内——
【解析】如图,补成矩形ACBH,延长CE交AH于点G.
∴△BCD∽△CAG.
∴CD:AG=CB:AC=AB:CG
∴2:AG=3:4=5:CG,
∴AG=8/3,CG=20/3.
如图,再用一次X型相似即可.
设CE=x,EG=20/3-x
∴AG:BC=EG:CE,
H
G
A
D
E
B
C
F
考点4-2
针对训练
矩形中的十字架结构
20
3
=
x
即：
3
8
3
-x
解得:
x=
60
17
3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90 ,BA=BC,点D为BC边上的中点,BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点F,则AF：FC的值为___________.
推广：此题变式：BD：DC=2：3，则：AF：FC=( )
【分析】八字相似得：AF:FC=AB:CG
由全等得：CG=BD
A
B
E
D
C
F
G
∴AF:FC=AB:BD=2
考点4-2
针对训练
矩形中的十字架结构
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.求证：∠ADC=∠BDF.
A
D
F
B
C
E
∴∠1=∠2.
证明：如图,过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∵∠ACB=90 ，
∴∠2+∠ACF=90 .
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90
∴∠1+∠ACF=180 -∠AEC=90 .
G
1
2
∵AC=CB,∠ACD=∠CBG=90
∴CD=BD.
∴△ACD≌△CBG(ASA)．
∴∠ADC=∠G,CD=BG.
∵点D为BC的中点，
∴BD=BG
∵∠DBG=90 ,∠DBF=45 ,
∴∠GBF=∠DBG-∠DBF=45 .
∴∠DBF=∠GBF.
∴△BDF≌△BGF(SAS)．
∴∠BDF=∠G.
∴∠ADC=∠BDF.
本题运用了构造法,通过作辅助线构造△CBG,△BGF是解题的关键.还可以用十字架来寻找.
考点4-2
针对训练
矩形中的十字架结构
【例3】如图，把边长为AB＝,BC=4且∠B=45 的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.
A
M
N
D
C
B
【解析】看着不熟悉吗？
怎么转换为熟悉的模型呢？
看下面，补成矩形不就好了！
E
F
考点4-3
典例精讲
其他四边形中的十字架结构
∵ = ,BD=2 10,BF=6.
MN
BD
DF
BF
∴MN=
2 10
3
∴由前面得到的结论,可知DE:CF=AD:AM,
1.如图,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90 ,DE⊥CF,请求出DE：CF的值.
考点4-3
针对训练
其他四边形中的十字架结构
A
E
D
C
B
G
F
【解析】咋一看,又是个不规则的图形.
再仔细看一下条件,发现其实是个轴对称的图形
再利用一下条件,可算出BD=10,发现△BCD也是个直角三角形.要求DE与CF的比值,仍然往我们熟悉的模型上靠拢,将这个图形补成矩形.
M
N
6
8
8
6
x
6+x
∴△BMC∽△CND，且相似比BC:CD=3:4,
设BM=x,∴CN=4/3x,MC=8-4/3x.
∴MC:ND=3:4,
6+x
即：
=
4
3
8-
4
3
x
解得：x=
42
25
∴ = =
DE
CF
AD
AM
8
25
192
24
25
=
【探究证明】(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究,提出下列问题,请你给出证明.
如图1,矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分别变AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H.求证：EF:GH=AD:AB；
【结论应用】(2)如图2,在满足(1)的条件下,又AM⊥BN,点M,N分别在边BC,CD上,若EF:GH=11:15,则BN:AM的值为________；
【联系拓展】(3)如图3,四边形ABCD中,∠ABC=90 ,AB=AD=10,BC=CD=5,
AM⊥DN,点M,N分别在边BC,AB上,求DN:AM的值.
考点4-3
针对训练
其他四边形中的十字架结构
A
F
H
G
D
C
B
E
图1
A
F
H
G
D
C
B
E
图2
N
M
A
M
D
C
B
N
图3
11:15
4:5
【例4】如图：△ABC是等腰三角形,D、E分别是BC、CA上的点,AD、BE相交于点F,∠AFE=∠C
求证：⑴△AFE∽△ACD；⑵△DBF∽△DAB；
⑶△BDF∽△BEC；⑷△ADB∽△BEC；
⑸D、C、E、F四点共圆.
考点4-4
典例精讲
等腰三角形中的斜十字
A
B
C
D
E
F
图中三边三线被分成的六个线段比知二求四！
1.平行线截线段成比例定理的应用.
2.三角形三条中线交点(重心)的性质定理.
【例4】如图：△ABC中,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,G为AD、
BE、CF的交点,且BD:DC=2:1.求：AG:GE.
A
B
C
D
E
G
F
知识点四
典例精讲
任意三角形中的斜十字
知识梳理
课堂小结
“十字架”模型
口诀：三角形，四边形，十字架中有乾坤；
又改斜，又改正，横平竖直有矩形。