《三角函数与三角恒等变形》
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一、填空题
1．【江苏·无锡】9．若对任意实数t，都有．记，则 ▲－1 ．
2．【江苏·扬州】3．函数的最小正周期是 ．
3．【江苏·常州】2．函数的最小值是 。
4．【江苏·常州】10．下列五个命题：1）的最小正周期是；2）终边在轴上的角的集合是；3）在同一坐标系中，的图象和的图象有三个公共点；4) 在上是减函数；5）把的图象向右平移得到的图象。其中真命题的序号是 1）、5） 。
5．【江苏·常州】11．已知＝ 。
6．【江苏·淮、徐、宿、连】6.若函数f(x)=2sinx(>0)在上单调递增，则的最大值为 .
7．【江苏·淮、徐、宿、连】11.已知函数f(x)= sinx+cosx，则= 0 .
8．【江苏·南通】2． 已知函数，则的最小正周期是 ▲ ．
9．【江苏·启东中学模拟】2．设则的值等于__
10．【江苏·启东中学】2．已知，则＝_____▲_____．
11．【江苏·苏北四市】2. 函数的增区间为 ▲ .
12．【江苏·盐城】1.已知角的终边过点(－5,12),则=____▲____.
二、计算题
1．【江苏·启东中学模拟】15．（本小题满分14分）已知函数
（1）求的最大值及最小正周期； （2）求使≥2的x的取值范围.
【解】（I）
∴当时,
（II）,
的x的取值范围是
2．【江苏·启东中学】15．（本题满分14分，第1问7分，第2问7分）
已知向量a=(sin(+x),cosx)，b =(sinx,cosx), f(x)=a·b．
⑴求f(x)的最小正周期和单调增区间；
⑵如果三角形ABC中，满足f(A)=，求角A的值．
【解】⑴f(x)= sinxcosx++cos2x = sin(2x+)+---------------------3分
T=π，2 kπ-≤2x+≤2 kπ+，k∈Z,
最小正周期为π，----------------------------------------------------5分
单调增区间[kπ-,kπ+],k∈Z.-----------------------------------------------------7分
⑵由sin(2A+)=0,<2A+<,-----------------------------------------------------10分
∴2A+=π或2π，∴A=或------------------------------------14分
3．【江苏·苏北四市】15. (本题满分14分)
已知
（1）的解析表达式；
（2）若角是一个三角形的最小内角，试求函数的值域．
【解】（1）由，得
，…………………………2分
，
， ，
于是， ，
∴，即．…………………………7分
（2）∵角是一个三角形的最小内角，∴0<≤,,………………10分
设,则≥（当且仅当时取=）,………12分
故函数的值域为．………………………………14分
4．15．【江苏·苏州】（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调增区间；
（Ⅱ）已知，且，求α的值．
【解】（Ⅰ）＝．………… 4分
由，得．
∴函数的单调增区间为 ．………… 7分
（Ⅱ）由，得．
∴． ………………………………………… 10分
∴，或，
即或．
∵，∴． …………………………………………… 14分
5．【江苏·泰州】15、已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．
（1）求tanα的值；
（2）求cos()的值．
【解】（1）∵a⊥b，∴a·b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，
故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．……………………………………2分
由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．…………6分
∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．…………7分
（2）∵α∈（），∴．
由tanα＝－，求得，＝2（舍去）．
∴，…………………………………………………………12分
cos()＝
＝ ＝． ………………………14分
《初等函数与函数的应用》
一、填空题
1．【江苏·无锡】4．幂函数的图象经过点，则满足＝27的x的值是 ▲ ．
2．【江苏·无锡】10．已知函数f（x）＝loga| x |在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2） ▲< f（a＋1）．（填写“<”，“＝”，“>”之一）
3．【江苏·常州】9．已知是的零点，且，则从小到大的顺序是 。
4．【江苏·淮、徐、宿、连】14.设函数,方程f(x)＝x+a有且只有两相不等实数根，则实a的取值范围为 .
5．【江苏·南通】14．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
6．【江苏·泰州实验】14.对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数”。在实数轴R（箭头向右）上[]是在点左侧的第一个整数点，当是整数时[]就是。这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
那么= 857 ．
7．【江苏·启东中学模拟】5．函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为__ 8 ．
8．【江苏·启东中学】5．设，若，则实数的取值范围是 ▲ ．
9．【江苏·启东中学】14．三位同学合作学习，对问题“已知不等式对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路.
甲说：“可视为变量，为常量来分析”.
乙说：“不等式两边同除以2，再作分析”.
丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”.
参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是 ▲ ．
10．【江苏·苏北四市】11．若方程的解为，则不等式的最大整数解是▲2 .．
11．4．【江苏·苏州】函数的值域是____（0，＋∞）_____．
12．11．【江苏·苏州】已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为_________．
13．【江苏·泰州实验】1．的定义域是_____ ．
14．【江苏·泰州实验】2．集合，若，则= ．
15．【江苏·泰州实验】4．已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，设时的速度为，则时轿车的瞬时加速度为_______6________．
三、计算题
1．【江苏·常州】19.（16分）， （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）证明：时，在上不存在零点。
【解】（1）方法一：分离参数，，变成求函数的最小值。
方法二：利用二次函数的知识解不等式。
（2）的根不在之间即可。
当，
的零点不在之间。
2．【江苏·启东中学模拟】18．（本小题满分16分）即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通。根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次。每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数。(注: 营运人数指火车运送的人数)
【解】设这列火车每天来回次数为次，每次拖挂车厢节 2分
则设 由 解得
4分
设每次拖挂节车厢每天营运人数为人 1分
则 2分
当时,总人数最多为15840人 2分
答:每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15840人. 1分
3．【江苏·启东中学模拟】19．（本小题满分16分）已知函数（）.
(I)若的定义域和值域均是，求实数的值；
(II)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围.
【解】∵（）,
∴在上是减函数，（2分）
又定义域和值域均为，∴ ，（4分）
即 ， 解得 .（6分）
(II) ∵在区间上是减函数，∴，（8分）
又，且，
∴，.（11分）
∵对任意的，，总有，
∴，（13分）
即 ，解得 ，（14分）
又， ∴.（15分）
4．【江苏·苏北四市】17.(本题满分14分) 某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价（元/件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：
时间（将第x天记为x）x
1
10
11
18
单价（元/件）P
9
0
1
8
而这20天相应的销售量（百件/天）与对应的点在如图所示的半圆上．
（Ⅰ）写出每天销售收入（元）与时间（天）的函数关系式；
（Ⅱ）在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价定为多少元为好？（结果精确到1元）
【解】（1）， ………3分
，， ………6分
∴。 ………8分
（2）∵，……11分
∴当且仅当，即时，有最大值。……13分
∵，∴取时，（元），
此时，（元）。答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价定为7元为好
5．18．【江苏·苏州】（本小题满分15分）
经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t（件），价格近似满足（元）．
（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（Ⅱ）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
【解】（Ⅰ） …… 4分
＝ …………………… 8分
（Ⅱ）当0≤t＜10时，y的取值范围是[1200，1225]，
在t＝5时，y取得最大值为1225； …………………… 11分
当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1200]，
在t＝20时，y取得最小值为600． …………………… 14分
（答）总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；
第20天，日销售额y取得最小为600元． …………………… 15分
6．【江苏·泰州实验】19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
已知函数(其中且,为实数常数)．
（1）若，求的值(用表示)；
（2）若且对于恒成立，求实数m的取值范围(用表示)．
【解】（1）当时,当时,. …………….2分
由条件可知，,即解得…………6分
∵ …………..8分
（2）当时, ……………10分
即
………………13分
故m的取值范围是 …………….16分
《直线与圆及其方程》
一、填空题
1．【江苏·无锡】8．在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A1，A2，A3，A4，A5，A6六个点．则
＝ ▲3 ．
2．【江苏·扬州】9．若直线过点，则以坐标原点为圆心，长为半径的圆的面积的最小值是 1 ．
3．【江苏·常州】6．与直线都相切的半径最小的圆的标准方程是 。
4．【江苏·常州】8．直线与两直线分别交于两点，若直线的中点是，则直线的斜率为 。
5．【江苏·南通】3． 经过点（－2，3），且与直线平行的直线方程为 ▲ ．
6．【江苏·南通】13．在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则等于 ▲ ．
7．【江苏·启东中学模拟】8．设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为 。
8．【江苏·启东中学模拟】9．若过点的直线与曲线有公共点，则
直线的斜率的取值范围为
9．【江苏·泰州】10、已知直线和直线与两坐标轴；围成一个 四边形，则使得这个四边形面积最小的值为
本部分为《必修二》的第一章《空间几何体》
一、填空题
1．【江苏·扬州】8．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 .
2．【江苏·常州】3．一几何体的主视图、左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 。
3．【江苏·常州】13．一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰快，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点。如果将容器倒置，水面也恰好过点，有下列四个命题：1）任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点；2）正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；3）若往容器内再注升水，则容器恰好能装满；4）将容器侧面水平放置时，水面也恰好过。其中真命题的代号为 3）4） 。
4．【江苏·南通】7． 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，则四面体的外接球的体积为 ▲ ．
5．【江苏·启东中学模拟】12．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，
如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶
点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶
点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其
余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能
是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为________①③④⑤______．（写出所有正
确结论的编号）
6．【江苏·启东中学模拟】13．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最大值与最小值之差为 6 ．
7．【江苏·启东中学】12．在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ▲ ．
8．12．【江苏·苏州】已知一个正三棱锥P－ABC的主视图如图所示，若AC＝BC＝，PC＝，则此正三棱锥的全面积为_________．
9．【江苏·泰州】7、棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的 中点，则直线被球截得的线段长为
10．【江苏·盐城】3.如图,一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形,其俯视图是直径为2的圆,则该几何体的表面积为____▲____.
二、计算题
1．【江苏·南通】23．（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），高为h，求梯形的面积．
方法一：延长DA、CB交于点O，过点O作CD的垂线分别交AB、CD于E，F，则．
设即．
．
方法二：作AB的平行线MN分别交AD、BC于M、N，过点A作BC的平行线AQ分别交MN、DC于P、Q，则．
设梯形AMNB的高为，
．
再解下面的问题：
已知四棱台ABCD－A′B′C′D′的上、下底面的面积分别是，棱台的高为h，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积=底面积高）．
解法一：将四棱台ABCD－A′B′C′D′补为四棱锥V－ABCD，设点V到面A′B′C′D′的距离为h′．由即
所以
，
所以四棱台ABCD－A′B′C′D′的体积为． …………5分
解法二：作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为S，它与上底面的距离为x，
，
．
，
，
．……………………………………………10分
《立体几何》、《空间向量与立体几何》
一、填空题
1．所成的角的大小为 ．
2．【江苏·扬州】4．长方体中，，则与平面
所成的角的大小为 ★ ．
3．【江苏·苏北四市】10.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若；
②若m、l是异面直线，；
③若；
④若
其中为真命题的是▲ ①②④ .
4．【江苏·苏北四市】14．若RtΔABC中两直角边为a、b,斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记M=,N=,那么M、N的大小关系是▲M=N ．
5．【江苏·苏州】已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，
有下列四个命题：
①若，m⊥n，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______①④________．
6．【江苏·泰州实验】13.已知正四棱锥P—ABCD的高为4，侧棱长与底面所成的角为，则该正四棱锥的侧面积是 ．
7．【江苏·泰州】3、已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：
①若，则； ②若，则；
③若上有两个点到的距离相等，则； ④若，则。
其中正确命题的序号是 ② ④
8．【江苏·泰州】11、正三棱锥高为2，侧棱与底面成角，则点A到侧面的距离是
9．【江苏·盐城】13.如图,在三棱锥中, 、、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为____▲1____.
二、计算题
1．【江苏·无锡】16．（本小题满分14分）
直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，
∠BAD＝∠ADC＝90°，．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与
平面ACB1都平行？证明你的结论．
证明：（Ⅰ） 直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC． ………………2分
又∠BAD＝∠ADC＝90°，，
∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………………5分
又，平面BB1C1C， AC⊥平面BB1C1C． …7分
（Ⅱ）存在点P，P为A1B1的中点． ……………………………………8分
证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝AB．……………………9分
又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB1，且DC＝ PB1，
∴DC PB1为平行四边形，从而CB1∥DP．…………………………11分
又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP‖面ACB1．………………………………13分
同理，DP‖面BCB1．…………………………………………………14分
评讲建议：
本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．
2．【江苏·淮、徐、宿、连】16.(本小题满分14分)
如图，四边形ABCD为矩形，BC上平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥BE；
(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．
求证：MN∥平面DAE．
【解】（1）证明：因为，，
所以，………………………………………………2分
又，，
所以， ……………………………………………4分
又，所以……………………………………………6分
又，所以． ……………………………………………8分
（2）取的中点，连接，因为点为线段的中点．
所以||，且， ……………………………………………………10分
又四边形是矩形，点为线段的中点，所以||，且，
所以||，且，故四边形是平行四边形，所以||…………12分
而平面，平面，所以∥平面． …………………14分
3．
【江苏·淮、徐、宿、连】22.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，F是BC的中点，点E在D1C1上，且D1E=D1C1,试求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值.
【解】设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系，则各点的坐标分别为,, ，……………………2分
所以，， ……………………4分
为平面的法向量，
.……8分
所以直线与平面所成角的正弦值为.………………………………10分
4．【江苏·南通】15．（本小题14分）
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．
（1）求证：AD⊥平面BC C1 B1；
（2）设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，
A1E∥平面ADC1？请给出证明．
解: （1）在正三棱柱中，C C1⊥平面ABC，AD平面ABC，
∴ AD⊥C C1．………………………2分
又AD⊥C1D，C C1交C1D于C1，且C C1和C1D都在面BC C1 B1内，
∴ AD⊥面BC C1 B1． ……………………………………………5分
（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．…………7分
当，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1．…………………8分
事实上，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BC C1 B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1B∥DE，B1B= DE． ……………………10分
又B1B∥AA1，且B1B=AA1，
∴DE∥AA1，且DE=AA1． …………………………………………12分
所以四边形ADE A1为平行四边形，所以E A1∥AD．
而E A1面AD C1内，故A1E∥平面AD C1． …………………………14分
5．【江苏·启东中学模拟】16．（本小题满分14分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，
∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.
（1）求证：AB 1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
【解】（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1
∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段
∵CE=，AC=1 , ∴CD=
∴；
6．【江苏·启东中学】16．（本题满分14分，第1问4分，第2问5分，第3问5分）
如下的三个图中，分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的主视图和左视图（单位：cm）
（1）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结，证明：面．
【解】（1）如图
------------4分
（2）所求多面体体积．--------9分
（3）证明：在长方体中，
连结，则．
因为分别为，中点，所以--11分
从而．又平面，所以面． --------------14分
7．【江苏·苏北四市】16. (本题满分14分)
如图，已知空间四边形中，，是的中点．
求证：（1）平面CDE；
（2）平面平面．
（3）若G为的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF平面CDE．
【解】证明：（1）同理，
又∵ ∴平面． …………………5分
（2）由（1）有平面
又∵平面， ∴平面平面．………………9分
（3）连接AG并延长交CD于H，连接EH，则，
在AE上取点F使得，则，易知GF平面CDE．…………………14分
8．【江苏·苏北四市】4. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。
（I）求证：平面；
（II）求到平面的距离；
（III）求二面角余弦值的大小。
【解】（I）如图，取的中点，则，因为，
所以，又平面，
以为轴建立空间坐标系，
则，，，
，，
，，
，由，知，
又，从而平面；
（II）由，得。
设平面的法向量为，，，所以
，设，则
所以点到平面的距离。
（III）再设平面的法向量为，，，
所以
，设，则，
故，根据法向量的方向，
可知二面角的余弦值大小为
9．17．【江苏·苏州】（本小题满分15分）
在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．
【解】（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，
∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝2，AD＝4．
∴SABCD＝
．……………… 3分
则V＝． ……………… 5分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC． ……………… 7分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC． ……… 9分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分
（Ⅲ）证法一：
取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．
∵EM 平面PAB，PA平面PAB，
∴EM∥平面PAB． ……… 12分
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB． ……… 14分
∵EM∩MC＝M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，
∴EC∥平面PAB． ……… 15分
证法二：
延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，
∴C为ND的中点． ……12分
∵E为PD中点，∴EC∥PN．……14分
∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，
∴EC∥平面PAB． ……… 15分
10．【江苏·泰州实验】16. (本题满分14分)四棱锥中，底面为矩形，
侧面底面，．
（Ⅰ）取的中点为，的中点为，证明：面；
（Ⅱ）证明：．
【解】 (1)取的中点为连可以证明
面面， 面…………………6分
（2）取中点，连接交于点，
，
，
又面面，
面，
．………………….10分
，
，
，即，
面，
．………………….14分
11．【江苏·泰州实验】3.（本小题满分10分）右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知,，．
（1）设点是的中点，证明：平面；
（2）求二面角的大小；
【解】解法一：
（1）证明：作交于，连．
则．
因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有．
平面且平面，
则面．……………….5分
（2）如图，过作截面面，分别交于．
作于，连．
因为面，所以，则平面．
又因为．
所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．
因为，所以，故，
即：所求二面角的大小为．……………….10分
解法二：
（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则因为是的中点，所以，
．
易知，是平面的一个法向量．
因为平面，
所以平面．……………….5分
（2），
设是平面的一个法向量，则
则得：
取．
显然，为平面的一个法向量．
则，结合图形可知所求二面角为锐角．
所以二面角的大小是．……………….10分
12．【江苏·泰州】16、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的
中点．
（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．
【解】证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则
（2）
（3）
且
，
∴ 即
=
=
13．【江苏·盐城】16. (本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,侧面底面,侧棱,底面是直角梯形,其中,,,是上一点.
(Ⅰ)若,试指出点的位置；
(Ⅱ)求证:.
【解】 (Ⅰ)解:因为,,且,
所以………………………………………………………(4分)
又,所以四边形为平行四边形,则……………………………………(6分)
而,故点的位置满足…………………………………………………(7分)
(Ⅱ)证: 因为侧面底面,,且,
所以,则………………………………………(10分)
又,且,所以 ………(13分)
而,所以………………………(14分)
14．【江苏·盐城】22．（本小题满分10分）
如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.
（Ⅰ）求点A到平面PBD的距离；
（Ⅱ）求二面角A—PB—D的余弦值.
【解】 解:以OA、OB所在直线分别x轴，y轴,以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，…(2分)
（Ⅰ）设平面PDB的法向量为,
由,
所以=………………………………(5分)
（Ⅱ）设平面ABP的法向量，，
,，
,而所求的二面角与互补,
所以二面角A—PB—D的余弦值为………………………………………(10分)
15．【江苏·常州】16.（14分）如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥，
，点平面且
证明：平面；
证明：平面。
【解】（略）
《算 法 初 步》
一、填空题
1．【江苏·无锡】7．以下伪代码：
Read x
If x≤ 0 Then
← 4x
Else
←
End If
Print
根据以上算法，可求得的值为 ▲－8 ．
说明：算法在复习中不应搞得太难，建议阅读《数学通报》2008．1中的一篇关于“四省”07年的高考中的算法的文章．
2．【江苏·扬州】7. 执行右边的程序框图，若，则输出的 ．
3．【江苏·淮、徐、宿、连】8.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T为 625 .
4．【江苏·南通】5． 程序如下：
t←1
i←2
While i≤4
t←t×i
i←i＋1
End While
Print t
以上程序输出的结果是 ▲24 ．
5．【江苏·启东中学】7．左面伪代码的输出结果为 ▲26 ．
6．【江苏·苏北四市】4. 一个算法如下：第一步：s取值0，i取值1
第二步：若i不大于12，则执行下一步；否则执行第六步
第三步：计算S＋i并将结果代替S
第四步：用i＋2的值代替i
第五步：转去执行第二步
第六步：输出S
则运行以上步骤输出的结果为 ▲36 .
7．【江苏·苏州】5。如图，程序执行后输出的结果为_____64____．
8．
【江苏·盐城】7.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.
观测次数
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据
40
41
43
43
44
46
47
48
在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中是这8个数据的平均数),则输出的S的值是____▲7____.
《统计与概率》
一、选择题
1．【江苏·无锡】3．在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为 ▲0.03 ．
2．【江苏·淮、徐、宿、连】12.如图，半径为10 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 .
3．【江苏·南通】10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 ▲ ．
4．【江苏·启东中学】4．如图所示，墙上挂有一边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是__ ▲ ___．
5．【江苏·启东中学】9．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为 ▲ ．
6．【江苏·苏北四市】6.一个总体中的80个个体编号为0，l，2，……，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，要用（错位）系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本．即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i，依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取个位数为i+k（当i＋k<10）或i+k－10（当i＋k≥10）的号码．在i=6时，所抽到的8个号码是 ▲6，17，28，39，40，51，62，73 .
7．9．【江苏·苏州】一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于16的概率为_________．
8．【江苏·泰州实验】7．下列关于的说法中，正确的是 ③ ．
①在任何相互独立问题中都可以用于检验是否相关；
②越大，两个事件的相关性越大；
③是用来判断两个相互独立事件相关与否的一个统计量，
它可以用来判断两个事件是否相关这一类问题.
9．【江苏·泰州实验】8．泰州实验中学有学生3000人，其中高三学生600人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为 ．
10．【江苏·泰州实验】10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 ．
11．【江苏·泰州实验】12．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是___ 60 ．
12．【江苏·泰州】1、分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m和n，则的概率为
13．【江苏·泰州】2、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 40 人．
14．【江苏·盐城】5. 某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(0C)
18
13
10
-1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程中，预测当气温为
时，用电量的度数约为____▲68____.
二、计算题
1．【江苏·淮、徐、宿、连】15.(本小题满分14分)
已知z，y之间的一组数据如下表：
x
1
3
6
7
8
y
1
2
3
4
5
(1)从x ,y中各取一个数，求x+y≥10的概率；
(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，试利
用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好.
【解】（1）从x,y各取一个数组成数对(x ,y)，共有25对，……………………………2分
其中满足的有，共9对…5分
故所求概率为，所以使的概率为．…………………………… 7分
（2）用作为拟合直线时，所得值与的实际值的差的平方和为
．………………………10分
用作为拟合直线时，所得值与的实际值的差的平方和为
．………………………12分
，故用直线拟合程度更好．……………………………14分
2．【江苏·南通】17．（本小题15分）
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日 期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差（°C）
10
11
13
12
8
发芽数（颗）
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?
解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分
所以 ．………………………………………………4分
答：略． ………………………………………………………………5分
（2）由数据，求得．……………………………………………7分
由公式，求得，． ………………………………9分
所以y关于x的线性回归方程为． …………………………10分
（3）当x=10时，，|22－23|＜2；………………………12分
同样，当x=8时，，|17－16|＜2．……………………14分
所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……………………15分
第一章《集合与函数概念》
一、填空题
1．【江苏·扬州】1．命题“”的否定是 ．
2．【江苏·扬州】10．已知集合，在集合任取一个元素，则事件“”的概率是 ．
3．【江苏·常州】4．已知集合，则 。
4．【江苏·常州】14．在实数集中定义一种运算“*”，具有性质：1）a*b=b*a 2)a*0=a
3)(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c 则函数的最小值为 3 。
5．【江苏·淮、徐、宿、连】1.已知集合A={x|x=2n—l，n∈Z}，B={x|x2一4x<0}，则A∩B= .
6．【江苏·南通】1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合，则集合= ▲{6，7} ．
7．【江苏·启东中学模拟】1．已知集合，，则__ .
8．【江苏·启东中学模拟】7．若函数是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足，则不等式的解集为 （0，+） 。
9．【江苏·启东中学】13．对于函数，在使≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数 的“下确界”，则函数的下确界为 ▲0.5 ．
10．【江苏·苏北四市】1．已知数集中有三个元素，那么x的取值范围为 ▲ .
11．1．【江苏·苏州】集合的所有子集个数为_____8____．
12．【江苏·泰州】13、已知是以2为周期的偶函数，当时，，且在内，关于 的方程有四个根，则得取值范围是
二、计算题
1．【江苏·启东中学】17．（本题满分15分，第1问7分，第2问8分）
已知函数，常数．
（1）设，证明：函数在上单调递增；
（2）设且的定义域和值域都是，求常数的取值范围．
【解】（1）任取，，且，--------------------------2分
，
因为，，，所以，即，----5分
故在上单调递增．或求导方法．--------------------------7分
（2）因为在上单调递增，
的定义域、值域都是，---------------------10分
即是方程的两个不等的正根
有两个不等的正根．-------------------------13分
所以，---------------------15分
《不等式与简单的线性》
大 纲 版 部 分
一、填空题
1．【江苏·无锡】13．若不等式组 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是 ▲ ．
2．【江苏·扬州】5．已知实数满足则的最小值是 1 ．
3．【江苏·常州】17.（14分）如图所示，将一快矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在上，且对角线过点，米，米。
（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内？ （2）若的长不小于6米，则当的长是多少时，矩形的面积最小？求出最小值。
【解】设或 （2）。
4．【江苏·淮、徐、宿、连】5.如果实数x，y满足不等式组，则z=x+2y最小值为 5 .
5．【江苏·淮、徐、宿、连】7.已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到盒底的距离为 10 cm.
6．【江苏·南通】9． 设a＞0，集合A={（x，y）|}，B={（x，y）|}．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是 ▲0＜a≤ ．
7．【江苏·启东中学模拟】14．设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“海宝”函数. 给出下列函数：
①；②；③；④
其中是“海宝”函数的序号为 ③ ．
8．【江苏·泰州实验】11．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．
如果是围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，
点的坐标是 ．
9．【江苏·泰州】14、已知点（1，0）在直线的两侧，则下列说法
（1）
（2）时，有最小值，无最大值
（3）恒成立
（4）,, 则的取值范围为（-
其中正确的是 （3）（4） （把你认为所有正确的命题的序号都填上）
10．【江苏·泰州】9、实数满足，且，则 1
11．【江苏·盐城】4.设不等式组所表示的区域为,现在区域中任意丢进一个粒子,则该粒子落在直线上方的概率为____▲____.
12．【江苏·盐城】6.设方程的解为,则关于的不等式的最大整数解为___▲4___.
13．【江苏·盐城】14.若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是____▲____.
二、计算题
1．【江苏·泰州】18、如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.
（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明
【解】（1）在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°y2＝x2＋AE2－x·AE,①
又S△ADE＝ S△ABC＝a2＝x·AE·sin60°x·AE＝2.②
②代入①得y2＝x2＋－2（y＞0）, ∴y＝（1≤x≤2）。。。.6分
（2）如果DE是水管y＝≥,
当且仅当x2＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝.
如果DE是参观线路，记f（x）＝x2＋，可知
函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，
故f（x） max＝f（1）＝f（2）＝5. ∴y max＝.
即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.。。。。。。。。。。。8分
《导 数 及 其 应 用》
一、填空题
1．【江苏·扬州】14．若函数满足：对于任意的都有恒成立，则的取值范围是 ．
2．【江苏·启东中学】3．若曲线在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为 ▲（1，0） ．
3．【江苏·苏北四市】8．曲线在它们的交点处的两条切线互相垂直，则的值是▲ .
4．【江苏·苏北四市】13．已知函数是定义在R上的奇函数，，
，则不等式的解集是▲ .
5．【江苏·泰州实验】9．函数的单调减区间为________（0,1）_________．
6．【江苏·盐城】8.设为曲线上一点,曲线在点处的切线的斜率的范围是,则点纵坐标的取值范围是____▲____.
二、计算题
1．【江苏·无锡】19．（本小题满分16分）
已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果 是增函数，且存在零点（为的导函数）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1
解：（Ⅰ）因为，
所以． …………………………3分
因为h（x）在区间上是增函数，
所以在区间上恒成立．
若0又存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．
所以a>1．
由恒成立，又存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，
所以lna＝1，即a＝e． ………………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………9分
以下证明． （※）
（※）等价于． ………………………11分
令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，…………………………………13分
r ′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x2］上为增函数．
当x1从而得到证明．……………………………………………15分
对于同理可证………………………………………16分
所以．
2．【江苏·淮、徐、宿、连】19.(本题满分16分)
已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).
(1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数；
(2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；
(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.
【解】（1）当时，，当，，
故函数在上是增函数．………………………………………………4分
（2），当，．
若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时． ……………………………………6分
若，当时，；当时，，此时
是减函数； 当时，，此时是增函数．故
．
若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．…………………………………8分
综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，
的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，
相应的x值为．…………………………………………………………………10分
（3）不等式， 可化为．
∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，
因而（）…………………………………………………………12分
令（），又，………………14分
当时，，，
从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，
故的最小值为，所以a的取值范围是． ……………………16分
3．【江苏·启东中学】20．（本题满分16分，第1问4分，第2问6分，第3问6分）
已知函数,过点P(1,0)作曲线的两条切线PM,PN,切点分别为M,N．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）设|MN|=，试求函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在m＋1个数使得不等式成立，求m的最大值．
【解】（1）当 --------2分
.则函数有单调递增区间为-- 4分
（2）设M、N两点的横坐标分别为、，
同理，由切线PN也过点（1，0），得 （2）---------------6分
由（1）、（2），可得的两根，
------------------------------------------------------8分
把（*）式代入，得
因此，函数 ----------------10分
（3）易知上为增函数，
------------12分
由于m为正整数，. --------------------------------------------------14 分
又当
因此，m的最大值为6. ----------------------------------------------16分
4．20．【江苏·苏州】（本小题满分16分）
已知函数图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）；
（Ⅲ）令，如果图象与轴交于，AB中点为，求证：．
【解】Ⅰ），，．
∴，且． …………………… 2分
解得a＝2，b＝1． …………………… 4分
（Ⅱ），令，
则，令，得x＝1（x＝－1舍去）．
在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；
当x∈时，，∴h(x)是减函数． …………………… 7分
则方程在内有两个不等实根的充要条件是……10分
即． …………………… 12分
（Ⅲ），．
假设结论成立，则有
①－②，得．
∴．
由④得，
∴．即．
即．⑤ …………………… 14分
令，（0＜t＜1)，
则＞0．∴在0＜t＜1上增函数．
，∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴． ………………………………… 16分
5．【江苏·泰州】19、已知数列，中，，且是函数
的一个极值点.
（1）求数列的通项公式；
（2） 若点的坐标为（1，）（，过函数图像上的点 的切线始终与平行（O 为原点），求证：当 时，不等式
对任意都成立.
【解】（1）由
是首项为，公比为的等比数列
当时，，
所以
（2）由得：
(作差证明)
综上所述当 时，不等式对任意都成立.
6．【江苏·泰州】20、已知其中是自然常数，
（1）讨论时, 的单调性、极值;
（2）求证：在（1）的条件下，
（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。
【解】（1）
当时，，此时为单调递减
当时，，此时为单调递增
的极小值为
（2）的极小值，即在的最小值为1
令
又 当时
在上单调递减
当时，
（3）假设存在实数，使有最小值3，
①当时，由于，则
函数是上的增函数
解得（舍去）
②当时，则当时，
此时是减函数
当时，，此时是增函数
解得
7．【江苏·泰州】2、已知二次函数为常数）；.若直线1、2与函数f（x）的图象以及1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（1）求、b、c的值
（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
【解】（1）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16
则，
∴函数f（x）的解析式为
（2）由得
∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（
由定积分的几何意义知：
8．【江苏·盐城】19. (本小题满分16分)
已知函数定义域为(),设.
(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
(Ⅱ)求证:；
(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.
【解】 (Ⅰ)解:因为…………………………(2分)
由；由,所以在上递增,
在上递减 …………………………………………………………………(4分)
欲在上为单调函数,则……………………………(5分)
(Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值(7分)
又,所以在上的最小值为 …………………………(9分)
从而当时,,即………………………(10分)
(Ⅲ)证:因为,所以即为,
令,从而问题转化为证明方程=0
在上有解,并讨论解的个数…………………………………………(12分)
因为,,所以
①当时,,所以在上有解,且只有一解 …(13分)
②当时,,但由于,
所以在上有解,且有两解 …………………………………(14分)
③当时,,所以在上有且只有一解；
当时,,
所以在上也有且只有一解………………………………(15分)
综上所述, 对于任意的,总存在,满足,
且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意……(16分)
(说明:第(Ⅱ)题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)
《常用逻辑用语》、《二次曲线》
一、填空题
1．【江苏·无锡】11．过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C．若，则直线AB的斜率为 ▲ ．
2．【江苏·扬州】6．已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 .
3．【江苏·扬州】11．已知、是椭圆+=1的左右焦点，弦过F1，若的周长为，则椭圆的离心率为 ．
4．【江苏·淮、徐、宿、连】10.如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且过C，D两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为 .
5．【江苏·南通】8． 以椭圆的左焦点为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．
6．【江苏·启东中学模拟】10．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹方程为
7．【江苏·启东中学模拟】11．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则
8．【江苏·启东中学】6．若椭圆的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 ▲ ．
9．【江苏·苏北四市】9.椭圆，右焦点F（c,0），方程的两个根分别为x1,x2，则点P（x1,x2）在与圆的位置关系是 ▲点P（x1,x2）在圆内 .
10．6．【江苏·苏州】椭圆的一条准线方程为，则___5_____．
11．【江苏·泰州实验】6．若直线经过抛物线的焦点，则实数 -1 ．
12．【江苏·泰州】8、设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是
13．【江苏·盐城】10.在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线（）上任意一点,若点在轴、轴上的射影分别为、，则必为定值”.类比于此，对于双曲线（,）上任意一点,类似的命题为:____▲若点P在两渐近线上的射影分别为、，则必为定值_ __.
14．【江苏·盐城】12.设分别是椭圆的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点,使得线段的垂直平分线恰好经过点,则椭圆的离心率的取值范围是____▲____.
15．【江苏·无锡】5．下列四个命题：
①； ②；
③；④．
其中真命题的序号是 ▲④ ．
说明：请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号．如果题中的集合R改成Z，真命题的序号是①④，如果R改成复数集C呢？
16．【江苏·淮、徐、宿、连】3.若命题“x∈R，x2+ax+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是 ∪ .
17．【江苏·苏州】直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是__ a＝－2___．
18．【江苏·盐城】11.现有下列命题:①命题“”的否定是“”；② 若,,则=；③函数是偶函数的充要条件是；④若非零向量满足,则的夹角为 60o.其中正确命题的序号有____▲②③____.(写出所有你认为真命题的序号)
二、计算题
1．【江苏·无锡】18．（本小题满分15分）
已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、
C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；
（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．
解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为
，．………………………………………2分
联立方程组，解出…………………………………………分
，即，即（1＋b）（b－c）>0，
∴ b>c． …………………………………………………………………6分
从而即有，∴．…………………………………7分
又，∴． ……………………………………………8分
（Ⅱ）直线AB与⊙P不能相切．……………………………………………9分
由，＝． ………………………………10分
如果直线AB与⊙P相切，则·＝－1． ……………………12分
解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，……………………………………14分
所以直线AB与⊙P不能相切． …………………………………………15分
2．【江苏·淮、徐、宿、连】18.(本小题满分16分)
设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF平行.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设入射光线与右准线的交点为B，过A，B，F三点的圆恰好与直线3x一y+3=0相切，求椭圆的方程.
【解】⑴因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为，……2分
即，所以，所以椭圆的离心率为． ………………………………6分
⑵由⑴知，可得，又，所以过三点的圆的圆心坐标为，半径， ……………………………………………8分
因为过三点的圆恰好与直线相切，…………………………10分
所以圆心到直线的距离等于半径，即，得， …………14分
所以，所以椭圆的方程为． …………………………………16分
3．
4．【江苏·南通】18．（本小题15分）
抛物线的焦点为F，在抛物线上，且存在实数λ，使0，．
（1）求直线AB的方程；
（2）求△AOB的外接圆的方程．
解：（1）抛物线的准线方程为．
∵，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得||=． …1分
设直线AB：，而
由得． …………………………3分
∴||== ．∴．…6分
从而，故直线AB的方程为，即．…………8分
（2）由 求得A（4，4），B（，－1）．………………………10分
设△AOB的外接圆方程为，则
解得 ………………………………14分
故△AOB的外接圆的方程为．…………………15分
5．【江苏·启东中学模拟】17．（本小题满分14分）已知双曲线，为上的任意点。
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值；
【解】（1）设是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是和.
点到两条渐近线的距离分别是和，
它们的乘积是.
点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.
（2）设的坐标为，则
，
当时，的最小值为，
即的最小值为.
6．【江苏·启东中学】18．（本题满分15分，第1问5分，第2问5分，第3问5分）
已知直线l的方程为，且直线l与x轴交于点M，圆与x轴交于两点．
（1）过M点的直线交圆于两点，且圆孤恰为圆周的，求直线的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（3）过M点作直线与圆相切于点N,设（2）中椭圆的两个焦点分别为F1,F2,求三角形面积．
【解】（1）为圆周的点到直线的距离为-------2分
设的方程为
的方程为----------------------------------------------------------------5分
（2）设椭圆方程为，半焦距为c，则
椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则或 ------------------------------6分
当时，所求椭圆方程为；-------------8分
当时，
所求椭圆方程为-------------------------------------------------------------10分
（3）设切点为N，则由题意得，在中，，则，
N点的坐标为，------------------- 11分
若椭圆为其焦点F1,F2
分别为点A,B故，-----------------------------------13分
若椭圆为，其焦点为,
此时 -------------------------------------------15分
7．【江苏·苏北四市】18．(本题满分16分)有如下结论：“圆上一点处
的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆
处的切线方程为”，过椭圆C：
的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.
（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积
【解】（1）设M
∵点M在MA上∴ ①……………………3分
同理可得②…………………………5分
由①②知AB的方程为…………6分
易知右焦点F（）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（）……8分
（2）把AB的方程
∴……………………12分
又M到AB的距离
∴△ABM的面积……………………15分
8．19．【江苏·苏州】（本小题满分16分）
已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．
（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．
【解】（Ⅰ）点A代入圆C方程，
得．
∵m＜3，∴m＝1． …… 2分
圆C：．
设直线PF1的斜率为k，
则PF1：，
即．
∵直线PF1与圆C相切，
∴．
解得． …………………… 4分
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）． …………………… 6分
2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．
椭圆E的方程为：． …………………… 8分
（Ⅱ），设Q（x，y），，
． …………………… 10分
∵，即，
而，∴－18≤6xy≤18． …………………… 12分
则的取值范围是[0，36]． ……… 14分
的取值范围是[－6，6]．
∴的取值范围是[－12，0]． …………………… 16分
9．【江苏·泰州实验】17．（本题满分15分）已知动点到点的距离是它到点的距离的倍.
（Ⅰ） 试求点的轨迹方程;
（Ⅱ） 试用你探究到的结果求面积的最大值.
【解】 (1),
………………….8分
(2) ………………….10分
………………….15分
10．【江苏·盐城】18. (本小题满分15分)
已知过点,且与:关于直线对称.
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)设为上的一个动点,求的最小值；
(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.
【解】 (Ⅰ)设圆心,则,解得……………(3分)
则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为……(5分)
(Ⅱ)设,则,且…………(7分)
==,所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)
(Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,
,由,得
…(11分)
因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得……………(13分)
同理,,所以=
所以,直线和一定平行………………………………………………(15分)
《平 面 向 量》
一、填空题
1．【江苏·扬州】12．等边三角形中，在线段上，且，若，则实数的值是 ．
2．【江苏·常州】5．已知向量若，则＝ 。
3．【江苏·淮、徐、宿、连】4.已知向量a=(sinx,cosx)，b=(1，一2)，且a⊥b，则tan2x= .
4．【江苏·淮、徐、宿、连】9.如图，在△ABC中，∠BAC＝1200，AB＝AC＝2，D为BC边上的点，且，，则 1 .
5．【江苏·启东中学模拟】6．设O是△ABC内部一点，且
的面积之比为 1 。
6．【江苏·启东中学】11．已知点O为的外心，且,则 ▲6 ．
7．【江苏·苏北四市】3.已知是菱形ABCD的四个顶点，则 ▲6或14 .
8．【江苏·苏北四市】7.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为▲3 .
9．【江苏·泰州实验】5．设|，且、夹角，则_____2 __
10．【江苏·泰州】5、已知点A、B、C满足，，，则的值是_____________.
11．【江苏·泰州】12、已知O为坐标原点, 集合
且 46
二、计算题
1．【江苏·无锡】15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若m，n，试求|mn|的最小值．
解：（Ⅰ），………………………3分
即，
∴，∴． ……………………………5分
∵，∴．……………………………………………7分
（Ⅱ）mn ，
|mn|．10分
∵，∴，∴．
从而．……………………………………………12分
∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．………13分
所以，|mn|．…………………………………………………14分
2．【江苏·南通】16．（本小题14分）
如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求的值．
解 （1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，
则AC=10，．………………2分
又∵，AB=13，
∴． …………………………4分
∵，∴． ………………………………5分
∴．…………………………………8分
（2），，，……………………………………11分
则，∴．……………………14分
3．【江苏·泰州】17、将圆按向量平移得到圆，直线与圆相交于、
两点，若在圆上存在点，使求直线的方程.
【解】由已知圆的方程为，
按平移得到.
∵∴.
即.
又，且，∴.∴.
设， 的中点为D.
由，则，又.
∴到的距离等于.
即， ∴.
∴直线的方程为：或.
4．【江苏·常州】15.（14分）在中，，（1）求 （2）求的值。
【解】（1） （2）
《推理、证明与数学归纳法》
一、填空题
1．【江苏·无锡】14．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果b＝m（mN*），则这样的三角形共有 ▲ 个（用m表示）．
二、计算题
1．【江苏·泰州实验】4.（本题满分10分）如图，、、…、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．
（Ⅰ）写出、、；
（Ⅱ）求出点（）的
横坐标关于的表达式并证明.
【解】（Ⅰ）……………….6分
（2）依题意，得，由此及得
，
即．
由（Ⅰ）可猜想：．
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当时，命题显然成立；
（2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及
得，即
，
解之得
（不合题意，舍去），
即当时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立．……………….10分
《数 列》
一、填空题
1．【江苏·无锡】6．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为
＝ ▲ ．
2．【江苏·扬州】13．数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：
，
若存在整数，使，，则 ．
3．【江苏·常州】7．设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则＝ 。
4．【江苏·常州】12．设数列，且满足，则实数的取值范围是 。
5．【江苏·淮、徐、宿、连】13.已知数列｛an｝共有m项，记｛an｝的所有项和为s(1)，第二项及以后所有项和为s(2)，第三项及以后所有项和为s(3)，…，第n项及以后所有项和为s(n)，若s(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当n6．【江苏·南通】11．数列中，，且（，），则这个数列的通项公式 ▲ ．
7．【江苏·启东中学】8．公差为的等差数列中,是的前项和,
则数列也成等差数列，且公差为，类比上述结论，相应地在公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有 ▲ ．
8．【江苏·启东中学】10．将正奇数排列如下表其中第行第个数表示，例如，若，
则 ▲60 ．
9．10．【江苏·苏州】设等差数列的公差为，若的方差为1，则=_________．
10．14．【江苏·苏州】已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_____18____．
11．【江苏·泰州】6、若数列的前项和，则数列中数值最小的项是第 3 项．
12．【江苏·盐城】9.已知是等比数列,,则
=____▲____.
二、计算题
1．【江苏·无锡】20．（本小题满分16分）
已知数列中，，且对时，有．
（Ⅰ）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前n项和Sn．
（Ⅰ） 证明：由条件，得，
则．………………2分
即，所以，．
所以是首项为2，公比为2的等比数列． ……………4分
，所以．
两边同除以，可得．……………………………6分
于是为以首项，－为公差的等差数列．
所以．………………………8分
（Ⅱ），令，则．
而．
∴． ………………………………………12分
，
∴．…14分
令Tn＝， ①
则2Tn＝． ②
①－②，得Tn＝，Tn＝．
∴．…………………………………………16分
2．【江苏·常州】18.（16分）是上的函数，对于任意和实数，都有
，且。 （1）求的值； （2）令，求证：为等差数列； （3）求的通项公式。
【解】（1）令；再令
（2） 令代入已知得：
＃
（3）。
3．【江苏·常州】20.（16分）已知分别以为公差的等差数列满足。
（1）若，且存在正整数，使得，求证：；
（2）若，且数列的前项和满足
，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，令，问不等式是否对恒成立？请说明理由。
【解】（1），推出是成立的，由均值不等式既得。
（2）
。
（3）
当时，恒成立；
当时，恒成立；
当时，恒成立。所以对任意的正整数，不等式恒成立。
4．【江苏·淮、徐、宿、连】20.(本小题满分16分)
已知以a为首项的数列满足：
(1)若0＜≤6，求证：0＜≤6;
(2)若a，k∈N﹡，求使对任意正整数n都成立的k与a；
(3)若 (m∈N﹡)，试求数列的前4m+2项的和.
【解】 （1）当时，则，当时，则,
故，所以当时，总有． ……………………4分
（2）①当时，，故满足题意的N*．
同理可得，当或4时，满足题意的N*．
当或6时，满足题意的N*．
②当时，，故满足题意的k不存在．
③当时，由（1）知，满足题意的k不存在．
综上得：当时，满足题意的N*；
当时，满足题意的N*． ……………………10分
（3）由mN*，可得，故,
当时，．
故且．又，
所以．
故
=4
=4
=． …………………………16分
5．【江苏·南通】20．（本小题16分）
已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求b的值；
（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．
解：（1）由已知，得．由，得．
因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又，故b≥3． …………2分
再由，得 ．
由，故，即．
由b≥3，故，解得． …………………………………4分
于是，根据，可得．……………………………6分
（2）由，对于任意的，均存在，使得，则
．
又，由数的整除性，得b是5的约数．
故，b=5．
所以b=5时，存在正自然数满足题意．…………………………9分
（3）设数列中，成等比数列，由，，得
．
化简，得． （※） ………………………11分
当时，时，等式（※）成立，而，不成立． ………12分
当时，时，等式（※）成立．……………………………13分
当时，，这与b≥3矛盾．
这时等式（※）不成立．…………………………………………………14分
综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………16分
6．【江苏·启东中学模拟】20．（本小题满分16分）设数列的前项和为，且，其中；
（１）证明：数列是等比数列。
（２）设数列的公比，数列满足，（
求数列的通项公式；
（３）记，记，求数列的前项和为；
【解】（1）由，
相减得：，∴，∴数列是等比数列
（2），∴，
∴是首项为，公差为1的等差数列；∴
∴
（3）时，，∴，
∴， ①
②
②-①得：，
∴，
所以：
7．【江苏·启东中学】19．（本题满分16分，第1问4分，第2问6分，第3问6分）
已知数列中，且点在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数求函数的最小值；
（3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得
对于一切不小于2的自然数恒成立？
若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
【解】1（1）由点P在直线上，
即，------------------------------------------------------------------------2分
且，数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列
，同样满足，所以---------------4分
（2）
---------------------6分
所以是单调递增，故的最小值是-----------------------10分
（3），可得，-------12分
，
……
，n≥2------------------14分
故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立----16分
8．【江苏·苏北四市】20．（本题满分16分）
已知函数，数列满足对于一切有，且．数列满足，设．
（Ⅰ）求证：数列为等比数列，并指出公比；
（Ⅱ）若，求数列的通项公式；
（Ⅲ）若（为常数），求数列从第几项起，后面的项都满足．
【解】（Ⅰ）
… 2分
故数列为等比数列，公比为３. ……… 4分
（Ⅱ）
……… 6分
所以数列是以为首项,公差为 loga3的等差数列.
又
……… 8分
又=1+3,且
……… 10分
（Ⅲ）
假设第项后有
即第项后，于是原命题等价于
……… 15分
故数列从项起满足． ……… 16分
9．16．【江苏·苏州】（本小题满分14分）
已知数列的前n项和为，且．
（Ⅰ）求数列通项公式；
（Ⅱ）若，，求证数列是等比数列，并求数列的前项和．
【解】（Ⅰ）n≥2时，． ………………… 4分
n＝1时，，适合上式，
∴． ………………… 5分
（Ⅱ），． ………………… 8分
即．
∴数列是首项为4、公比为2的等比数列． ………………… 10分
，∴．……………… 12分
Tn＝＝． ………………… 14分
10．【江苏·泰州实验】20. （本题满分16分） 已知数列是公差为的等差数列，
数列是公比为的(q∈R)的等比数列，若函数，且,,，
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，对一切，都有成立，求
【解】(1)数列是公差为的等差数列
，且
………………….4分
数列是公比为的(q∈R)的等比数列
，且,,
………………….8分
(2)
，………………….10分
………………….12分
设
………………….14分
综上………………….16分
11．【江苏·盐城】20. (本小题满分16分)
在正项数列中,令.
（Ⅰ）若是首项为25,公差为2的等差数列,求；
（Ⅱ）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；
（Ⅲ）给定正整数,正实数,对于满足的所有等差数列,
求的最大值.
【解】（Ⅰ）解：由题意得,,所以=…(4分)
（Ⅱ）证:令,,则=1………………………(5分)
所以=（1）,=（2）,
（2）—（1）,得—=,
化简得（3）……………………………………(7分)
（4）,（4）—（3）得(9分)
在（3）中令,得,从而为等差数列 ………………………(10分)
（Ⅲ）记,公差为,则=……(12分)
则,
……………………(14分)
则,当且仅当,即时等号成立 (16分)
《数系的扩充与复数的引入》
一、填空题
1．【江苏·无锡】1．设集合，，则 ▲ ．
2．【江苏·无锡】2．已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝ ▲2 ．
3．【江苏·扬州】2．= ．
4．【江苏·常州】1．复数满足，则＝ 。
5．【江苏·淮、徐、宿、连】2.在复平面内，复数z=(i是虚数单位)对应的点位于
第 一 象限·
6．【江苏·南通】4． 若复数满足则 ▲ ．
7．【江苏·启东中学模拟】3．复数在复平面上对应的点位于第 _ 三 象限.
8．【江苏·启东中学】1．复数z =i2(1+i)的虚部为___ _▲-1_ __．
9．【江苏·苏北四市】5.已知复数若为实数，则实数m= ▲2 .
10．【江苏·苏北四市】12.复数在复平面内对应的点分别为A，B，C，若是钝角，则实数c的取值范围为▲ .
11．【江苏·苏州】2．已知复数，（是虚数单位），若为纯虚数，则实数＝_________．
12．【江苏·泰州实验】3．如果复数是实数，则实数_____
13．【江苏·泰州】4、= -1
14．【江苏·盐城】2.设(为虚数单位),则=____▲____.
《解 三 角 形》
一、填空题
1．【江苏·无锡】12．有一根长为6cm，底面半径为0.5cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 ▲ cm．
2．【江苏·启东中学模拟】4．在△ABC中，BC=1，，当△ABC的面积等于时， 。
3．【江苏·苏州】8．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则＝_________．
4．【江苏·苏州】13．在锐角△ABC中，b＝2，B＝，，则△ABC的面积为_________．
二、计算题
1．【江苏·淮、徐、宿、连】17.(本小题满分14分)
在直角坐标系xoy中，若角的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=x (x≥0).
(1)求的值；
(2)若点P，Q分别是角始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ面积最大时，点P，Q
的坐标．
【解】(1)由射线的方程为，可得， ………2分
故＝. ……………………………………4分
(2)设.
在中因为， ………………………………6分
即，所以≤4 ………………………8分
．当且仅当，即取得等号. ……10分
所以面积最大时，点的坐标分别为．……14分
3．【江苏·南通】19．（本小题16分）
已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设，若在[1，e]上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．
解：（1）由题意，≥0在上恒成立，即…1分
∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，………2分
只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得…4分
（2）由（1），得．．…5分
∵在其定义域内为单调函数，
∴或者在[1，＋∞）恒成立．……6分
等价于，即，
而 ，（）max=1，∴． ………………………8分
等价于，即在[1，＋∞）恒成立，
而∈（0，1]，．
综上，m的取值范围是． ……………………………10分
（3）构造，．
当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个，使得成立． ……………………………12分
当时，．………14分
因为，所以，，所以在恒成立．
故在上单调递增，，只要，
解得．
故的取值范围是．……………………………………16分
4．【江苏·苏北四市】19. (本题满分16分)
已知函数(其中) ,
点从左到右依次是函数图象上三点,且.
（Ⅰ） 证明: 函数在上是减函数；
（Ⅱ）求证：⊿是钝角三角形;
(Ⅲ) 试问,⊿能否是等腰三角形?若能,求⊿面积的最大值;若不能,请说明理由．
【解】 (Ⅰ)
…………………………
所以函数在上是单调减函数. …………………………4分
（Ⅱ） 证明:据题意且x1由(Ⅰ)知f (x1)>f (x2)>f (x3), x2=…………………………6分
…………………8分
即⊿是钝角三角形……………………………………..10分
（Ⅲ）假设⊿为等腰三角形，则只能是
即
① …………………………………………..14分
而事实上, ②
由于,故(2)式等号不成立.这与式矛盾. 所以⊿不可能为等腰三角形..16分
5．【江苏·泰州实验】15．(本题满分14分)
设的内角所对的边长分别为，且，．
（Ⅰ）求和边长；
（Ⅱ）若的面积，求的值．
【解】 （1）由得，
由与两式相除，有：
，………………….4分
又通过知：，
则，，
则．………………….8分
（2）由，得到．………………….10分
由….14
6．【江苏·泰州实验】18．（本题满分15分）由于卫生的要求游泳池要经常换水（进一些干净的水同时放掉一些脏水）, 游泳池的水深经常变化,已知泰州某浴场的水深（米）是时间，(单位小时)的函数，记作，下表是某日各时的水深数据
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
2 5
2 0
15
20
249
2
151
199
2 5
经长期观测的曲线可近似地看成函数
（Ⅰ）根据以上数据，求出函数的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（Ⅱ）依据规定，当水深大于2米时才对游泳爱好者开放，请依据（1）的结论，
判断一天内的上午8 00至晚上20 00之间，有多少时间可供游泳爱好者进行运动
【解】 （1）由表中数据，知， 由得
由,得
所以， 振幅A=，∴y=………………….8分
(2)由题意知，当时，才可对冲浪者开放 ∴>2, >0
∴–,
即有，
由,故可令,得或或 ……1.4分
∴在规定时间内有6个小时可供游泳爱好者运动即上午9 00至下午15 00……….15分
7．【江苏·盐城】15. (本小题满分14分)
已知在中,,分别是角所对的边.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若,,求的面积.
【解】 (Ⅰ)因为,∴,则…………………(4分)
∴……………………………………………………(7分)
(Ⅱ)由,得,∴………………………(9分)
则 ……………………(11分)
由正弦定理,得,∴的面积为……(14分)
8．【江苏·盐城】17. (本小题满分15分)
如图,某小区准备在一直角围墙内的空地上植造一块“绿地”,其中长为定值, 长可根据需要进行调节(足够长).现规划在的内接正方形内种花,其余地方种草,且把种草的面积与种花的面积的比值称为“草花比”.
(Ⅰ)设,将表示成的函数关系式；
(Ⅱ)当为多长时,有最小值?最小值是多少?
【解】解:(Ⅰ)因为,所以的面积为()…………(2分)
设正方形的边长为,则由,得,
解得,则………………………………(6分)
所以,则…(9分) (Ⅱ)因为,所以…(13分)
当且仅当时取等号,此时.所以当长为时,有最小值1…(15分)
《计数原理》、《随机变量及其分析》、《案例分析》
一、填空题
1．【江苏·南通】12．根据下面一组等式：
…………
可得 ▲ ．
2．【江苏·南通】6． 若的方差为3，则
的方差为 ▲27 ．
二、计算题
1．【江苏·无锡】17．（本小题满分15分）
口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：
甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，
否则算乙赢．
（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；
（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．
解：（I）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．………2分
又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， ………4分
所以． …………………………………………………………………6分
答：编号的和为6的概率为．…………………………………………………7分
（Ⅱ）这种游戏规则不公平．…………………………………………………9分
设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， …………………………10分
则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），
（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．
所以甲胜的概率P（B）＝，从而乙胜的概率P（C）＝1－＝．14分
由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． ………………15分
2．【江苏·淮、徐、宿、连】23.(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?
(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．
①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
②记花圃中红色鲜花区域的块数为S，求拿的分布列及其数学期望E(S).
【解】（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：种．…2分
（2）① 设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，
如图二，当区域A、D同色时，共有种；
当区域A、D不同色时，共有种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.…………………………………4分
(由于只有A、D，B、E可能同色，故可按选用3色、4色、
5色分类计算，求出基本事件总数为种）
它们是等可能的。又因为A、D为红色时，共有种；
B、E为红色时，共有种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种．
所以，=． ……………………………………………6分
②随机变量的分布列为：
0
1
2
P
所以，=．……………………………………10分
3．【江苏·苏北四市】3.某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．
【解】（Ⅰ）ξ可能的取值为0，1，2，3．
P(ξ＝0)＝·＝＝P(ξ＝1)＝·＋·＝P(ξ＝2)＝·＋·＝
P(ξ＝3)＝·＝． ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
数学期望为Eξ＝1.2．
(Ⅱ)所求的概率为
p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝
4．【江苏·泰州实验】2. （本题10分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．
【解】 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件
（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
．……………….5分
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，
所以
故．……………….10分
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，
则
所以
于是……………….10分
5．【江苏·泰州】1、在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是.，每次命中与否互相独立.
(1) 求油罐被引爆的概率.
(2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望
【解】（1）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C
∴P(A)=1- 答：油罐被引爆的概率为
（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5，
P(ξ=2)=， P(ξ=3)=C ，
P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C
ξ
2
3
4
5
P
故ξ的分布列为：
Eξ=2×+3×+4×+5×=
6．【江苏·盐城】23. (本小题满分10分)
袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用表示取球终止时所需要的取球次数．
(Ⅰ)求袋中原有白球的个数；
(Ⅱ)求随机变量的概率分布及数学期望；
(Ⅲ)求甲取到白球的概率．
【解】 (Ⅰ)设袋中原有n个白球,由题意知：，所以=12，
解得n=4(舍去),即袋中原有4个白球…………………………………(3分)
(Ⅱ)由题意,的可能取值为1，2，3，4………………………………………(4分)
,
所以，取球次数的分布列为：
1
2
3
4
P
(6分)
………………………………………………………………(8分)
(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A，
则或 “=3”）,所以………………(10分)
7．．【江苏·南通】22．（必做题）已知等式
，其中ai（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：
（1）的值；
（2）的值．
解：（1）在中，
令，得．………………………………………………………2分
令，得． ………………………4分
所以． ………………………………………5分
（2）等式两边对x求导，得
．…7分
在中，
令x=0，整理，得．……10分
