2023-2024学年江苏省南京市秦淮区钟英中学九年级（下）段考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区钟英中学九年级（下）段考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.南京长江隧道即将通车，这将大大改善市民过江难的问题已知隧道洞长米，这个数用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.教练想从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加比赛，故先在队内举行了一场选拔比赛下表记录了这四名运动员选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数秒
方差秒
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应选( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4.某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是元，元，元，元和元，那么他们工资的中位数为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
5.下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
6.如图，将一张直角三角形纸片的斜边放在矩形的边上，恰好完全重合，、分别交于点、，，：：：：，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共9小题，每小题2分，共18分。
7.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
8.计算的结果是______．
9.分解因式，结果为______．
10.点在反比例函数的图象上，则的值为______．
11.九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为 ．
12.若一组数据，，，，的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则的值为______．
13.已知关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
14.如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为______．
15.已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：；；；若为任意实数，则有；当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解不等式组，并写出不等式组的整数解．
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
化简：．
18.本小题分
有下列命题
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．
上述四个命题中，是真命题的是______填写序号；
请选择一个真命题进行证明．写出已知、求证，并完成证明
已知：______．
求证：______．
证明：
19.本小题分
光明中学全体学生人参加社会实践活动，从中随机抽取人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：
填写下表：
中位数 众数
随机抽取的人的社会实践活动成绩单位：分
估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．
20.本小题分
甲口袋中有个白球、个红球，乙口袋中有个白球、个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出个球．
求摸出的个球都是白球的概率．
下列事件中，概率最大的是______．
A.摸出的个球颜色相同 摸出的个球颜色不相同
C.摸出的个球中至少有个红球 摸出的个球中至少有个白球
21.本小题分
已知：如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，折痕为．
求证：∽；
若与的面积比为：，求边的长．
22.本小题分
张师傅驾驶某种型号轿车从甲地去乙地，该种型号轿车每百公里油耗为升每行驶公里需消耗升汽油途中在加油站加了一次油，加油前，根据仪表盘显示，油箱中还剩升汽油．假设加油前轿车以公里小时的速度匀速行驶，加油后轿车以公里小时的速度匀速行驶不计加油时间，已知油箱中剩余油量升与行驶时间小时之间的函数关系如图所示．
加油前，该轿车每小时消耗汽油______升；加油后，该轿车每小时消耗汽油______升；
求加油前油箱剩余油量升与行驶时间小时之间的函数表达式；
求张师傅在加油站加了多少升汽油．
23.本小题分
图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图是安装热水器的侧面示意图已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．
真空管上端到水平线的距离．
求安装热水器的铁架水平横管的长度结果精确到米
参考数据：，，，，，．
24.本小题分
如图，在中，，是的外接圆，过点作，且交于点连接交于点，延长到，使得，连接．
求证：．
求证：是的切线．
若点为的内心，．
利用无刻度的直尺在图中画出点的位置．保留作图痕迹，不写作法
求的长．
25.本小题分
已知二次函数为常数，且．
求证：该函数的图象与轴总有两个公共点；
若点，在函数图象上，比较与的大小；
当时，，直接写出的取值范围．
26.本小题分
【回顾思考】
翻折，常常能为解决问题提供思路和方法．
【初步尝试】
如图，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；
【拓展延伸】
如图，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
求线段的长；
若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相反数的定义，此题属于基础题，掌握好相反数的概念是解题的关键．
根据只有符合不同的两个数互为相反数解答．
【解答】
解：的相反数是．
故答案为．
2.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．
确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：乙和丁的用时较小，
从乙和丁中选择一人参加比赛，
，
选择乙参赛，
故选：．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4.【答案】
【解析】解：从小到大排列此数据为：元，元，元，元，元，
元处在第位为中位数，
故他们工资的中位数是元．
故选B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键．
根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．
【解答】解：、，，能组成锐角三角形；
B、，，不能组成锐角三角形；
C、，不能组成三角形；
D、，是直角三角形，不能组成锐角三角形．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
∽，
，
：：：：，
，，
，
．
故选C．
由四边形是矩形，得到，，，根据余角的性质得到，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】
解：
．
故答案为．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．首先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】
解：
．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
，
故答案是：．
由点在反比例函数图象上，可得出．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
设每只雀有斤，每只燕有斤，根据五只雀、六只燕，共重斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【解答】
解：设每只雀有斤，每只燕有斤，
由题意得，
故答案为：．
12.【答案】或
【解析】解：一组数据，，，，的方差与另一组数据，，，，的方差相等，
，，，，都减去后为，，，，；
，，，，都减去后为，，，，；
这组数据可能是，，，，或，，，，，
或，
故答案为：或．
根据数据，，与数据，，，的方差相同这个结论即可解决问题．
本题考查方差、平均数等知识，解题的关键利用结论：数据，，与数据，，，的方差相同解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有个整数解，
，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：作轴于，轴于，如图，则，
在中，，
，，
，
∽，
，
，
，
而，
．
故答案为：．
作轴于，轴于，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到，再根据正切的意义得到，接着证明∽，利用相似三角形的性质得，所以，然后根据反比例函数的性质确定的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了相似三角形的判定与性质．
15.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
即，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以错误；
物线与轴有个交点，
，所以正确；
时，，
，
而，
，
，
，所以正确；
时，有最小值，
为任意实数，
即，所以正确；
图象经过点时，方程的两根为，，
二次函数与直线的一个交点为，
抛物线的对称轴为直线，
二次函数与直线的另一个交点为，
即，，
，所以正确．
故答案为．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对进行判断；根据判别式的意义对进行判断；利用时得到，把代入得到，然后利用可对进行判断；利用二次函数当时有最小值可对进行判断；由于二次函数与直线的一个交点为，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，从而得到，，则可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
16.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
所以该不等式组的整数解为、、．
【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．
17.【答案】解：原式；
原式．
【解析】根据零指数幂、特殊三角函数值、绝对值的定义计算即可；
先通分计算括号里的，再计算括号外的．
本题考查了分式的混合运算、实数的运算，解题的关键是注意运算的顺序，以及分子、分母的因式分解，通分、约分．
18.【答案】解：
在四边形中，，
四边形是平行四边形
证明：，，，
，
即，
由相加、相减得：，．
，．
四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
故答案是：在四边形中，，；四边形是平行四边形．
【解析】解：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．故正确；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．故正确；
一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．故错误；
一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．故正确．
故答案是：；
以为例：
已知：在四边形中，，
求证：四边形是平行四边形．
证明：见答案
【分析】
根据平行线的判定定理写出真命题；
乙为例，写出已知、求证．利用四边形的内角和和已知条件中的对角相等得到邻角互补，从而判定两组对边平行，进而证得结论．
本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形的几个判定定理，难度不大．
19.【答案】解：
中位数 众数
随机抽取的人的社会实践活动成绩单位：分
随机抽取的人的社会实践活动成绩的平均数是：分．
估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：分
【解析】根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小组的分数为该组数据的众数；
算出抽取的名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．
本题考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．
20.【答案】画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中摸出的个球都是白球的有种结果，
所以摸出的个球都是白球的概率为；
．
【解析】解：见答案；
摸出的个球颜色相同概率为、摸出的个球颜色不相同的概率为，
摸出的个球中至少有个红球的概率为、摸出的个球中至少有个白球的概率为，
概率最大的是摸出的个球中至少有个白球，
故选：．
先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出个球都是白球所占结果数，然后根据概率公式求解；
根据概率公式分别计算出每种情况的概率，据此即可得出答案．
此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
由折叠可得：，，，，
，
，
，，
∽．
解：与的面积比为：，
，
设，则，，，
在中，， ，
，
解得：，
．
【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可判定．
根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得到，设，则，在中利用勾股定理即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，学会用方程的思想解决数学问题，属于中考常考题型．
22.【答案】
【解析】解：该种型号轿车每行驶公里需消耗升汽油，
每行驶公里需消耗升汽油，
加油前轿车以公里小时的速度匀速行驶，加油后轿车以公里小时的速度匀速行驶，
加油前，该轿车每小时行驶公里，消耗汽油升；
加油后，该轿车每小时行驶公里，消耗汽油升．
故答案为；；
设加油前油箱剩余油量升与行驶时间小时之间的函数表达式，
由题意知时，；时，；
则，解得，
所以函数表达式为；
当时，，
解得，所以；
，
则．
答：张师傅在加油站加油升．
由该种型号轿车每行驶公里需消耗升汽油，得出每行驶公里需消耗升汽油，再根据加油前与加油后轿车的速度即可求解；
直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
根据汽车的耗油量以及剩余油量和加油量之间关系得出等式求出答案．
此题主要考查了一函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式等知识，根据已知图象获取正确信息是解题关键．
23.【答案】解：过作于．
在中，，
则米．
答：真空管上端到的距离约为米；
在中，，
则米，
，，，
四边形是矩形．
，，
米，
米，
在中，，
则米，
米，
答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米．
【解析】过作于，根据正弦的定义计算，得到答案；
根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】证明：，
，
，
又，
，
；
证明：如图，
连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是的半径，
是的切线；
如图，
连接并延长交于点，连接交于点，则点即所求，
连接、，则，
点在的垂直平分线上，
又根据中的结论，
点在的垂直平分线上，
，
，
，
是的角平分线，
又，
是的角平分线，与交于点，
点是的内心；
，
，
又，
∽，
，
又，
解得，
点是的内心，
，
，
即，
．
【解析】根据圆心角、弧、弦之间的关系进行证明即可；
连接，根据垂径定理得到，再根据角之间的关系推出，从而推出，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，进而推出是的切线；
根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，因此只需证明，利用圆的垂径定理进行证明即可；
根据圆周角定理得到，从而推出∽，根据相似三角形的性质得到，从而解得，再结合图形由三角形的外角性质及等量代换推出，从而由等腰三角形的性质推出．
本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内接圆与内心、切线的判定与性质及作图复杂作图，解题的关键是结合三角形的内心性质作出图形连接并延长交于点，连接交于点，则点为三角形的内心，可以采用逆推的思路，注意运用数形结合的思想方法，此外注重圆心角及圆周角定理的运用，从图形中寻找相等的线段或相等的角．
25.【答案】证明：令，即，
，
或，即，，
，
方程有两个不相等的实数根，
该函数的图象与轴总有两个公共点；
点，在函数图象上，
，．
．
当或时，，
当时，，
当时，；
，且．
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，作差法比较函数值的大小，解一元二次方程，解不等式组等知识，采用了分情况讨论的解题方法，解题的关键是在某一范围内的函数最大值的确定．
令，可得出的两个解，且两个解不相等即可得出结论；
先求出，然后分三种情况讨论即可；．
先求出抛物线与轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在范围内分和两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．
【解答】
见答案；
二次函数，
整理可得：，
由可知：当时，解得：，，
二次函数的图象交轴于和两点，
对称轴，
当时，
，
二次函数图象的顶点坐标为，
由可知：当时，，
当时，，
当时，二次函数的图像开口向上，
，
，
解得：，
，
当时，二次函数图像开口向下，
对称轴，
当，即时，
二次函数图象在顶点处取得最大值，
解得：，
，
当，即，
由题意可知，，解得：，
即，
综上所述，当时，，的取值范围是：，且．
故答案为：，且．
26.【答案】解：如图中，
，
，
由题意垂直平分线段，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
所以的值为；
如图中，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
所以线段的长为；
如图中，
，，，
∽，
，
，
，
点在线段上运动，，，
，
．
所以的取值范围是．
【解析】利用相似三角形的性质求出，即可．
证明∽，推出，由此即可解决问题．
证明∽，推出，因为，推出即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
第1页，共1页