2023-2024学年广东省佛山市高明一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市高明一中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数先向左平移个单位后其图像关于对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.已知，且为钝角，则的值是( )
A. B. C. D.
4.下列命题正确的有( )
A. 若，，则
B. 向量与向量是共线向量，则，，，四点在一条直线上
C.
D. 满足的四边形是正方形
5. 在中，为边上的中线，为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.已知点是边长为的正三角形的重心，则( )
A. B. C. D.
7.已知，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，且，的夹角是钝角，则可以是( )
A. B. C. D.
10.已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 与共线的单位向量的坐标为
D. 若向量与向量共线，则
11.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”下列函数中，与构成“互为生成函数”的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是______．
13.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则的最小值为______．
14.如图，在四边形中，若为线段上一动点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量满足．
若，求向量的坐标；
若，求向量与向量夹角的余弦值．
16.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
(ⅰ)设函数，试求函数的伴随向量；
(ⅱ)记向量的伴随函数为，求当且时的值．
17.本小题分
如图，扇形钢板的半径为，圆心角为现要从中截取一块四边形钢板其中顶点在扇形的弧上，，分别在半径，上，且，．
设，试用表示截取的四边形钢板的面积，并指出的取值范围；
求当为何值时，截取的四边形钢板的面积最大．
18.本小题分
已知，且与的夹角为，求：
；
与的夹角；
若向量与垂直，求实数的值．
19.本小题分
如图，，分别是矩形的边和的中点，是线段上的一动点．
若，求：的值要有计算过程；
设，试用，表示；
若，，是线段上的中点，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：角的终边经过点，则，
故有．
故选：．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，求出值，再根据同角三角函数的基本关系求出的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数向左平移个单位后得到的图像，
由于图像关于对称，故，
即，由于，故的最小值为．
故选：．
根据三角函数图像的平移变换规律，结合正弦函数的性质，即可求得答案．
本题考查的知识点：函数的图象的平移变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，
又因为，所以
所以，
所以
即
故选：．
根据同角关系可得，即可由余弦的和差角公式求解．
本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对选项A，当时，与不一定平行，故选项A错误；
对选项B，因为共线向量的基线平行或重合，故选项B错误；
对选项C，因为，所以选项C正确；
对选项D，因为，
所以，
整理可得，即为直角，但是四边形不一定是正方形，故选项D错误．
故选：．
利用与任意向量共线判断，利用共线向量的基线平行或重合判断，利用向量的线性运算法则判断，利用平行四边形法则判断．
本题主要考查向量共线的性质，以及向量的运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的运算，以及平面向量基本定理，属于较易题．
根据向量的加法运算法则运算即可得解．
【解答】
解：如图，
，
所以．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，
以线段的中点为坐标原点，以线段所在的直线为轴，线段的垂直的平分线为轴，建立平面直角坐标系，
因为的边长为，可得，
又因为为的重心，可得，所以，
则．
故选：．
以线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据题意求得的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为向量在向量上的投影向量为：．
故选：．
根据向量在向量上的投影公式进行计算即可．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，
设，则，，，，
当点在上时，设，，
则，即，故，
当点在上时，设，，
则，即，解得，
故，
当点在上时，设，，
则，即，故，
综上，的取值范围是．
故选：．
建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点在，，三种情况，求出的取值范围．
本题考查平面向量的基本定理，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
根据题意，分析可得且，不共线，即，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，平面向量，，
若，的夹角是钝角，则且，不共线，即，
解可得：且，
分析选项：、符合的取值范围，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于，依题有，，，
，故A对；
对于，在方向上的投影向量为，
是与同向的单位向量，所以，
在方向上的投影向量为，故B错；
对于，与同向的单位向量为，与反向的单位向量为，故C错；
对于，，，
向量与向量共线，则，
解得，故D对．
故选：．
利用平面向量的数量积、模，投影向量及向量共线的充要条件依次对每个选项进行判断．
本题考查了平面向量的夹角，向量的投影向量以及向量共线的坐标表示，考查了转化思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，
由，
则将的图象向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度即可与的图象重合；
由，
则图象无法经过平移与的图象重合；
由，则的图象无法经过平移与的图象重合；
由，
则将的图象向下平移个单位长度，与的图象重合．
故A，中的函数与“互为生成函数”．
故选：．
由三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据三角函数的平移变换规律，得出结论．
本题考查的知识点：函数的图象的平移变换，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：向量，则，．
所以向量在向量上的投影向量为．
故答案为：．
根据向量在向量上的投影向量公式计算即得．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，
所得图象与的图象重合，故为函数的一个周期，
即，则，
故当时，取得最小值．
故答案为：．
直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识点：函数图象的平移变换和正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，其中，
则，，
则，
当时，有最大值．
故答案为：．
由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了二次函数最值的求法，属中档题．
15.【答案】解：设，
，且，
，解得或．
即或；
若，则，
可得，则．
【解析】设，由已知列关于，的方程组，求解得答案；
由，利用数量积为求解，再由数量积求夹角公式得答案．
本题考查平面向量的性质及运算，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：(ⅰ)已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数，
又函数，
则，
即函数的伴随向量；
(ⅱ)记向量的伴随函数为，
则，
又且，
则，
则，
则．
【解析】(ⅰ)先阅读题意，然后结合诱导公式求解；
(ⅱ)由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
17.【答案】解：因为，扇形钢板的圆心角为，所以，
因为扇形钢板的半径为，，，
所以，，
所以，
又，，
所以，
所以四边形钢板的面积，，
其中的取值范围为．
，
因为，所以，
所以当，即时，四边形钢板的面积最大，最大值为．
【解析】由题意可知，，，进而表达出的面积，再根据，表达出的面积，从而得到四边形钢板的面积的表达式和的取值范围．
利用三角函数公式可得，再由的范围，结合三角函数的性质即可求出的最大值．
本题主要考查了三角函数的实际应用，考查了三角函数求最值，同时考查了学生的计算能力，是中档题．
18.【答案】解：因为，且与的夹角为，
所以，
所以；
因为，
所以，
又因为，
所以，
因为，所以与的夹角为；
因为向量与垂直，
所以，
所以，
所以，解得或，
所以实数的值为或．
【解析】利用平面向量的模的运算求解；
利用平面向量的夹角公式求解；
根据向量与垂直，建立方程求解即可．
本题考查平面向量的数量积与夹角求法，属于中档题．
19.【答案】解：因为是线段上的一动点，所以设，
所以，
因为，且不共线，
所以由平面向量基本定理可得：，所以；
因为，分别是矩形的边和的中点，
所以，
，
由解得：，，
所以；
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
所以．
【解析】由平面向量的线性运算和平面向量基本定理计算即可求得；
由平面向量的线性运算计算即可；
建立平面直角坐标系，由数量积的坐标运算计算即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
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