2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高二（下）联考数学试卷（3月份）（北师大版）（含解析）

2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高二（下）联考数学试卷（3月份）（北师大版）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一批产品的次品率为，从中有放回地随机抽取次，表示抽到的次品的件数，则( )
A. B. C. D.
2.过原点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
3.数列满足：对于，，，已知，则( )
A. B. C. D.
4.若将包含甲、乙在内的名教师全部分配到两所学校支教，每校至少分配人，则甲、乙不在同一学校的分配种数为( )
A. B. C. D.
5.设为等差数列的前项和，已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且：：：：，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知的通项公式为，恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线交于四点，这四点的连线组成的四边形是正方形，设双曲线的渐近线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.设，为同一随机试验中的两个随机事件，则下列命题正确的是( )
A. 若，则，相互对立
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11.记为数列的前项和，为数列的前项积，，已知，，且，则下列说法正确的是( )
A. 数列是递增数列 B.
C. D. 当取得最小值时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知根据下表数据用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则 ______．
13.在的展开式中，项的系数是______．
14.已知数列满足，，则数列的前项和 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：交：于，两点．
若，求直线的方程；
若的中点为，为坐标原点，求的最大值．
16.本小题分
已知二项式的展开式中，第项为常数项，且各项系数之和等于其二项式系数之和．
求与的值；
求其展开式中所有的有理项．
17.本小题分
如图，已知正方形的中心为，边长为，，，分别为，，的中点，从中截去小正方形，将梯形沿折起，使平面平面，得到图．
证明：平面平面；
求二面角的平面角的正弦值．
18.本小题分
已知抛物线：与：有且仅有一个公共点．
求的最大值；
当最大时，过点的直线交于点，，过，引的切线，两切线交于点，若的面积为，求直线的方程．
19.本小题分
若数列的项的最大奇因数为，则叫做的“滤净数列”已知数列满足，是的滤净数列．
求的通项公式及的值；
若，求的前项和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意知，，
故由二项分布的性质可得．
故选：．
根据题意可得，由二项分布的性质可得．
本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，
与直线垂直的直线斜率为，
又直线过原点，故其方程为．
故选：．
根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，，，，
，，
，，
，．
故选：．
根据数列的递推公式，即可求解．
本题考查数列的递推公式的应用，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：先将甲乙两人分别分配给两所学校，共种分配方式，
再将剩余教师选出一名，分配给一所学校，剩余两名教师分配给另一所，有种，
则甲、乙不在同一学校的分配种数为种．
故选：．
利用分步计数原理和排列数与组合数求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：为等差数列的前项和，，，
，，，成等差数列，
，，，成等差数列，
则．
故选：．
由等差数列的性质得，，，成等差数列，由此能求出的值．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且：：：：，
设，，，
又，
则，
则，
在中，，
则在中，，
即，
则椭圆的离心率为．
故选：．
由椭圆的性质，结合椭圆离心率的求法求解．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：
．
恒成立，实数的最小值为．
故选：．
利用裂项相消法求的前项和，即可得到满足恒成立的实数的最小值．
本题考查数列不等式，训练了裂项相消法求和，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：以为直径的圆与双曲线交于四点，这四点的连线组成的四边形是正方形，
则交点位于直线或上，
该圆的半径为，
则圆与双曲线的一个交点为，代入双曲线方程得，即，
故，则．
故选：．
先取出圆与双曲线的一个交点，再结合双曲线方程，化简整理，即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：：令，则，故A正确；
：多项式的展开式中含项为，所以，故B正确；
：令，则，故C错误；
：令，则，故D正确．
故选：．
：令即可求出，由此即可判断；：求出多项式的展开式中含的项，由此求出，进而可以判断；：令即可判断；：令即可判断．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，为同一随机试验中的两个随机事件，
对于，由，得：
，
又，则，
由可知，，即，
又，，相互对立，故A正确；
对于，由题意知，
，故B错误；
对于，由，得，
若，则，故C正确；
对于，由，得，
解得，故D错误．
故选：．
利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件性质判断；利用相互独立事件概率乘法公式判断；利用条件概率公式判断；利用条件概率公式判断．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件性质、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
当时，，
所以，整理得，
所以不是递增数列，A错误；
由，得，当时，，
故为公比为的等比数列，
所以，B正确；
由上可知，
所以，C正确；
，
当取得最小值时，由二次函数的性质可知，为奇数，且取得最小值，
即当时，取得最小值，D正确．
故选：．
由已知，结合数列的和与项的递推关系可得项与项的递推关系，结合数列的单调性检验选项A；结合等比数列的通项公式检验选项B；结合等比数列的求和公式检验选项C；结合二次函数性质检验选项D．
本题主要考查了数列的和与项的递推，等比数列的通项公式及求和公式电影院，数列单调性的判断及二次函数性质的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
因为样本中心点在线性回归方程上，
所以，
所以，
解得．
故答案为：．
根据线性回归方程过样本中心点求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
根据二项式的展开式，，
当时，的展开式通项满足，
当时，项的系数为．
故答案为：．
直接利用二项式的展开式和组合数的应用求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
又，
所以．
故答案为：．
由，再根据条件，即可求出结果．
本题考查了数列的求和，属于中档题．
15.【答案】解：由题意知，圆心到直线的距离为，
故，
故，
故直线的方程为，即；
设，因为是的中点，所以，所以，
又直线：过定点，
故，
整理得，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故的最大值为．
【解析】结合点到直线距离公式，根据垂径定理列式求解，即可求解；
设，利用，结合数量积的坐标运算求得点的轨迹，再根据点与圆的位置关系求解最值即可．
本题考查了直线与圆的位置关系问题，是中档题．
16.【答案】解：的展开式中，第项为，
第项为常数项，
则，所以，
因为各项系数之和等于其二项式系数之和，
所以令，可得，解得．
二项式的展开式的通项为，，，，，
令，解得，，，
所以其展开式中所有的有理项为，，．
【解析】先写出展开式的通项公式，再结合二项式系数、系数之间的关系，即可求解；
结合二项式定理，及有理项的定义，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
17.【答案】证明：因为四边形是正方形，所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
解：设与相交于点，连接，
因为四边形是正方形，
所以，
由知，平面，
所以即为二面角的平面角，
在中，，，
所以，
所以，
而，
所以，
故二面角的平面角的正弦值为．
【解析】由正方形的性质知，，利用面面垂直的性质定理可得平面，从而有，再结合线面、面面垂直的判定定理，即可得证；
设与相交于点，连接，由二面角的定义知，即为所求，再利用三角函数的知识求解即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面垂直的判定定理与性质定理，二面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：将代入的方程中，
解得，
即，
解得或，
因为抛物线与有且仅有一个公共点，
所以或，
解得或，
则的最大值为；
易知直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，，，
联立，消去并整理得，
此时恒成立，
由韦达定理得，，
易知直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
即，
解得，
则直线的方程为，
同理得直线的方程为，
联立，
解得，，
又点到直线的距离，
，
所以，
解得，
则，
故直线的方程为．
【解析】由题意，将抛物线方程代入的方程中，解得或，根据抛物线与有且仅有一个公共点，求出或的，进而可得的最大值；
设出直线的方程和，，得坐标，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，根据判别式为，求出直线的方程，同理得到直线的方程，将两方程联立，求出点的坐标，结合点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为，
当时，，
由得，，得到，
又当，，得到，满足，所以，
又，所以；
由知，当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，所以，
设，
则，
又，
又分别为：，，，，，，各项除以得到数列：
，，，，，，其中的奇数项即为中的项，
其和为，
其中的偶数项为，，，，，各项除以后，即为，，，，，
这是的前项，它的滤净数列的和为，
故，其中，
故
．
【解析】根据条件，利用与间关系，即可求出，再根据题设定义，即可得出；
由知当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，故有，再分别求出和，从而得出结果．
本题考查了数列的递推式和求和的运算，属于中档题．
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