2023-2024学年广东省肇庆市四会中学、广信中学高一（下）第一次质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省肇庆市四会中学、广信中学高一（下）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.函数是( )
A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数
3.将向量绕坐标原点逆时针旋转得到，则( )
A. B. C. D.
4.一个质点受到平面上的三个力，，；单位：牛顿的作用而处于平衡状态，已知，成角且，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，若，且，那么一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
6.请运用所学三角恒等变换公式，化简计算，并从以下选项中选择该式子正确的值( )
A. B. C. D.
7.在中，是的中点，是的中点，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知菱形的边长为，，点是边上的动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 两个非零向量垂直的充要条件是：
C. 若向量，则，，，四点必在一条直线上
D. 向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使
10.如图，函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，且满足的面积为，则下列结论不正确的是( )
A.
B. 函数的图象对称中心为，
C. 的单调增区间是，
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象
11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式，确定，其中，，，小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则( )
A.
B.
C. 与时的相对于平衡位置的高度之比为
D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在正六边形中， ______．
13.已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为______．
14.已知的内角，，的对边为，，，的面积为，且，，则的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，为锐角，．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知，，且与夹角为，求：
；
与的夹角；
若向量与平行，求实数的值．
17.本小题分
如图，四边形中，，，，．
求对角线的长；
设，求的值，并求四边形的面积．
18.本小题分
如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．
已知在时刻单位：时点距离地面的高度其中，，，求函数解析式及时点距离地面的高度；
当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
19.本小题分
设向量，，定义一种向量已知向量，，点为函数图象上的点，点为的图象上的动点，且满足其中为坐标原点．
求的表达式并求它的周期；
把函数图象上各点的横坐标缩小为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象设函数，试讨论函数在区间内的零点个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则，，
．
故选：．
利用向量的坐标运算分别求出，，再利用数量积的坐标运算求解即可．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：
，
原函数为奇函数，
故选A
逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．
利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为的形式再解决三角函数性质有关问题．
3.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以．
故选：．
根据平面向量的数量积计算即可．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了逻辑推理与数学运算素养，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：物体处于平衡状态，
，
．
故选：．
由已知条件可得，，再对两边同时平方，即可求解．
本题主要考查向量加减混合运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：已知，
则，
则，
即，
又，
则，
即，
即，
又，
即，
即，
即一定是等边三角形，
故选：．
由两角和的正弦公式，结合正弦定理求解即可．
本题考查了两角和的正弦公式，重点考查了正弦定理，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用三角恒等变换化简求值即可．
本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为是的中点，是的中点，
所以，
所以，
所以．
故选：．
根据平面向量的基本定理，利用平面向量的线性运算法则，求解即可．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：菱形的边长为，，
，
点是边上的动点，，
当，即与重合时，
取到最大值，最大值为．
故选：．
利用向量的线性运算和数量积运算得到，求解即可．
本题考查向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，当时，有，且，但不一定成立，A错误；
对于，两个非零向量，当向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，B正确；
对于，若向量，与方向和大小都相同，但，，，四点不一定在一条直线上，C错误；
对于，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使，D正确．
故选：．
根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析与判断即可．
本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：当时，，又，
所以，得，即函数的最小正周期为，由得，故A不正确；
对于：由选项A可知，令，，解得，，即函数的对称中心为，，故B错误；
对于：由，，得，，故的单调增区间是，，故C正确；
对于：将函数图象向右平移个长度单位，得函数的图象，故D不正确．
故选：．
直接利用正切函数的性质判断、、、的结论．
本题考查的知识点：正切函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意知，小球运动的周期为，所以，解得，
当时，，，又，所以，
所以．
所以与时的相对于平衡位置的高度之比为：
．
故选：．
根据题意由周期求出，由求出和，写出函数解析式，计算与时的相对于平衡位置的高度比．
本题考查了三角函数图象与性质应用问题，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，根据正六边形的性质
．
故答案为：．
根据正六边形的性质与平面向量运算即可得答案．
本题主要考查向量加减混合运算，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
所以，而，则，
故，
则在方向上的投影向量为，
即在方向上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
根据数量积的运算律求得，根据投影向量的概念，即可求得答案．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，即，整理得．
，结合，可得，
，，结合，得，
又，是边长为的等边三角形，可知的周长为．
故答案为：．
根据题意，利用余弦定理及三角形面积公式，推导出是等边三角形，进而可得答案．
本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式及其应用等知识，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】解：；
由，得，
因为，为锐角，所以，则，
又因，所以，
所以，
所以，
则．
【解析】根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解；
先利用二倍角的正切公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解．
本题考查同角三角函数的基本关系以及和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：，，且与夹角为，
，解得；
因为，
所以，又，
所以，
，
所以与的夹角为．
因为向量与平行，
所以，
因为向量与不共线，
所以，解得．
【解析】利用平面向量的模的运算求解；
利用平面向量的夹角公式求解；
根据向量与平行，利用共线向量定理求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
17.【答案】解：连接，在中，，，，
根据余弦定理，可得，解得舍负；
在中，，，
所以，结合可得，
设四边形的面积为，则，
代入数据，得．
【解析】在中，利用余弦定理列式，可求得的长；
根据的结论，在中利用余弦定理求得，然后将四边形面积分割成两个三角形的面积之和，利用三角形面积公式算出答案．
本题主要考查余弦定理及其应用、三角形的面积公式等知识，考查了计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：依题意，，，，则，
所以，
由可得，，，
因为，所以，
故在时刻时点距离地面的离度，
因此，
故时点距离地面的高度为；
由知，其中，
依题意，令，
即，所以，
解得，，
则，，
由，可知转一圈中有时间可以看到公园全貌．
【解析】根据题意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，得到函数解析式，求出；
在的基础上，得到，解不等式，求出，，从而求出答案．
本题主要考查了三角函数的实际应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为，，
因为点为的图象上的动点，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，即，
所以，；
由知，
由，可得，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
画出的图象如图所示：
函数的零点个数，等价于函数与直线的交点个数，
由图可知，当或时，函数与直线有个交点，即函数在区间内只有个零点，
当时，函数与直线有个交点，即函数在区间内有个零点，
当或时，函数与直线无交点，即函数在区间内没有零点，
综上所述，当或时，函数在区间内只有一个零点；当时，函数在区间内有两个零点；当或时，函数在区间内没有零点．
【解析】利用向量的相等，得到，与，之间的关系，然后建立关系式即可；
根据，结合三角函数的图象与性质，分类讨论，确定零点的个数．
本题综合考查向量的基本运算，三角函数的图象与性质，函数的零点等知识，属于中档题．
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