2023-2024学年广东省茂名市电白一中高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年广东省茂名市电白一中高一（下）月考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在中，若，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4.三个数，，的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数，，则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D. ，
6.若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
7.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加，信噪比从提升至，则大约增加了附：( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知平面向量，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则向量在上的投影向量为
D. 若，则向量与的夹角为锐角
11.已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( )
A.
B. 若，则函数的最小正周期为
C. 关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解
D. 若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.若，且，则 ______．
14.已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知，，．
求与的夹角；
若，求实数的值；
设，，若与共线，求实数的值．
17.本小题分
已知关于的不等式
若不等式的解集是，求的值；
若，，求此不等式的解集．
18.本小题分
已知函数
化简的表达式．
若的最小正周期为，求的单调区间
将中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称若对于任意的实数，函数与的公共点个数不少于个且不多于个，求正实数的取值范围．
19.本小题分
已知定义域为的函数当时，若是增函数，则称是一个“函数”．
判断函数是否为函数，并说明理由；
若定义域为的函数满足，解关于的不等式；
设是满足下列条件的定义域为的函数组成的集合：对任意，都是函数；，若对一切和所有成立，求实数的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，是基础题．
直接利用交集运算求解．
【解答】
解：集合，，则，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断和向量平行的条件的掌握，属于基础题．
先根据向量的平行的条件以及坐标的运算求出，即可判断．
【解答】
解：，，，
，解得，或，
“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：若，
则若，
则为等边三角形．
故选：．
由已知利用向量的减法可得，即可判断得解．
本题主要考查了平面向量的运算的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，
可得
故选：．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
5.【答案】
【解析】解：，
令，，
解得，，
令，，
令，，
又，
所以的单调递增区间是，
故选：．
，利用的性质即可得．
本题考查三角函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：若两个正实数，满足，即，
则，当且仅当，即，时取等号，
因为不等式恒成立，
所以，
解得，．
故选：．
由题意可得，，然后利用乘法结合基本不等式可求的最小值，然后结合基本不等式可求的最小值，再由不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了乘法及基本不等式在最值求解中的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化关系的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：将函数的图象先向右平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数，
由函数在上没有零点，则，则，
由，可得，
假设函数在上有零点，
则，则，
由，可得，
又，则
则由函数在上没有零点，且，可得．
故选：．
先由三角函数图象平移规则求得函数，再利用正弦曲线的零点即可求得的取值范围．
本题主要考查了三角函数图象变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：依题意得，当时，，
当时，，
，
的增长率约为．
故选：．
利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为和时的比值即可求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：已知平面向量，，，
对于，若，可得，即，解得，所以选项错误；
对于，若，根据平面向量共线性质，可得，即，所以选项正确；
对于，若，则，
由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，
所以选项正确；
对于，若，则，所以；
但当时，，
此时向量与的夹角为，所以选项错误．
故选：．
根据向量线性运算即数量积公式可判断选项，根据投影向量定义可得判断选项，由 可得，但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误．
本题考查向量垂直的性质，向量共线定理，投影向量的概念，向量夹角公式的应用，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：，，在上单调，
又，，故A正确；
，区间右端点关于的对称点为，
在上单调，根据正弦函数图像特征可知在上单调，
为的最小正周期，即，
又，若，
则的图象关于直线对称，结合，
得
即，故，，，故B正确．
，由，得，在区间上最多有个完整的周期，
而在个完整周期内只有个解，故关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解，故C错误．
，由知，是函数在区间上的第个零点，
而在区间上佮有个零点，则，
结合，得，又，
的取值范围为，故D正确．
故选：．
：在上单调，，故；
：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出周期的范围，从而求出的范围．再根据知是的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出，从而求出其周期；
：根据的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；
：由知，是函数在区间上的第个零点，而在区间上恰有个零点，则，据此即可求的范围．
本题考查三角函数的综合，考查学生的综合能力，属于中档题．
12.【答案】且
【解析】解：由题意，解得且，
所以函数的定义域为且．
故答案为：且．
根据根式与分式的定义域求解即可．
本题主要考查函数的定义域的求法，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
由，结合诱导公式求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：令，
即，
所以或，
因为关于的方程有个不同的实数根，
所以的图象与直线和直线共有个不同的交点，
如图的图象与直线有个交点，
所以只需的图象与直线有个交点，且，
所以．
故答案为：．
令，得或，结合图象可得的图象与直线有个交点，据此即可求解．
本题考查了函数与方程思想，考查了数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
15.【答案】解：已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，
故．
由于，
所以．
【解析】本题考查任意角的三角函数的定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
直接利用三角函数的定义求出三角函数的值；
利用三角函数的诱导公式和三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
16.【答案】解：因为，，且，
即，
所以，
解得，
即与的夹角为．
因为，
则，
所以，
即，
解得或．
所以的值为或．
由可得不共线，且，，
则必存在实数，使得，
即，
解得，，
所以．
【解析】根据平面向量数量积的运算，直接代入计算即可得到与的夹角；
根据题意，将向量模长平方，然后代入计算，即可得到结果；
根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算及平面向量共线定理，属中档题．
17.【答案】解：不等式的解集是，
，且和是方程的两根，
，且
解得，
．
若，，此不等式为，
，
，
若时，，此不等式解集为，
若时，，此不等式解集为，
若时，，此不等式解集为，
若时，，此不等式解集为或．
【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法，利用一元二次方程和一元二次不等式之间的关系是解决本题的关键．
根据不等式的解集和对应方程之间的关系建立方程关系即可求解，的值；
根据一元二次不等式的解法解不等式即可．
18.【答案】解：依题意，，
由知，，解得，则，
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
由得：，由得：，
所以在上单调递增，上单调递减；
由及已知，，因图像关于对称，则，
解得：，又，即有，，于是．
由得：，，而函数的周期，
依题意，对于在上均有不少于个且不多于个根，则有，即，解得：，
所以正实数的取值范围是．
【解析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数；
根据最小正周期公式求，再采用代入的方法求函数的单调区间；
首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求的取值范围．
本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
19.【答案】解：是，理由：由题，为增函数，
故是函数．
因为是函数，且，所以是上的增函数，
因为有意义，所以，显然，时不等式不成立，下设，
此时等价于，
由的单调性得，，即所求不等式的解集为．
由题意，是函数，故是增函数，从而当时，，即；而是函数，故是增函数，从而当时，，即，
当时，同理可得，且，故且，故．
因此，当时，对一切成立．
下证，任意均不满足要求，由条件知，．
另一方面，对任意，定义函数，容易验证条件成立．
对条件，任取，有，
注意到是增函数，
而对，当时，；
当时，，均单调不减．
因为，
所以条件成立．从而此时，，
故，从而为所求最大值．
【解析】将代入解析式，根据整理表达式，判断是否为增函数即可；
由函数可知是上的增函数，有意义，需满足，显然时不等式不成立，设，转化不等式为，结合单调性即可判断；
由题可知是函数，也是函数，结合已知函数值及函数单调性，可得当，或当时，，再讨论当，结合可判断，即满足当时，对一切成立．另证明任意均不满足要求：任意，定义函数满足条件，满足条件时符合，即可证明．
本题主要考查了不等式的恒成立问题，灵活利用已知函数值构造函数，借助函数的单调性来处理不等式问题，属于中档题．
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