2023-2024学年江苏省连云港高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省连云港高级中学高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，那么等于( )
A. B. C. D.
4.已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么
( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则的大小为( )
A. B. C. D.
6.已知，，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，则在上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
8.设，，，则有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零向量，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 恒成立
D. 向量共线的充分必要条件是存在唯一的实数，使
10.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数为偶函数
D. 函数在区间上单调递增
11.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若是平行四边形，则，
C. 若为的重心，则，
D. 若，，则向量在向量上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，，则与同方向的单位向量为______．
13.已知，则的值为______．
14.已知正三角形内接于半径为的圆，点是圆上的一个动点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求的值；
求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知，，，，
求的值；
求角的值．
17.本小题分
已知向量．
若向量与垂直，求实数的值；
若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
18.本小题分
设函数
求的最小正周期和单调递增区间；
当时，求函数的最大值和最小值并求出对应的．
19.本小题分
如图，在扇形中，圆心角是扇形弧上的动点．
若平分时，求的值；
若，矩形内接于扇形，求矩形面积的最大值及相应的的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
利用并集的定义即可求得．
【解答】
解：由，，
可得．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据正弦的和差角公式即可化简求解．
本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，且，
，即，
，
那么．
故选：．
由向量共线的坐标运算求解，再由向量的减法运算求解．
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积，求向量模的运算．
一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积形式，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．
【解答】
解：均为单位向量，它们的夹角为，
，，，
．
故答案选：．
5.【答案】
【解析】解：，，，
则，，
故；
因为，
又，所以．
故选：．
利用数量积求出得余弦值，即可得解；
本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，且，
故，所以；
因为，所以；
故
．
故选：．
根据条件，由求解即可．
本题考查的知识要点：三角恒等变换，和角的正弦，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：向量，设，
，
在上的投影向量为
故选：．
根据投影向量的计算公式求解．
本题考查平面向量的投影向量的计算方法，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
由三角函数恒等变换化简可得，，根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．
【解答】
解：，
，
．
，
即有：，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，同时平方可得，，
故，整理得，故，故A正确；
，
则，当时，上式也成立，故B错误；
如下图示：
，则，故，，
所以，
当同向共线时，；
当反向共线时，；
综上，恒成立，故C正确；
向量共线的充分必要条件是存在唯一的实数，使，故D正确．
故选：．
利用向量数量积的运算可得判断；
只需有，注意可能在两侧，即可判断；
利用向量加法的几何意义，数形结合法判断；根据向量共线基本定理即可判断．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于项，函数的最小正周期为，故A项正确；
对于项，当时，，而，故点是函数图象的一个对称中心，即项正确；
对于项，函数图象向左平移个单位长度，得到，
由不恒为零，故该函数不是偶函数，即项错误；
对于项，当时，，函数在区间上没有单调性，故D项错误．
故选：．
利用余弦型函数的周期公式即得项，运用代入检验法将看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判断项，将看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断项．
本题主要考查了余弦型函数的性质以及函数的图象变换，考查了函数思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，点，
，故A正确；
由是平行四边形，可得，故，，B正确；
因为是重心，所以，解得，，故C正确；
因为，，，
故向量在上的投影向量为，故D错误，
故选：．
直接根据已知条件结合数量积依次判断四个选项即可．
本题考查了数量积的运算性质、考查向量的模长计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：点，，则向量．
．
与向量同方向的单位向量：．
故答案为：．
求出向量的模，然后求解单位向量．
本题主要考查向量的模，以及单位向量的定义，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，等式左边分子、分母同时除以得，，解得，
所以．
故答案为：．
利用正余弦的齐次式法求得，再利用正切的倍角公式即可得解．
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系．
设，，．
则，
．
故答案为．
建立坐标系，设，求出的坐标，代入数量积公式得到关于的三角函数，利用正弦函数的性质得出．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
15.【答案】解：向量，，
则，
；
，，
，
向量与夹角的余弦值为
，．
【解析】根据平面向量的坐标运算求模长即可；
根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值．
本题考查了向量的坐标运算与模长和夹角的计算问题，是基础题．
16.【答案】解：由得，因，则；
又由知，因，
则，
由
，
又因，故．
【解析】由得到，利用同角的三角函数基本关系式即得；
注意到，故只需分别求出，的值，利用差角的正弦公式即可求得的值，利用即可求得角的值．
本题考查了同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，是基础题．
17.【答案】解：因为，
所以，，
因为向量与垂直，所以，
即，
解得；
因为与的夹角是锐角，则且与不共线同向，
由，得，解得，
由与共线，得，解得，此时与共线同向，故，
所以且．
即的范围为且．
【解析】由向量垂直可得其数量积为，即可得解；
利用向量夹角为锐角其数量积大于零，且两向量不共线同向，即可得解．
本题考查两个向量垂直的充要条件的应用，向量夹角为锐角的充要条件的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因为
，
所以的最小正周期是，
由，解得，
所以函数的单调递增区间为．
当时，，
此时，可得，
当，即时，取得最大值为；
当，即时，取得最小值为．
【解析】先利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质即可得解；
根据求的取值范围，再利用三角函数的性质即可得解．
本题考查三角恒等变换及化简求值，考查正弦函数的周期性、单调性及最值，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：若平分时，则，
则，
则
．
设，
，，，
，
，
则，
则矩形面积
，
，，
则，
当，即时，矩形的面积最大为．
【解析】利用等腰三角形求出的值，利用两角和差的正切公式进行计算即可．
设，根据直角三角形的边角关系，求出矩形的长和高，辅助角公式进行化简求解即可．
本题主要考查三角函数的恒等变换和三角函数最值的求解，利用两角和差的正切公式以及辅助角公式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
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