陕西省西安市蓝田县田家炳中学2023-2024学年大学区联考高一（下）学习效果测评数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市蓝田县田家炳中学大学区联考高一（下）学习效果测评数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.，为非零向量，且，则( )
A. ，且与方向相同 B. ，是共线向量且方向相反
C. D. ，无论什么关系均可
2.下列命题中错误的是( )
A. 对于任意向量，有
B. 若，则或
C. 对于任意向量，有
D. 若共线，则
3.在中点为的中点，与交于点，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.在复数范围内，下列命题是真命题的为( )
A. 若，则是纯虚数 B. 若，则是纯虚数
C. 若，则且 D. 若、为虚数，则
6.已知是复数，为的共轭复数．若命题，命题，则是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.设在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为( )
A. B. C. D.
8.在复平面内，复数，对应的向量分别是，则复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为
D. 若，则
10.下列选项中正确的是( )
A. 若平面向量，满足，则的最大值是
B. 在中，，，是的外心，则的值为
C. 函数的图象的对称中心坐标为，
D. 已知为内任意一点，若，则点为的垂心
11.已知复数，，下列结论正确的有( )
A. 若，
B. 若，则
C. 若复数，满足，则
D. 若，则的最大值为
12.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C. 若，则的虚部为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
三、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分。
13.设向量和不平行，若向量与反向共线，则实数______．
14.已知平面向量，满足，，，则与的夹角为______．
15.已知的两共轭虚根为，，且，则 ______．
16. ______．
17.若为虚数单位是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则实数 ______．
四、解答题：本题共4小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，．
求与夹角；
若与垂直，求点的坐标；
求的取值范围．
19.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，向量，，且．
求；
若的面积为，求的周长．
20.本小题分
已知关于的二次方程．
当为何值时，这个方程有一个实根？
是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．
21.本小题分
已知为虚数单位．
求；
求；
类比，探究的性质．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，为非零向量，且，故、 共线，且方向相同，
故选：．
根据，为非零向量，且，可得、共线，且方向相同．
本题主要考查两个向量的共线的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据向量的加法法则及其性质，可知对于任意向量，有，A正确；
若，不一定得到或，可能，故B不正确；
由，可知成立，故C正确；
若共线，则，故或，故，D正确．
故选：．
根据向量的加减法则及其性质、向量数量积的公式，对各项逐一加以验证，即可得到本题的答案．
本题主要考查向量的基本概念、向量加减法则、向量数量积的性质等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：在中，点为的中点，与交于点，且满足，
，，
，，三点共线，，解得．
故选：．
根据，，三点共线，结合平面向量共线定理即可求解．
本题考查了平面向量共线定理，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：因为为平行四边形，故AB，故易知∽，
故可得，
故，
故选：．
首先由三角形与三角形相似可得，从而可得，再利用三角形法则转化即可．
本题主要考查平面向量基本定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，当时，，故A错误；
对于，当时，满足，但不是纯虚数，故B错误；
对于，令，，满足，但不满足且，故C错误；
对于，、为虚数，
则可设，，
则为实数，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合特殊值法，复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断，考查复数的相关知识，逻辑推理能力，属于基础题．
先根据复数模长公式和复数的乘法进行计算，再利用充分条件和必要条件的定义分析即可．
【解答】
解：由题意可设，，，则，
所以命题，可得，
命题，可得，即或，
故是的充分不必要条件，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：依题意得，
所以，
则在复平面内对应的点为．
故选：．
利用复数运算法则化简即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由已知可得，，，
则，
所以复数对应的点为，该点位于第一象限．
故选：．
由已知得出，，然后根据复数的除法运算化简得出，根据复数的几何意义，即可得出答案．
本题考查了复数的运算与几何意义应用问题，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以，即，故A正确；
对于，因为，所以，又因为，所以，所以，故B错误；
对于，，其中，
所以，故C正确；
对于，因为，所以，所以，，所以，故D正确．
故选：．
由平面向量平行的坐标表示建立方程即可判定；由平面向量垂直的坐标表示结合平方关系计算即可判断；由模的坐标表示和三角函数的有界性可判断；由平面向量数量积的运算计算可判断．
本题考查平面向量的坐标运算，平行与垂直的坐标表示，数量积与模，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对选项，，
，
的最大值是，选项正确；
对选项，在中，，，是的外心，
，选项正确；
对选项，令，可得，，
的图象的对称中心坐标为，，
选项错误；
对选项，，
，，，
同理，，点为的垂心，选项正确．
故选：．
对选项，根据平面向量数量积的定义与性质，函数思想即可求解；
对选项，根据三角形外心的性质，向量的线性运算及向量数量积的几何定义即可求解；
对选项，根据正切函数的图象性质即可求解；
对选项，根据向量数量积的性质，三角形垂心的概念即可求解．
本题考查平面向量数量积的定义与性质，函数思想，三角形外心的性质，正切函数的图象性质，三角形垂心的概念，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，
由复数模的性质可知，，故A错误；
对于，令，，满足，但，故B错误；
对于，令，，满足，但，故C错误；
对于，设，
，
则，表示以为圆心，为半径的圆，
，表示圆上的点到点的距离，
故的最大值为，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，特殊值法，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，令，满足，但或，故A错误，
对于，点的坐标为，且是关于的方程的一个根，
也是关于的方程的另一个根，
，解得，，
故，故B正确，
对于，，则的虚部为，故C错误，
对于，设，，，
则，
故，
圆的面积为，圆的面积为，
故点的集合所构成的图形的面积为，故D正确．
故选：．
对于，结合特殊值，以及复数模公式，即可求解，
对于，结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，即可求解，
对于，结合虚部的定义，即可求解，
对于，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义和虚部的定义，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：向量和不平行，向量与反向共线，
存在，使得，
即，
，解得，，
故答案为：．
根据向量共线定理可求出结果．
本题考查向量的运算，考查向量反向共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，；
；
；
；
又；
与的夹角为．
故答案为：．
根据条件对的两边平方即可求出，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．
考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．
15.【答案】
【解析】解：由题设，可令，且，
所以，
所以．
故答案为：．
由根与系数关系有，设，且，结合题设和复数模长、乘法运算求参数．
本题考查二次方程根与系数的关系的应用及复数模长的求法，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
根据复数的运算性质即可得到结论．
本题主要考查复数的基本运算，利用是解决本题的关键，比较基础．
17.【答案】
【解析】解：因为是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，
所以，
整理得，，
故，即．
故答案为：．
由已知把代入方程，然后结合复数的四则运算进行化简，再由复数相等的条件即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及复数相等条件的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因为在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，所以，
所以与夹角的余弦值为，所以夹角为；
设因为与垂直，又．
所以，解得，或，所以，或
由以上得到，，又，所以的最大值为，最小值为．
【解析】由已知，得到与的坐标，然后根据数量积求夹角；
由与垂直，得到数量积为，得到点的坐标的方程解之；
根据，结合的几何意义求最值．
本题考查了平面向量的运算，采用了坐标化的方法，使问题代数化．属于中档题．
19.【答案】解：因为，所以，根据正弦定理得，
，即，即，
又，，所以．
因为，
所以，
根据余弦定理得，，即，
所以，
所以的周长为．
【解析】根据向量平行，再结合正弦定理，即可求出．
先根据面积公式求出，再结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：设是方程的一个实根，则，
即．
根解得：．
所以，当时，原方程有一实根．
假定方程有纯虚数根，且，代入原方程得
，
即．
由复数相等意义知，
但方程即无实数解，即实数不存在．
所以，对任何实数，原方程不可能有纯虚数根．
【解析】设方程的一个实根为，代入方程，化简成标准形式，再由复数相等的意义即可求得；
设方程有纯虚数根，且，代入原方程，再复数相等意义得出，此方程无解，即可判定不存在．
本题主要考查了复数的基本运算及复数相等条件的应用，属于基础题．
21.【答案】解：因为，
，，，
；
由知，，；
由知，，
所以．
【解析】利用条件，求得，，，再对所求式子变形化简即可求出结果；
利用中所求出结果，再对所求式子变形化简即可求出结果；
利用中所求出结果，即可得到结果．
本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题．
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