2024年人教A版高二下学期数学期中模拟试卷一（新题型）

2024年人教A版高二下学期数学期中模拟试卷一（新题型）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2024·邯郸三模）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】因为集合，，
则。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平方法和偶次根式函数的定义域，进而得出集合M，再利用交集的运算法则得出集合M和集合N的交集。
2．（2022高三上·铜鼓月考）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：在数列的公比为，
若且，则 ，所以是递减数列 ，.
若 是递减数列 ，但且不成立，
所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据等比数列定义可知若且则是递减数列 ，若是递减数列 ，举反例
可知不一定且，根据充分必要条件的定义，即可判断A正确.
3．（2024高一下·武鸣月考）已知向量满足，则（　　）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：向量满足，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意结合向量数量积公式计算即可.
4．（2024·邯郸三模）已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】抛物线的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题意可知准线方程为，如图，过点P作准线的垂线，垂足为Q，
过点A作准线的垂线，垂足为B，
所以，三角形的周长为，
当点P为AB与抛物线的交点时等号成立，即的周长的最小值为13。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点坐标和准线方程，再结合抛物线的定义和三角形的周长公式得出三角形周长的最小值。
5．（2023高一上·四平月考）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当 时，，选项A错误；
令，，选项B错误；
因为，所以为奇函数 ， 图像关于原点对称，
当，，， 由， 单调递减，且
所以， 是增函数，
同理当，，且是增函数， 所以选项C正确 ；
当，选项D不正确，
故选：C.
【分析】根据函数的对称性，零点，函数值的正负，单调性，即可得出结论.
6．（2021高二上·杭州期末）已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，c，下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】如图，作出函数 ， ， ， 的图象，
由图可知 ，
和 的图象关于直线 对称， ，ABC均错；
， ， ，
只有 ， ，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据题意，在同一坐标系中作出函数 ， ， ， 的图象，设出函数图象的交点，分析可得A、B两点关于原点对称，可判断选项A、B、C；由函数的图象可得b < c，由对数函数的性质判断D，即可得答案.
7．（2024高三下·三台月考）设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离为3，则实数（　　）
A．2 B．4 C．26 D．41
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：圆的圆心为，半径，
由圆上恰有三点到直线的距离为，数形结合可知圆心到直线的距离，
解得或，又直线不过第三象限，则，解得，所以.
故答案为：C
【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为，即可求出的值，再由直线不过第三象限求出的取值范围，即可得解.
8．（2024高三上·湖州期末）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得设函数的切点坐标分别为：
对两个函数分别求导可得：则公切线的斜率为：可得：
则公切线的方程为：又公切线必然经过点
则把代入可得：化简可得：
令则因为 总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，
则方程有两个不相同的实根，设则
令可得x=1，则当时，当时故在上单调递增，在上单调递减，
故且当x趋近于时，也趋近于，又x趋近于时，也趋近于，
作出的图像如下图，
根据的图像可得：方程有两个不相同的实根，则解得故实数a的取值范围为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性求函数的极值，由题意可得设函数的切点坐标分别为：通过导数的几何意义及公切线的性质可求得：根据题意可得：令方程有两个不相同的实根，构造新函数利用导数判定其单调性后，作出其图像，结合图像即可求解.
二、多项选择题（每题6分，共18分）
9．（2024高二下·云南月考） 已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（　　）
A．奇数项的二项式系数和为256 B．第6项的系数最大
C．存在常数项 D．有理项共有6项
【答案】B,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：令，则，∴或（舍去）．
∴的展开式的通项．
A．，故A错误；
B．由题设展开式共11项，第6项的系数最大，故B正确；
C．令，解得，故存在常数项为第三项，故C正确；
D．当时，为有理项，故有理项共有项，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】令，求出的值，再根据展开式的通项一一判断即可．
10．（2024·邯郸三模）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（　　）
A．共有18个顶点 B．共有36条棱
C．表面积为 D．体积为
【答案】B,D
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；简单组合体的结构特征
【解析】【解答】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，所以A错，B对；
该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，
所以，该多面体的表面积为，所以C错；
正八面体E-ABCD-F可分为两个全等的正四面体，其棱长为3，
过E作于O，连接AO，如下图：
因为且所以，
正方形ABCD中，由边长为3，则对角线长为，则，
在中，则，
正八面体E-ABCD-F的体积为，
所以，该阿基米德多面体的体积为，所以D对。
故答案为：BD.
【分析】根据正八面体的几何性质和题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，从而找出正确的选项。
11．（2024高二下·辉南月考）已知函数，则（　　）
A．曲线在点处的切线方程为
B．函数的极小值为
C．当时，仅有一个整数解
D．当时，仅有一个整数解
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 由题意，f'(x) = (x+1) ex，f' (0) =1，f(0)=0，故曲线y=f(x) 在点(0，0)处的切线方程为y=x，故A正确；
令f'(x) = (x+1) ex=0，得x=-1，f'(x)单调递增，则当时，f' (x) <0，f(x)单调递减，
当 时，f'(x) >0，f(x) 单调递增，所以f(x) 在x=-1处取得极小值，极小值为，故B错误；
当时，有整数解x=-2，
(作出f(x)=xex，与的大致图象如图所示)，
当 时，f (x) 当时，在 (1，+∞)上，设f(x) 的图象在点(x0，y0)处与直线y=k(x-1) 相切，
所以，消去k，得
故若f(x)【分析】求出导数，根据导数以及特殊点大致画出函数图象，根据函数图象分析即可.
三、填空题（每题5分，共15分）
12．（2024高二下·衡阳期中）某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲 乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为　 　.（用数字作答）
【答案】36
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：当甲、乙两人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为：；
当甲、乙两人与其他三人中选一人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为：；
所以不同的专家派遣方案总数为：，
故答案为：.
【分析】分甲、乙两人组成一组和甲、乙两人与其他三人中选一人组成一组两种情况，结合排列数、组合数分析求解.
13．（2024高一下·喀什月考） 在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，即，
可得，
则，，所以.
故答案为：.
【分析】根据中线的性质结合向量的线性运算分析求解.
14．（2024高二下·汉寿开学考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】直线的斜率；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，可得，即，化简整理可得，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，如图可知
直线与圆有交点，则，解得.
故答案为：.
【分析】根据题意先求点的轨迹方程，再由的几何意义，将问题转化为直线与圆有交点，利用点到直线的距离公式求解即可.
四、解答题（共5题，共77分）
15．（2023高二上·成都月考）某市为了了解校园安全教育系列活动的成效，对全市高中生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格” “不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化，现随机抽取部分高中生的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示.
等级 不合格 合格
得分
频数 12 48 24
（1）求的值；
（2）估计该市高中生测试成绩评定等级为“合格”的概率；
（3）在抽取的答卷中，用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的答卷中抽取5份，再从这5份答卷中任取2份，求恰有1份评定等级为“不合格”的概率
【答案】（1）解：由表格可知样本容量为
所以，即由，即
（2）解：（或由此估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率是
（3）解：合格的有72人 不合格的有48人抽样比
故从评定等级为“合格”的答卷中抽取的份数为，记为
从评定等级为“不合格”的答卷中抽取的份数为，记为
则从5份答卷中抽取2份，基本事件
共10个基本事件记事件A：恰有1份评定等级为“不合格”
共6个基本事件
则从这5份答卷中抽取2份，恰有1份评定等级为“不合格”的概率为
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据求得样本容量，进而求得x、z.
（2）利用古典概型概率公式即可估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率.
(3)先求出合格的有72人 不合格的有48人抽样比，得出从评定等级为“合格”、“不合格”的答卷中抽取的份数，根据古典概型概率公式即可求出从这5份答卷中抽取2份，恰有1份评定等级为“不合格”的概率.
16．（2024·邯郸三模）设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，即．
当时，，
又适合上式，所以．
（2）解：，
故
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式得出数列的前项和，再利用的关系式和检验法得出数列的通项公式。
（2）利用（1）中数列的通项公式和，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和。
17．（2024高二下·泗阳月考） 如图，在中，，，.将绕旋转得到，、分别为线段、的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）解：在中，，，，
将绕旋转得到，则，
因为，、平面，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系如图所示：
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为，
因此，点到平面的距离为.
（2）解：设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
因为，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求距离即可；
（2）利用（1）的空间直角坐标系，设平面的法向量为，利用空间向量法求面面夹角的余弦值即可.
18．（2024高三下·浙江模拟）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．
（1）设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；
（2）过的直线与相交于点三点，求证：．
【答案】（1）解：由题设可得，
故椭圆方程为：，双曲线方程为．
由图可知，切点在双曲线上．
设，则切线的方程为：，
因为直线过点，所以，
将代入，得，
所以，，直线的方程为：．
（2）证明：由题意得方程为：，
联立，整理得：，
解得：，或，即．
联立，整理得：，
解得：，或，即．
，
所以，，所以．
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率乘积以及，可求得，可得椭圆方程和双曲线方程，设切点为，可得切线方程，由直线过点，即可求解和直线方程；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程和双曲线方程，由韦达定理，结合的斜率之和为零，求证即可.
19．（2024·凉山模拟） 已知函数．
（1）若函数在R上是增函数，求a的取值范围；
（2）设，若，证明：．
【答案】（1）解：函数，求导得，
因为在上为增函数，所以在上恒成立，
又因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
（2）证明：函数的定义域为，
由，得，
由（1）知，函数在上是增函数，
不妨令，则，即，
亦即，则，
于是，则，
下面证明：，即证：，即证：，
令，即证：，设，
求导得，则函数在上单调递减，
于是，即，所以.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】（1）先求导，问题转化为在上恒成立，结合三角函数的性质，列出不等式求解即可；
（2）由（1）可知函数在上是增函数，令，则，利用分析法推理变形，构造函数并利用导数证明即可.
1 / 12024年人教A版高二下学期数学期中模拟试卷一（新题型）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2024·邯郸三模）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·铜鼓月考）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一下·武鸣月考）已知向量满足，则（　　）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
4．（2024·邯郸三模）已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
5．（2023高一上·四平月考）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021高二上·杭州期末）已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，c，下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高三下·三台月考）设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离为3，则实数（　　）
A．2 B．4 C．26 D．41
8．（2024高三上·湖州期末）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（每题6分，共18分）
9．（2024高二下·云南月考） 已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（　　）
A．奇数项的二项式系数和为256 B．第6项的系数最大
C．存在常数项 D．有理项共有6项
10．（2024·邯郸三模）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（　　）
A．共有18个顶点 B．共有36条棱
C．表面积为 D．体积为
11．（2024高二下·辉南月考）已知函数，则（　　）
A．曲线在点处的切线方程为
B．函数的极小值为
C．当时，仅有一个整数解
D．当时，仅有一个整数解
三、填空题（每题5分，共15分）
12．（2024高二下·衡阳期中）某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲 乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为　 　.（用数字作答）
13．（2024高一下·喀什月考） 在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是　 　.
14．（2024高二下·汉寿开学考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为　 　.
四、解答题（共5题，共77分）
15．（2023高二上·成都月考）某市为了了解校园安全教育系列活动的成效，对全市高中生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格” “不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化，现随机抽取部分高中生的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示.
等级 不合格 合格
得分
频数 12 48 24
（1）求的值；
（2）估计该市高中生测试成绩评定等级为“合格”的概率；
（3）在抽取的答卷中，用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的答卷中抽取5份，再从这5份答卷中任取2份，求恰有1份评定等级为“不合格”的概率
16．（2024·邯郸三模）设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17．（2024高二下·泗阳月考） 如图，在中，，，.将绕旋转得到，、分别为线段、的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．（2024高三下·浙江模拟）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．
（1）设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；
（2）过的直线与相交于点三点，求证：．
19．（2024·凉山模拟） 已知函数．
（1）若函数在R上是增函数，求a的取值范围；
（2）设，若，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】因为集合，，
则。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平方法和偶次根式函数的定义域，进而得出集合M，再利用交集的运算法则得出集合M和集合N的交集。
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：在数列的公比为，
若且，则 ，所以是递减数列 ，.
若 是递减数列 ，但且不成立，
所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据等比数列定义可知若且则是递减数列 ，若是递减数列 ，举反例
可知不一定且，根据充分必要条件的定义，即可判断A正确.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：向量满足，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意结合向量数量积公式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】抛物线的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题意可知准线方程为，如图，过点P作准线的垂线，垂足为Q，
过点A作准线的垂线，垂足为B，
所以，三角形的周长为，
当点P为AB与抛物线的交点时等号成立，即的周长的最小值为13。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点坐标和准线方程，再结合抛物线的定义和三角形的周长公式得出三角形周长的最小值。
5．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当 时，，选项A错误；
令，，选项B错误；
因为，所以为奇函数 ， 图像关于原点对称，
当，，， 由， 单调递减，且
所以， 是增函数，
同理当，，且是增函数， 所以选项C正确 ；
当，选项D不正确，
故选：C.
【分析】根据函数的对称性，零点，函数值的正负，单调性，即可得出结论.
6．【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】如图，作出函数 ， ， ， 的图象，
由图可知 ，
和 的图象关于直线 对称， ，ABC均错；
， ， ，
只有 ， ，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据题意，在同一坐标系中作出函数 ， ， ， 的图象，设出函数图象的交点，分析可得A、B两点关于原点对称，可判断选项A、B、C；由函数的图象可得b < c，由对数函数的性质判断D，即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：圆的圆心为，半径，
由圆上恰有三点到直线的距离为，数形结合可知圆心到直线的距离，
解得或，又直线不过第三象限，则，解得，所以.
故答案为：C
【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为，即可求出的值，再由直线不过第三象限求出的取值范围，即可得解.
8．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得设函数的切点坐标分别为：
对两个函数分别求导可得：则公切线的斜率为：可得：
则公切线的方程为：又公切线必然经过点
则把代入可得：化简可得：
令则因为 总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，
则方程有两个不相同的实根，设则
令可得x=1，则当时，当时故在上单调递增，在上单调递减，
故且当x趋近于时，也趋近于，又x趋近于时，也趋近于，
作出的图像如下图，
根据的图像可得：方程有两个不相同的实根，则解得故实数a的取值范围为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性求函数的极值，由题意可得设函数的切点坐标分别为：通过导数的几何意义及公切线的性质可求得：根据题意可得：令方程有两个不相同的实根，构造新函数利用导数判定其单调性后，作出其图像，结合图像即可求解.
9．【答案】B,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：令，则，∴或（舍去）．
∴的展开式的通项．
A．，故A错误；
B．由题设展开式共11项，第6项的系数最大，故B正确；
C．令，解得，故存在常数项为第三项，故C正确；
D．当时，为有理项，故有理项共有项，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】令，求出的值，再根据展开式的通项一一判断即可．
10．【答案】B,D
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；简单组合体的结构特征
【解析】【解答】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，所以A错，B对；
该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，
所以，该多面体的表面积为，所以C错；
正八面体E-ABCD-F可分为两个全等的正四面体，其棱长为3，
过E作于O，连接AO，如下图：
因为且所以，
正方形ABCD中，由边长为3，则对角线长为，则，
在中，则，
正八面体E-ABCD-F的体积为，
所以，该阿基米德多面体的体积为，所以D对。
故答案为：BD.
【分析】根据正八面体的几何性质和题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，从而找出正确的选项。
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 由题意，f'(x) = (x+1) ex，f' (0) =1，f(0)=0，故曲线y=f(x) 在点(0，0)处的切线方程为y=x，故A正确；
令f'(x) = (x+1) ex=0，得x=-1，f'(x)单调递增，则当时，f' (x) <0，f(x)单调递减，
当 时，f'(x) >0，f(x) 单调递增，所以f(x) 在x=-1处取得极小值，极小值为，故B错误；
当时，有整数解x=-2，
(作出f(x)=xex，与的大致图象如图所示)，
当 时，f (x) 当时，在 (1，+∞)上，设f(x) 的图象在点(x0，y0)处与直线y=k(x-1) 相切，
所以，消去k，得
故若f(x)【分析】求出导数，根据导数以及特殊点大致画出函数图象，根据函数图象分析即可.
12．【答案】36
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：当甲、乙两人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为：；
当甲、乙两人与其他三人中选一人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为：；
所以不同的专家派遣方案总数为：，
故答案为：.
【分析】分甲、乙两人组成一组和甲、乙两人与其他三人中选一人组成一组两种情况，结合排列数、组合数分析求解.
13．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，即，
可得，
则，，所以.
故答案为：.
【分析】根据中线的性质结合向量的线性运算分析求解.
14．【答案】
【知识点】直线的斜率；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，可得，即，化简整理可得，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，如图可知
直线与圆有交点，则，解得.
故答案为：.
【分析】根据题意先求点的轨迹方程，再由的几何意义，将问题转化为直线与圆有交点，利用点到直线的距离公式求解即可.
15．【答案】（1）解：由表格可知样本容量为
所以，即由，即
（2）解：（或由此估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率是
（3）解：合格的有72人 不合格的有48人抽样比
故从评定等级为“合格”的答卷中抽取的份数为，记为
从评定等级为“不合格”的答卷中抽取的份数为，记为
则从5份答卷中抽取2份，基本事件
共10个基本事件记事件A：恰有1份评定等级为“不合格”
共6个基本事件
则从这5份答卷中抽取2份，恰有1份评定等级为“不合格”的概率为
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据求得样本容量，进而求得x、z.
（2）利用古典概型概率公式即可估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率.
(3)先求出合格的有72人 不合格的有48人抽样比，得出从评定等级为“合格”、“不合格”的答卷中抽取的份数，根据古典概型概率公式即可求出从这5份答卷中抽取2份，恰有1份评定等级为“不合格”的概率.
16．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，即．
当时，，
又适合上式，所以．
（2）解：，
故
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式得出数列的前项和，再利用的关系式和检验法得出数列的通项公式。
（2）利用（1）中数列的通项公式和，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和。
17．【答案】（1）解：在中，，，，
将绕旋转得到，则，
因为，、平面，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系如图所示：
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为，
因此，点到平面的距离为.
（2）解：设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
因为，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求距离即可；
（2）利用（1）的空间直角坐标系，设平面的法向量为，利用空间向量法求面面夹角的余弦值即可.
18．【答案】（1）解：由题设可得，
故椭圆方程为：，双曲线方程为．
由图可知，切点在双曲线上．
设，则切线的方程为：，
因为直线过点，所以，
将代入，得，
所以，，直线的方程为：．
（2）证明：由题意得方程为：，
联立，整理得：，
解得：，或，即．
联立，整理得：，
解得：，或，即．
，
所以，，所以．
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率乘积以及，可求得，可得椭圆方程和双曲线方程，设切点为，可得切线方程，由直线过点，即可求解和直线方程；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程和双曲线方程，由韦达定理，结合的斜率之和为零，求证即可.
19．【答案】（1）解：函数，求导得，
因为在上为增函数，所以在上恒成立，
又因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
（2）证明：函数的定义域为，
由，得，
由（1）知，函数在上是增函数，
不妨令，则，即，
亦即，则，
于是，则，
下面证明：，即证：，即证：，
令，即证：，设，
求导得，则函数在上单调递减，
于是，即，所以.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】（1）先求导，问题转化为在上恒成立，结合三角函数的性质，列出不等式求解即可；
（2）由（1）可知函数在上是增函数，令，则，利用分析法推理变形，构造函数并利用导数证明即可.
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