江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高一（下）第一次质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高一（下）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.的三内角，，所对边分别为，，，若，则角的大小为( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
8.设则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10.在中，内角、、所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A.
B. ，且，则为等边三角形
C. 若，则是等腰三角形
D. 在中，，，，则使有两解的的范围是
11.某人向正东方向走后，向右转，然后朝新方向走，结果他离出发点恰好是，那么的值可能为( )
A. B. C. D.
12.已知函数，则( )
A. 的最大值为
B. 的图像关于点对称
C. 在上单调递增
D. 直线是图像的一条对称轴
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在中，，，，则的面积为______．
14.已知，则的值为______．
15.在中，，，，则的值为______．
16.在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
18.本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，且的面积为，求的周长．
19.本小题分
已知，，．
求；
求．
20.本小题分
已知函数．
求的值；
求的最小正周期和单调递增区间；
求在上的最大值和最小值．
21.本小题分
在锐角中，设角，，所对的边长分别为，，，且．
求的大小；
若，，点在边上，______，求的长．
请在；；这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
22.本小题分
在锐角中，，，
求角；
求的周长的范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用诱导公式及两角差的正弦化简求值．
本题主要考查诱导公式及两角差的正弦公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
又，
所以．
故选：．
由已知利用余弦定理可得的值，结合的范围即可求解的值．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
由余弦的倍公式可得等式为，进而求出其值．
本题考查余弦的倍角公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，可得，
．
故选：．
由已知利用诱导公式可求，利用同角三角函数基本关系式可求，进而根据二倍角的正弦函数公式可求的值．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题．
利用余弦定理即可得出．
【解答】
解：由余弦定理可得，
而，
．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：由，可得，
由，可得，
两式相加可得，所以，
因为，，所以，
所以，．
故选：．
将条件的两个式子平方相加可得，然后可得的值，然后判断出，然后可求出答案．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由余弦定理知，，
所以．
故选：．
结合余弦定理与完全平方和公式，进行运算，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了两角差的正切公式在三角求值中的应用，属于较易题．
由于
，代入可求．
【解析】
解：
．
故选B
9.【答案】
【解析】解：，故A不对；
，故B不对；
，故C正确；
，故D正确，
故选：．
由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式，求出结果．
本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，由正弦定理得：，故A正确；
对于，，，
由余弦定理得：，
，，
又，，
，，，，即，故B正确；
对于，由及，得：或，
或，是等腰三角形或直角三角形，故C不正确；
对于，要使有两解，则需，，即，故D正确．
故选：．
根据解三角形相关知识逐一对选项做判断即可．
本题考查三角恒等变换和解三角形的综合，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，作出图象，如下图所示，
由题意得，
由余弦定理得，
解得或．
故选：．
根据题意，作出图象，结合余弦定理，即可得答案．
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
的最大值为，A正确；
又，
的图像不关于点对称，B错误；
，
在上单调递增，C正确；
又，
直线不是图像的一条对称轴，D错误．
故选：．
化简得，利用正弦函数的性质对各个选项逐一分析可得答案．
本题考查正弦函数的单调性、对称性及最值等性质的应用，考查运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：在中，，，，由余弦定理得，
结合，得，所以的面积．
故答案为：．
根据题意，先利用余弦定理求出角，然后根据三角形面积公式算出答案．
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
两边平方得，，
则．
故答案为：．
利用两角和的正弦公式展开，然后结合同角平方关系及二倍角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及同角基本关系在三角求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：在中，由余弦定理，得，
即，而，解得，
所以的值为．
故答案为：．
根据给定条件，利用余弦定理求解即得．
本题考查的知识点：余弦定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：点是角终边上一点，
，
．
故答案为：．
利用三角函数的定义，可求，进而利用两角和的正切函数公式即可得出结论．
本题考查三角函数的定义，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
17.【答案】解：已知，
则，
即，
即；
．
【解析】由两角和与差的三角函数，结合二倍角公式求解；
结合二倍角公式求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了二倍角公式，属中档题．
18.【答案】解：Ⅰ，
，
又，，
，，
；
Ⅱ的面积为，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
的周长为．
【解析】Ⅰ根据二倍角公式化简可得，进一步计算可得角；Ⅱ根据三角形面积求得，再根据余弦定理求得，相加可得三角形的周长．
本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为，则，
所以；
由可得：，
因为，则，
可得，
所以
．
【解析】由已知函数值以及角的范围可得，结合两角差的余弦公式即可求值；
根据，结合两角差的正余弦公式即可求值．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：，
；
的最小正周期为：，
解得，，
的单调递增区间为：，；
，
，
在上的最大值为，最小值为．
【解析】根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式可化简得出，然后即可求出答案；
根据求出的的解析式即可得出答案；
可求出的范围，结合正弦函数的图象即可求出答案．
本题考查了二倍角公式，两角和的正弦公式，三角函数最小正周期的计算公式，正弦函数的图象和单调增区间，是基础题．
21.【答案】解：在中，由正弦定理，
及得，
因为为锐角三角形，
所以，
所以．
所以
又因为，所以
若选．
法一：在中，因为，
所以．
所以 ，
所以
法二：在中，由余弦定理，得，
所以，
所以．
在中，由余弦定理，得，
即
在中，由余弦定理，得
即．
又，所以．
所以，
所以．
若选．
在中，，
即，
即，
解得．
若选．
在中，由余弦定理，得，
所以．
因为，
又，
所以，
解得．
【解析】本题主要考查了正弦定理，平面向量数量积的运算，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由正弦定理化简已知等式，结合，可得，可求，结合范围，可求的值．
若选法一：由题意可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算即可求解的值；法二：由余弦定理可求的值，在，中，分别应用余弦定理，结合，可求，即可解得的值．若选由于，利用三角形的面积公式即可求解的值；若选由余弦定理可求的值，利用三角形的面积公式可得，进而解得的值．
22.【答案】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以；
因为，
所以，所以，，
所以
因为是锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，
所以
所以．
【解析】根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式，可得，可得；
利用正弦定理将表示为的函数，根据锐角三角形得的范围，再根据正弦函数的图象可得结果．
本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、锐角三角形的概念和正弦函数的图象的应用，属于中档题．
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