海南省海口市海南中学2023-2024学年高三（下）第六次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年海南省海口市海南中学高三（下）第六次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据，，，，，，，的百分位数为( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列，则是成立的条件．( )
A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
4.已知平面、，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.年杭州亚运会期间，甲、乙、丙名运动员与名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有( )
A. B. C. D.
6.已知，，，，则的值是( )
A. B. C. D.
7.已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增 D. 当时，的最小值为
10.已知，是两个虚数，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则与均为实数 B. 若与均为实数，则
C. 若，均为纯虚数，则为实数 D. 若为实数，则，均为纯虚数
11.设函数的定义域为，满足，且，当时，，若，则以下正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，若，则实数的值为______．
13.对，定义了一种新运算，规定其中，均为非零常数例如：，已知，，若关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是______．
14.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，，则此三棱锥的外接球的体积为______；此三棱锥的内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，．
Ⅰ讨论函数的单调区间；
Ⅱ若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，
求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
求甲、乙、丙三个家庭中不少于个家庭回答正确这道题的概率．
17.本小题分
如图，是半球的直径，，，依次是底面上的两个三等分点，是半球面上一点，且．
证明：；
若点在底面圆上的射影为中点，求直线与平面所成的角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线：的离心率为，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和，的面积为．
求曲线的方程；
如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于、两点，直线过且垂直于轴，直线、分别与交于、两点，若、、、四点共圆，求点的坐标．
19.本小题分
某中学高一学生组建了数学研究性学习小组在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“”：为自然对数的底数，，，进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：，等等．
对任意实数，，，请判断是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明；
若，，，定义闭区间的长度为，若对任意长度为的区间，存在，，，求正数的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，所以该组数据的百分位数为．
故选：．
由百分位数的定义即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：依题意可得，即；
不妨取左焦点到渐近线的距离为，
即，
所以渐近线方程为．
故选：．
根据双曲线的性质利用点到直线距离公式可得，，可得渐近线方程．
本题考查双曲线渐近线的性质，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：等差数列，
当公差时，可取任意值，
当公差时，由等差数列通项公式得，
则，
是成立的充分不必要条件．
故选：．
当公差时，可取任意值，当公差时，由等差数列通项公式得，从而得到是成立的充要条件．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【解答】
解：对于，若，，则或与异面，故A错误；
对于，若，，则，又，则，故B正确；
对于，若，，则或，故C错误；
对于，若，，则或与相交，故D错误．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：甲与乙相邻有种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的人排好，有种不同的排法，
再将丙排入隔开的不在两端的个空中，有种不同的排法，
所以共有种不同的排法．
故选：．
相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙．
本题考查了相邻问题中的捆绑法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，，，
则，
可知，，
则，
又因为，
可得，
所以．
故选：．
根据求出，从而可得，的范围，即可得出的范围，再求和的值，即可得结果．
本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：易知圆的圆心坐标为，半径为，
连接，，易知，如图所示：
易得，所以，
则，
设夹角为，则，
所以，
又，
可得．
故选：．
根据圆心和点的坐标，可得，再由数量积的定义以及坐标运算即可得出结果．
本题考查平面向量数量积的运算，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：设椭圆的左焦点为，则，
根据椭圆的对称性可得四边形为矩形，所以，
因为，，
所以，，
则，即，
因为，则，所以，
则，
所以，
故选：．
设出椭圆的左焦点，则，根据椭圆的对称性可得四边形为矩形，所以，然后根据，，
所以，，则，化简即可求解．
本题考查了椭圆的几何性质，涉及到三角函数求范围的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
可得把的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，
可得的最小正周期为，故A正确；
令，求得，不是最值，
故的图象不关于直线对称，故B错误；
当时，，不单调，故C错误；
当时，，故当时，取得最小值为，故D正确．
故选：．
函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：设，，．
若，则，，所以，，所以A正确；
若与均为实数，则，且，又，，所以，所以B正确；
若，均为纯虚数，则，所以，所以C正确；
取，，则为实数，但，不是纯虚数，所以D错误．
故选：．
根据复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可求解，举反例即可求解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，则
所以，即，
又，
所以，
所以，即，故A正确；
，
所以，故B正确；
在中，令，得，
即，解得，故C错误；
，故D错误．
故选：．
由抽象解析式变形推导出函数的周期，判断，再利用已知条件变形，即可判断，利用已知抽象等式，赋值，即可求解，判断，再利用函数的周期，以及已知抽象等式和函数解析式，即可判断．
本题主要考查抽象函数及其应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，所以或，解得，，根据集合元素互异性，．
故答案为．
利用元素与集合的关系，是集合中的元素解出值，再将解出的值代入集合进行检验，满足集合元素互异性．
本题考查了元素与集合的关系，集合元素互异性．学生容易遗忘集合元素互异性，而导致解答错误．
13.【答案】
【解析】解：由，得，，
即，
解得，，
所以，则不等式组可化为，
解得．
因为不等式组恰好有个整数解，
所以，解得，
故答案为：．
根据新定义运算结合条件列方程组先求出，；再将新不等式组转化为一元一次不等式组并化简，再利用不等式组的解恰好有个整数可得的不等关系，从而得出结论．
本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义，利用新定义把问题转化为我们熟知的一元一次不等式组求解，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，，
如图所示：
即，，
故A，，两两垂直；
所以，
故，整理得，
所以，解得，
所以三棱锥的外接球的半径满足，解得，即，
故．
首先利用，，
利用勾股定理，，
所以，
利用等体积转换法，设内切球的半径为，
所以，解得，
故．
首先利用三棱锥的三个侧面的两两垂直求出，，两两垂直；进一步求出，，的值，进一步利用三棱锥和外接球的关系求出外接球的半径和内切球的半径，求出三棱锥的外接球的体积，最后利用等体积转换法求出内切球的半径，最后求出内切球的表面积．
本题考查的知识要点：三角形的面积公式，三棱锥和外接球与内切球的关系，外接球的半径和内切球的半径的求法，球的表面积公式和体积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：Ⅰ在区间上，．
若，则，是区间上的减函数；
若，令得．
在区间上，，函数是减函数；
在区间上，，函数是增函数；
综上所述，当时，的递减区间是，无递增区间；
当时，的递增区间是，递减区间是．
因为函数在处取得极值，所以
解得，经检验满足题意．
由已知，则
令，则
易得在上递减，在上递增，
所以，即．
【解析】对函数进行求导，然后令导函数大于求出的范围，令导函数小于求出的范围，即可得到答案；
由函数在处取得极值求出的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数的取值范围即可．
本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于时原函数单调递增，当导函数小于时原函数单调递减．
会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．
16.【答案】解：记“甲家庭回答正确这道题”为事件，“乙家庭回答正确这道题”为事件，
“丙家庭回答正确这道题”为事件，
则，，，
即，，
所以，，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，；
有个家庭回答正确的概率为，
有个家庭回答正确的概率为：
，
所以不少于个家庭回答正确这道题的概率．
【解析】根据独立事件的乘法公式计算即可得；
利用独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可得．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：证明：连接，，，，
，依次是底面的两个三等分点，四边形为菱形，
设，则为的中点，且，
又，，故为等边三角形，
连接，则，又，面，
面，，，依次是底面的两个三等分点，，
，又因为是半球的直径，是半球面上一点，因此，
又，面，面，；
根据题意可知面，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
则，令，则，，因此，
设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成的角的正弦值为．
【解析】连接，，，，由已知可证面，进而可证，，可证面，可证结论；
建立空间直角坐标系，利用向量示求直线与平面所成的角的正弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．
18.【答案】解：由得，又，得到，
渐近线方程为，则双曲线方程为，即，
设，则到渐近线的距离分别为，，
两渐近线的夹角为，，，，四点共圆，或，
的面积为
，
曲线的方程为：．
如图，，，，四点共圆，
，
设，，，．
，：，令得，
当的斜率为时不符合题意；
当的斜率不为时，设：，
，
，，
，即，
，
，符合，．
【解析】由双曲线的性质可得，从而可得渐近线方程，利用点到直线的距离公式，三角形面积公式可求得的值，进而可得双曲线方程；
由四点共圆的性质可推出，设：，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系即可求解点坐标
本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
19.【答案】解：证明：因为，
所以，
因为，
所以．
因为，
所以，函数定义域为，
易知是开口向上的二次函数，对称轴为，
因为，
不妨设，
当时，在上单调递增，
所以，
即，
解得，
当，即时，
易知在内单调递减，内单调递增，
又，
由，
可得，
即，
则，
所以，
解得，
故正数的最小值为．
【解析】根据新定义以及对数运算证得成立．
先求得的解析式，结合差比较法列不等式，由此求得的取值范围，进而求得正数的最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
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