2023-2024学年上海市普陀区桃浦中学高三（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年上海市普陀区桃浦中学高三（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对成对数据、、、用最小二乘法求回归方程是为了使( )
A. B. C. 最小 D. 最小
2.设、表示空间的两条直线，表示平面，给出下列结论：
若且，则
若且，则
若且，则
若且，则
其中不正确的个数是( )
A. B. 个 C. 个 D. 个
3.对于全集的子集，定义函数为的特征函数．设，为全集的子集，下列结论中错误的是( )
A. 若， B.
C. D.
4.如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架、、、按照逆时针排布，若，一个半径为的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，共53分。
5.若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为 ______．
6.不等式的解集是：______．
7.现有一组数，，，，，，，，，，则该组数的第百分位数为______．
8.已知扇形圆心角，所对的弧长，则该扇形面积为______．
9.函数的定义域为______．
10.已知，则的最小值为______．
11.将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则的坐标为______．
12.圆的半径的最大值为______．
13.记为等比数列的前项和，若，，则 ______．
14.若存在实数，使函数在上有且仅有个零点，则的取值范围为______．
15.已知边长为的菱形中，，、是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是______．
16.己知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知各项均为正数的数列满足，．
求证：数列是等比数列；
求数列的前项和．
18.本小题分
如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.本小题分
已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、设．
求双曲线的渐近线方程：
若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；关于求的最值，某学习小组提出了如下的思路可供参考：利用基本不等式求最值；设为，建立相应数量关系并利用它求最值；设直线的斜率为，建立相应数量关系并利用它求最值
若点在双曲线的左支上点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形且边的长等于双曲线的实轴长的倍．
20.本小题分
已知，其中．
若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值；
当时，设，数列满足，且，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：最小二乘法又称最小平方法是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小．
故选：．
利用最小二乘法求回归方程的定义，判断选项的正误即可．
本题考查线性回归直线方程的性质，最小二乘法的定义的应用，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析个结论：
若且，则或，错误；
若且，则或与异面，错误；
若且，则或，错误；
若且，则与平行、相交或异面，错误；
其中有个结论不正确．
故选：．
根据题意，由直线与直线平行、直线与平面平行的性质分析个结论是否正确，即可得答案．
本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系，涉及直线、平面平行的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：：，可得则，，，而中可能有的元素，但中不可能有的元素，，故A正确；
：因为，综合的表达式，可得，故B正确；
：，故C正确；
：，故D错误；
故选：．
根据题中特征函数的定义，利用几何的交集、并集、补集运算法则，对、、、各项中的运算加以验证，进而求解；
考查接受新知识，理解运用新知识的能力，交集、并集、补集运算法则，属于中档题；
4.【答案】
【解析】解：由题意，取，
由题意得四棱锥是正四棱锥，球的球心在四棱锥的高上；
过正四棱锥的棱与作正四棱锥的轴截面如图所示：
由题意可得是正方形，且，
，，
，，
，，
∽，
∽，
，解得，
．
故选：．
取，由题意得四棱锥是正四棱锥，球的球心在四棱锥的高上，过正四棱锥的棱与作正四棱锥的轴截面如图所示，利用平面几何知识即可求解．
本题主要考查空间几何体的性质，考查与棱相切的球体，把空间问题平面化，是解题的关键．属中档题．
5.【答案】
【解析】解：设此幂函数的表达式为，
依题意可得，，即，解得，
所以此幂函数的表达式为．
故答案为：．
设此幂函数的表达式为，从而可得，求解即可．
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分式不等式的求解，根据分式不等式的性质进行转化是解决本题的关键．
根据分式不等式的解法进行求解即可．
【解答】
解：由得，
即，即，
故不等式的解集为，
故答案为．
7.【答案】
【解析】解：由题设，数据集从小到大排列中共有个数据，则，
所以该组数的第百分位数为第三个数．
故答案为：．
根据已知数据集，应用百分数的求法求第百分位数即可．
本题考查百分位数，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由弧长公式可得，
所以扇形面积为．
故答案为：．
根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意，即，
，，定义域为．
故答案为：．
根据对数函数的性质得不等式，然后解指数不等式可得．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，
当且仅当，即时取得“”，
．
故答案为：．
将化为：，然后利用基本不等式解之即可．
本题考查基本不等式的应用，化为：是关键，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：向量，
则，终边的角为，
将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，
则，．
故答案为：．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：圆，转换为标准式为：．
故；
当时，取得最大值为，即的最大值为．
故答案为：．
首先把圆的一般式转换为标准式，进一步利用二次函数的性质求出的最大值．
本题考查的知识要点：圆的方程之间的转换，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
13.【答案】或
【解析】解：设的公比是，
，同理，
由已知，否则公比，，与已知矛盾，
所以，，也成等比数列，，
又，，所以，解得或，
又，所以与同号，因此，
所以，，，
若，则，，即，
若，则，，即．
故答案为：或．
由等比数列性质得出，，也成等比数列，从而求得，然后求得公比后，再求得即得．
本题主要考查了等比数列的求和公式及等比数列的性质的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为，由，得到，
所以或，
所以，
又因为存在实数，使函数在上有且仅有个零点，所以
，即且，解得．
故答案为：
利用的图像与性质，直接求出函数的零点，再利用题设条件建立不等关系且，从而求出结果．
本题考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，，设，交于点，则，以点为原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则：
，，内切圆的半径为，
，且，点在内切圆上，
设，，，
，
，
，设，
，
时，取最大值，
的最大值为．
故答案为：．
可连接，，设交于点，可得出，以点为原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出，，内切圆的半径为，且设，，从而得出，可设，从而可得出，然后配方即可求出最大值．
本题考查了通过建立坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，圆的标准方程，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：画出函数的图象，如图所示，
令，则有个不相等的实数解，
其范围分别为和，
则解得
故答案为：
分析的图象，可知关于的二次方程有根，范围分别为和，在按二次方程根的分布处理．
考查含有绝对值函数的图象，复合函数根的个数问题的处理，属于拔高题；
17.【答案】证明：已知各项均为正数的数列满足，正整数，
则，
又，
即数列是以为首项，为公比的等比数列；
解：由可得，
即，
则．
【解析】由已知可得，然后求证即可；
由可得，然后结合等比数列前项和的公式求解即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等比数列前项和的公式，属基础题．
18.【答案】解：证明：连接，如图所示：
、分别为、的中点，
在中，且，
，，，
且，
四边形是平行四边形，
，
又平面平面，平面，
平面；
三角形与梯形所在的平面互相垂直，即平面平面，，
又平面平面，平面，
平面，
又平面，则，
则建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示：
，，则，，，，
，，
由得平面的法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
，，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【解析】连接，由题意得且，结合题意可得且，即四边形是平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；
由题意得平面平面，，可得，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．
本题考查空间中直线与平面的位置关系和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，
可得设双曲线的方程为，
由，
可得，即有渐近线的方程为；
由可得，，所以双曲线的方程为，设，，
因为点，都在双曲线的右支上，所以，
所以，当且仅当时取得等号，即，
当时，，所以，
所以轴且，
又双曲线的方程为，
可令，解得，可得，又，
所以，
．
证明：设直线的方程为，将代入双曲线的方程，可得，
设，，可得，，
由，可得，
故，
又，同号，所以，即，
所以，解得，
此时直线的斜率的绝对值为，
可知直线与双曲线的两支都相交，
又，所以，
则，它等于双曲线实轴长的倍，
此时，
所以是等腰三角形．
【解析】由双曲线的离心率公式和，，的关系，可得，的关系，进而得到渐近线方程；
设双曲线的方程为，，，运用基本不等式和双曲线的定义，锐角三角函数的定义和二倍角的正切公式，计算可得所求值；
设直线的方程为，将代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，以及双曲线的定义，等腰三角形的定义，可得证明．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为，
可得，
若曲线在点处的切线与直线垂直，
因为直线的斜率为，
所以，
解得；
因为，函数定义域为，
可得，
当时，，
所以有两异号实根，
不妨设为方程的正根，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以．
综上，，的最大值为；
证明：要证，
即证，
因为，
此时要证，
因为当，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在上单调递减，
要证，
需证，
即证，
又，
要证，
即证，
因为，在上单调递减，
极值，
因为，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
在时，，单调递增，
所以，
又，
所以，
同理．
故．
【解析】由题意，对函数进行求导，根据导数与函数曲线切线的关系以及直线垂直斜率的关系，列出等式即可求解；
根据导数与函数单调性的关系，利用换元法，建立新函数，可得答案；
利用综合法，整理不等式，通过构建新函数，对新函数进行求导，利用导数研究函数单调性求最值．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
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