浙江省中考数学考前冲刺每日一练32（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）

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浙江省中考数学考前冲刺每日一练32（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）
1．已知正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．九 B．八 C．七 D．六
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（　　）
A．36° B．45° C．60° D．75°
3．圆锥底面圆的直径和母线长均为4cm，则它的侧面积为 　 　cm2．
4．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁，请你补充一个条件，并证明．
5．小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．
浙江省中考数学考前冲刺每日一练32（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．已知正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．九 B．八 C．七 D．六
【分析】应用多边形内角和定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
这个正多边形的边数是＝9．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和定理进行求解是解决本题的关键．
二．填空题（共1小题）
2．圆锥底面圆的直径和母线长均为4cm，则它的侧面积为 　8π　cm2．
【分析】求出圆锥底面圆的周长，根据扇形的面积公式计算．
【解答】解：∵圆锥底面圆的直径为4cm，
∴圆锥底面圆的周长为4πcm，
则圆锥展开后所得扇形的弧长为4πcm，
∴它的侧面展开图的面积＝×4π×4＝8π（cm2），
故答案为：8π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
3．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理．
【解答】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，掌握平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形以及菱形的判定方法：（1）四条边相等的四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形，是解题关键．
4．小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，再利用AC＝AP，即可得出结论；
（2）①由题意可得：∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，再求解∠ACP＝∠APC＝67.5°，∠CPB＝112.5°，证明∠DPE＝∠CPB＝112.5°，从而可得答案；
②先证明△ADP∽△ACB，可得∠APD＝45°，DP∥CB，再证明MP＝MD＝MC＝MN，∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，从而可得出结论．
【解答】解：（1）赞同，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
∴cos45°＝，
∵AC＝AP，
∴，
∴点P为线段AB的“趣点”．
（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°，
∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，
∴＝67.5°，
∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
∵△DPE∽△CPB，D，A重合，
∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°，
∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°；
②点N是线段ME的趣点，理由如下：
当点D为线段AC的趣点时（CD＜AD），
∴，
∵AC＝AP，
∴，
∵，∠A＝∠A，
∴△ADP∽△ACB，
∴∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴∠APD＝45°，DP∥CB，
∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE，
∴DM＝PM，
∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴MD＝MC，
同理可得MC＝MN，
∴MP＝MD＝MC＝MN，
∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，
∴∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，
∴＝，
∴点N是线段ME的“趣点”．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，理解新定义的含义，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键．
5．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝1﹣2+3
＝4﹣2；
（2），
解不等式①得：x≤1；
解不等式②得：x≥﹣3，
∴原不等式组的解集为：﹣3≤x≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
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