浙江省中考数学考前冲刺每日一练37（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）

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浙江省中考数学考前冲刺每日一练37（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）
1．某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解2月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示：
册数 1 2 3 4 5
人数 4 12 16 17 1
关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．平均数是3 B．方差是3 C．中位数是3 D．众数是17
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，且该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点，则d的值不可能是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．4
3．如图，已知正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形MNPQ，连结MF并延长交NP于点O，设正方形EFGH的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
4．如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段AC上找一点D，使得；
（2）如图2，在三角形内寻找格点P，使得∠BPC＝2∠A．
5．已知二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝﹣，求该函数图象顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（1，﹣2），（2，﹣5）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若﹣5≤a≤﹣2，当﹣3≤x≤0时，y＝ax2﹣2x+2﹣a的最大值记为m，最小值记为n，求am﹣n的最小值．
浙江省中考数学考前冲刺每日一练37（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解2月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示：
册数 1 2 3 4 5
人数 4 12 16 17 1
关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．平均数是3 B．方差是3 C．中位数是3 D．众数是17
【分析】先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．
【解答】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：
（1×4+2×12+3×16+4×17+5×1）÷50＝2.98；
∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3；
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是3，
∴这组数据的中位数为3，
∵这组样本数据的平均数为2.98，
∴这组样本数据的方差不是整数．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，且该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点，则d的值不可能是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．4
【分析】根据y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程，再根据二次函数的性质进而求解．
【解答】解：如图，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点，
∴点M（3，m+1）关于对称轴的对称点为（﹣5，m+1），
∴﹣5＜d＜3，
∴d不可能是4．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，结合图象求解．
3．如图，已知正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形MNPQ，连结MF并延长交NP于点O，设正方形EFGH的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】根据，设S1＝4k2，S2＝49k2，则正方形EFGH边长为2k，正方形MNPQ的边长为7k，即FG＝2k，NP＝7k，设NC＝a，PC＝b，依题意得BF＝CG＝NC＝BM＝a，BG＝BN＝CP＝b，则，解得，则NC＝BM＝2.5k，CP＝4.5k，证BC∥MO，得△BNC∽△MNO，则BN：MN＝NC：NO，即4.5k：7k＝2.5k：NO，由此得NO＝，则OC＝NO﹣NC＝，进而得OP＝CP﹣OC＝，据此可得的值．
【解答】解：，
∴设S1＝4k2，S2＝49k2，
∴正方形EFGH边长为2k，正方形MNPQ的边长为7k，
即FG＝2k，MN＝NP＝7k，
设NC＝a，PC＝b，
依题意得：△AMB，△AFB，△BNC，△BGC，△CPD，△XHD，△DQA，△DEA都全等，
∴BF＝CG＝NC＝BM＝a，BG＝BN＝CP＝b，
∴BG﹣BF＝FG，NC+CP＝NP，
∴，解得，
∴NC＝BM＝2.5k，CP＝4.5k，
∵AM＝AF，
∴点A在线段AF的垂直平分线上，
∴BF＝BM，
∴点B在线段AF的垂直平分线上，
∴AB是线段AF的垂直平分线，
即AB⊥MO，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴BC∥MO，
∴△BNC∽△MNO，
∴BN：MN＝NC：NO，
即4.5k：7k＝2.5k：NO，
∴NO＝，
∴OC＝NO﹣NC＝﹣2.5k＝，
∴OP＝CP﹣OC＝4.5k﹣＝，
∴＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
二．解答题（共2小题）
4．如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段AC上找一点D，使得；
（2）如图2，在三角形内寻找格点P，使得∠BPC＝2∠A．
【分析】（1）分别取格点M，N，使AM：CN＝1：4，且AM∥CN，连接MN，交AC于点D，结合相似三角形的判定与性质可知，点D即为所求．
（2）分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点P，结合线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质可知，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图1，分别取格点M，N，使AM：CN＝1：4，且AM∥CN，连接MN，交AC于点D，
则△ADM∽△CDN，
∴＝，
则点D即为所求．
（2）如图2，分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点P，
连接BP并延长，交格点于点D，连接CP并延长，交格点于点E，
则∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，
∴∠APD＝∠ABP+∠BAP＝2∠BAP，∠APE＝∠ACP+∠CAP＝2∠CAP，
∴∠DPE＝∠APD+∠APE＝2（∠BAP+∠CAP）＝2∠BAC，
∴∠BPC＝∠DPE＝2∠BAC，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．已知二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝﹣，求该函数图象顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（1，﹣2），（2，﹣5）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若﹣5≤a≤﹣2，当﹣3≤x≤0时，y＝ax2﹣2x+2﹣a的最大值记为m，最小值记为n，求am﹣n的最小值．
【分析】（1）当a＝﹣时，二次函数y＝﹣x2﹣2x+，化成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）先判断抛物线过点（2，﹣5），代入解析式即可求得a＝﹣1，从而求得抛物线的解析式；
（3）二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a，由﹣5≤a≤﹣2得出﹣≤≤﹣，抛物线开口向下，即可得出x＝时，y＝m，x＝﹣3时，y＝n，进而得出am﹣n＝﹣a2+2a﹣1﹣8a﹣8＝﹣a2﹣6a﹣9＝﹣（a+3）2，根据﹣5≤a≤﹣2求得最小值为﹣4．
【解答】解：（1）当a＝﹣时，二次函数y＝﹣x2﹣2x+＝﹣（x+2）2+，
∴顶点坐标为（﹣2，）；
（2）∵y＝ax2﹣2x+2﹣a
＝a（x2﹣1）﹣2（x﹣1）
＝a（x+1）（x﹣1）﹣2（x﹣1）
＝（x﹣1）（ax+a﹣2），
当x＝1时，y＝0≠﹣2，因此不过（1，﹣2）点，
当x＝﹣1时，y＝4≠1，因此不过（﹣1，1）点，
故抛物线过点（2，﹣5），代入得，4a﹣4+2﹣a＝﹣5，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（3）∵二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a，
∴对称轴为直线x＝，
∵﹣5≤a≤﹣2，
∴﹣≤≤﹣，抛物线开口向下，
∵﹣3≤x≤0时，y＝ax2﹣2x+2﹣a的最大值记为m，最小值记为n，
∴x＝时，y＝m，x＝﹣3时，y＝n，
∴m＝﹣+2﹣a＝2﹣a﹣，n＝9a+6+2﹣a＝8a+8，
∴am＝﹣a2+2a﹣1，
∴am﹣n＝﹣a2+2a﹣1﹣8a﹣8＝﹣a2﹣6a﹣9＝﹣（a+3）2，
∵﹣5≤a≤﹣2，
∴当a＝﹣5时，am﹣n有最小值，为﹣4．
【点评】本题是主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据题意用关于a的式子表示出m、n．
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