浙江省中考数学考前冲刺每日一练38（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省中考数学考前冲刺每日一练38（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）
1．如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（　　）
A．只需知道图1中大长方形的周长即可
B．只需知道图2中大长方形的周长即可
C．只需知道③号正方形的周长即可
D．只需知道⑤号长方形的周长即可
2．如图，已知A为反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，B为x轴正半轴上一点，过点B作BC⊥x轴交反比例函数图象于点C，连结OA，AB，OC．当OA＝AB，△DBC的面积等于1时，k的值为 　 　．
3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB斜边上的中点C在y轴正半轴上，M为AC的中点．反比例函数的图象经过点A，M，延长MO交函数在第四象限的图象于点N．反比例函数的图象经过点B，连结BN．若△BMN的面积为18，则m﹣n的值为 　 　．
4．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，E为AD上一点，连结CE，若∠BAD＝∠ACE，CD＝CE，求证：△ABD∽△CAE．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE＝∠DCO，BE＝DO，若BD＝12，OE＝5，求AC的长．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BC中点，F为DC上一点，连结OE、AF，∠AEO＝∠CAF，若，AC＝6，求菱形ABCD的边长．
5．如图1，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD交BA的延长线于点D，连结AC，BC．
（1）求证：∠DCA＝∠ABC．
（2）求证：AC DC＝CB DA．
（3）如图2，弦CE平分∠ACB交AB于点F．
①若点F为DB的中点，AB＝15，求CE的长．
②设tan∠DCA＝x，，求y关于x的函数表达式．
浙江省中考数学考前冲刺每日一练38（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（　　）
A．只需知道图1中大长方形的周长即可
B．只需知道图2中大长方形的周长即可
C．只需知道③号正方形的周长即可
D．只需知道⑤号长方形的周长即可
【分析】设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，则③号正方形的边长为x+y，④号正方形的边长为2x+y，⑤号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，根据图2得没有覆盖的阴影部分的周长＝2（AB+BD），计算即可得到答案．
【解答】解：设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，
则③号正方形的边长为x+y，④号正方形的边长为2x+y，
⑤号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，
∴AB＝2x+y+x+y﹣y＝3x+y，
BD＝y﹣x+y+2x+y﹣x﹣y＝2y，
根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长＝2 （AB+BD）
＝2（3x+y+2y）
＝6（x+y）．
∵图1中大长方形的周长＝2（3x+y+y+x+y+y）＝8（x+y）；
图2中大长方形的周长＝2（2x+y+x+y+y﹣x+y+2x+y）＝8x+10y；
⑤号长方形的周长＝2（y﹣x+3x+y）＝4（x+y）；
∴选项A，C，D说法正确，不符合题意，
选项B说法错误，符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
二．填空题（共2小题）
2．如图，已知A为反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，B为x轴正半轴上一点，过点B作BC⊥x轴交反比例函数图象于点C，连结OA，AB，OC．当OA＝AB，△DBC的面积等于1时，k的值为 　10　．
【分析】过点A作AF⊥x轴于点F，交OC于点E，易证△FOE∽△BOC，根据相似三角形的性质可得EF：BC＝OE：OC＝OF：OB＝1：2，再根据△AOF的面积＝△OBC的面积＝，可得BC：AF＝1：2，进一步可得BC：AE＝2：3，根据△BDC的面积可得△ADE的面积，易证△BDC∽△ADE，可得△ADC的面积，再根据E是OC的中点，可得△AOE的面积，进一步可得△AOF的面积，根据反比例函数k的几何意义可得k的值．
【解答】解：过点A作AF⊥x轴于点F，交OC于点E，如图所示，
∵AO＝AB
∴OF＝FB，
∵BC⊥x轴，
∴∠OBC＝∠OFE＝90°，
∵∠FOE＝∠BOC，
∴△FOE∽△BOC，
∴EF：BC＝OE：OC＝OF：OB＝1：2，
∵△AOF的面积＝△OBC的面积＝，
∵OF：OB＝1：2，
∴AF：BC＝2：1，
∵EF：BC＝1：2，
∴BC：AE＝2：3，
∵AF∥BC，
∴∠AED＝∠BCD，∠EAD＝∠CBD，
∴△BDC∽△ADE，
∵△DBC的面积等于1，
∴△ADE的面积为，
∵DC：DE＝BC：AE＝2：3，
∴△ADC的面积＝＝，
∴△AEC的面积为＝，
∴△AOE的面积为，
∵EF：AE＝1：3，
∴△AEF的面积为＝，
∴△AOF的面积为＝5，
∴k＝2×5＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，涉及相似三角形的判定和性质，三角形的面积等，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB斜边上的中点C在y轴正半轴上，M为AC的中点．反比例函数的图象经过点A，M，延长MO交函数在第四象限的图象于点N．反比例函数的图象经过点B，连结BN．若△BMN的面积为18，则m﹣n的值为 　﹣24　．
【分析】根据三角形中线平分三角形面积，求出三角形AOC和三角形BOC的面积都是6，在证明△ACD和△BCE全等，利用反比例函数的几何意义，表示出△AOD和△BOE的面积，再利用面积差求出m﹣n即可．
【解答】解：作BE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，
∵M，N关于O对称，则MO＝NO，
∵△BMN的面积为18，
∴S△BMO＝9，
∵点M为AC的中点，
∴MC＝AC＝BC，
∴S△BOM＝3S△COM，
∴S△MOC＝3，
∴S△AOC＝S△BOC＝6，
∵C是AB的中点，
∴AC＝BC，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∠BCE＝∠ACG，
∴△ACD≌△BCE（AAS），
∴S△ACD＝S△BCE，
即S△AOC﹣S△AOD＝S△BOE﹣S△BOC，
∵S△AOD＝，S△BOE＝，
∴，
∴m﹣n＝﹣24，
故答案为：﹣24．
【点评】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形中线平分面积的应用、三角形的全等的应用是解题关键．
三．解答题（共2小题）
4．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，E为AD上一点，连结CE，若∠BAD＝∠ACE，CD＝CE，求证：△ABD∽△CAE．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE＝∠DCO，BE＝DO，若BD＝12，OE＝5，求AC的长．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BC中点，F为DC上一点，连结OE、AF，∠AEO＝∠CAF，若，AC＝6，求菱形ABCD的边长．
【分析】（1）可证得∠CDE＝∠CED，从而∠ADB＝∠CEA，进一步得出结论；
（2）可证得∠BEO＝∠BOE，从而得出∠BEC＝∠COD，进而得出△BEC∽△COD，从而，设OC＝x，则CE＝OC﹣OE＝x﹣5，从而得出，从而求得x的值，进一步得出结果；
（3）延长AG，BC，交于点G，可得出△CGF∽△DAF，从而，进而表示出CG，可证得△AOE∽△GCA，从而，进而求得t的值，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴180°﹣∠CDE＝180°﹣∠CED，
∴∠ADB＝∠CEA，
∵∠BAD＝∠ACE，
∴△ABD∽△CAE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴BE＝DO＝BO＝6．
∴∠BEO＝∠BOE，
∴180°﹣∠BEO＝180°﹣∠BOE，
∴∠BEC＝∠COD．
∵∠CBE＝∠DCO，
∴△BEC∽△COD，
∴，
设OC＝x，则CE＝OC﹣OE＝x﹣5，
∴，
∴x1＝9，x2＝﹣4（舍去），
∴OC＝9，
∴AC＝2OC＝18；
（3）解：如图，
延长AG，BC，交于点G．
∵，
∴设DF＝5t，FC＝3t，则CD＝8t，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝8t，AD∥BC，，AC⊥BD，
∴△CGF∽△DAF，
∴，
即，
∴．
在Rt△BOC中，
∵E为BC的中点，
∴OE＝CE＝BC＝4t．
∴∠COE＝∠ACE，
∴∠AOE＝∠ACG，
∵∠AEO＝∠CAF，
∴△AOE∽△GCA，
∴，
即，
∴t1＝，t2＝﹣（舍去），
∴，
即菱形ABCD的边长为．
【点评】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
5．如图1，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD交BA的延长线于点D，连结AC，BC．
（1）求证：∠DCA＝∠ABC．
（2）求证：AC DC＝CB DA．
（3）如图2，弦CE平分∠ACB交AB于点F．
①若点F为DB的中点，AB＝15，求CE的长．
②设tan∠DCA＝x，，求y关于x的函数表达式．
【分析】（1）根据切线的性质及圆周角定理推出∠DCA＝∠BCO，根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠BCO，等量代换即可得解；
（2）根据相似三角形的判定与性质求解即可；
（3）①连结OE，BE，根据角平分线定义及圆周角定理推出，结合（2），根据相似三角形的性质推出DF＝DC＝10，AF＝5，根据勾股定理推出AB＝15，，，根据圆周角定理推出△OBE是等腰直角三角形，则，根据题意推出△ACF∽△ECB，根据相似三角形的性质即可得解；
②由（1）得，设CB＝t，则AC＝xt，根据勾股定理推出，根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】（1）证明：连结OC．
∵DC是⊙O的切线，
∴∠DCO＝90°，
即∠DCA+∠ACO＝∠DCO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠BCO+∠ACO＝∠ACB＝90°，
∴∠DCA＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠BCO，
∴∠DCA＝∠ABC；
（2）证明：由（1）得∠DCA＝∠ABC，
∵∠D＝∠D，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴AC DC＝CB DA．
（3）解：①连结OE，BE．
∵弦CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴，
∵∠DCA＝∠ABC，
∴∠DCA+∠ACF＝∠FCB+∠ABC，
即∠DCF＝∠DFC，
∴DC＝DF，
∵点F为DB的中点，
∴，
由（2）得△ACD∽△CBD，
∴＝＝，
即，
∴，
∴，
∴DF＝DC＝10，
∴AF＝5，
∵，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
∵AB＝15，
∴，，
∵∠ECB＝45°，
∴∠EOB＝2∠ECB＝90°，
∵OE＝OB＝，
∴△OEB是等腰直角三角形，
∴，
∵∠ACF＝∠ECB，∠CAF＝∠CEB，
∴△ACF∽△ECB，
∴，
∴CE＝＝；
②∵∠ACB＝90°，∠ABC＝∠DCA，
∴，
设CB＝t，则AC＝xt，
∴AB2＝AC2+CB2＝（xt）2+t2＝（x2+1）t2，
∴，
∵∠BEF＝∠CEB，∠EBF＝∠ACF＝∠BCE，
∴△EBF∽△ECB，
∴，
∴EB2＝EC EF，
∵△ACF∽△ECB，
∴，
∴AC CB＝EC CF，
∴，
∴，
∴y＝．
【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识并作出合理的辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)