浙江省中考数学考前冲刺每日一练2（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）

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浙江省中考数学考前冲刺每日一练2（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）
1．已知平面内有⊙O与直线AB，⊙O的半径为3cm，点O到直线AB的距离为3cm，则直线AB与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断
2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（1，2）．下列结论中一定正确的有（　　）
①abc＜0；②b＞1；③；④a＜﹣1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知m+n＝1，m﹣n＝3，则m2+n2＝　 　．
4．如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝的图象经过A、B两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大？若存在，请求出△PAB面积的最大值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F＝，CD＝24，求⊙O的半径；
（3）请问的值为定值吗？若是，请写出计算过程，若不是，请说明理由．
浙江省中考数学考前冲刺每日一练2（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．已知平面内有⊙O与直线AB，⊙O的半径为3cm，点O到直线AB的距离为3cm，则直线AB与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断
【分析】根据点O到直线AB的距离与圆的半径大小作比较即可．
【解答】解：∵点O到直线AB的距离为3cm，且⊙O的半径为3cm，
∴3cm＝3cm，即直线AB与⊙O的位置关系是相切，
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（1，2）．下列结论中一定正确的有（　　）
①abc＜0；②b＞1；③；④a＜﹣1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用抛物线的开口方向、对称轴，1＜c＜2可以判断①；利用a﹣b+c＜0，a+b+c＝2，得到﹣2b＜﹣2，即b＞1可以判断②；利用4a+2b+c＜0，1＜c＜2，可以判断③；利用﹣＜1，得到b＜﹣2a，根据b＞1，可以判断④．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，对称轴在y轴的右侧，交y轴的正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①的结论正确；
由图象可知：当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（1，2），
∴a+b+c＝2，
∴﹣2b＜﹣2，即b＞1，
∴②的结论正确；
由图象可知：当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
∵1＜c＜2，
∴4a+2b+1＜0，
∴2a+b，
∴③的结论正确；
由图象可知：﹣＜1，
∵a＜0，
∴b＜﹣2a，
∵b＞1，
∴﹣2a＞1，
∴，
∴④的结论不正确，
综上，正确的结论有：①②③，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，利用数形结合法解答是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
3．已知m+n＝1，m﹣n＝3，则m2+n2＝　5　．
【分析】先根据4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2进一步求出2mn的值，再根据m2+n2＝（m+n）2﹣2mn求解即可．
【解答】解：∵m+n＝1，m﹣n＝3，
∴4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2
＝1﹣9
＝﹣8，
∴2mn＝﹣4，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn
＝1+4
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
4．如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝的图象经过A、B两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大？若存在，请求出△PAB面积的最大值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用一次函数解析式确定点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）过P点作PC∥y轴交直线AB于C点，如图，设P（x，﹣x2﹣+），则C（x，x+），则PC＝﹣x2﹣x，再根据三角形面积公式得到S△APB＝×3×（﹣x2﹣x），然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）当y＝0时，x+＝0，解得x＝﹣3，∴A（﹣3，0），
当x＝0时，y＝x+＝，
∴B（0，），
把A（﹣3，0），B（0，）代入得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣+；
（2）存在．
过P点作PC∥y轴交直线AB于C点，如图，
设P（x，﹣x2﹣+），则C（x，x+），
∴PC＝﹣x2﹣+﹣（x+）＝﹣x2﹣x，
∴S△APB＝×PC×OA＝×3×（﹣x2﹣x）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＝﹣时，S△PAB有最大值，最大值为．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
5．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F＝，CD＝24，求⊙O的半径；
（3）请问的值为定值吗？若是，请写出计算过程，若不是，请说明理由．
【分析】（1）由OA＝OB，得出∠OAB＝∠OBA，由OA⊥CD，得出∠OAB+∠AGC＝90°，推出∠FBG+∠OBA＝90°，即∠OBF＝90°，即可得出结论；
（2）由平行线得出∠ACF＝∠F，求出CE＝CD＝12，得出tan∠ACF＝＝，求出AE＝9，连接OC，设圆的半径为r，则OE＝r﹣9，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）连接BD，证明△BDG∽△FBG，得出对应边成比例，得出GB2＝DG GF，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC＝90°，
又∵∠FGB＝∠FBG，∠FGB＝∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA＝90°，即∠OBF＝90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴点B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF＝∠F
∵CD＝24，OA⊥CD，
∴CE＝CD＝12，
∵tan∠F＝，
∴tan∠ACF＝＝，
即，
解得AE＝9，
连接OC，如图1所示：
设圆的半径为r，则OE＝r﹣9，
在Rt△OCE中，CE2+OE2＝OC2，
即122+（r﹣9）2＝r2，
解得：r＝12.5；
（3）解：是定值；理由如下：
连接BD，如图2所示：
∵∠DBG＝∠ACF，∠ACF＝∠F，
∴∠DBG＝∠F，
∵∠DGB＝∠FGB，
∴△BDG∽△FBG，
∴，
即GB2＝DG GF，
∴＝＝＝＝＝．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题（3）的关键．
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