浙江省中考数学考前冲刺每日一练5（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）

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浙江省中考数学考前冲刺每日一练5（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）
1．如图，AB∥CD，∠A＝60°，则∠1的度数是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．130°
2．如图，在△ABC中，AB+AC＝BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（　　）
A．6或2 B．3或 C．2或3 D．6或
4．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　 　．
5．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．
（1）求∠FDP的度数；
（2）连接BP，求证：；
（3）连接AC，若正方形的边长为10，求△ACC′的面积最大值．
浙江省中考数学考前冲刺每日一练5（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．如图，AB∥CD，∠A＝60°，则∠1的度数是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．130°
【分析】由平行线的性质得到∠A+∠2＝180°，求出∠2＝120°，由对顶角的性质得到∠1＝∠2＝120°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠2＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠1、∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质得到∠A+∠2＝180°．
2．如图，在△ABC中，AB+AC＝BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出△ABC的面积，利用面积相等即可解决问题．
【解答】解：如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相交于AB、AC、BC于点E、G、F，
S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×AB R+BC R+AC R＝R（AB+AC+BC），
∵AB+AC＝BC，
∴S△ABC＝R（BC+BC）＝R BC，
∵AD的长为h，
∴S△ABC＝BC h，
∴R BC＝BC h，
∴h＝R，
∴＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形ABC面积相等推出关系式是解题关键．
3．如图，在矩形ABCD中，，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（　　）
A．6或2 B．3或 C．2或3 D．6或
【分析】分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM＝∠PFN＝90°，由矩形的性质得出AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，得出AB＝CD＝，BD＝10，证明△PDF∽△BDA，得出利用相似三角形的性质求出PF＝，证出CE＝2CD，由等腰三角形的性质得出MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，证出△PNF∽△DEC，利用相似三角形的性质求出NF＝2PF＝3，即可得出答案；②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，由①得：PF＝，MF＝3，设MN＝PN＝x，则FN＝3﹣x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：分两种情况：
①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图所示：
则∠PFM＝∠PFN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，
∴AB＝CD＝，BD＝＝10，
∵点P是AD的中点，
∴PD＝AD＝，
∵∠PDF＝∠BDA，
∴△PDF∽△BDA，
∴，即，
解得：PF＝，
∵CE＝2BE，
∴BC＝AD＝3BE，
∴BE＝CD，
∴CE＝2CD，
∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，
∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，
∵∠PFN＝∠C＝90°，
∴△PNF∽△DEC，
∴，
∴MF＝NF＝2PF＝3，
∴MN＝2NF＝6；
②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图所示：
由①得：PF＝，MF＝3，
设MN＝PN＝x，则FN＝3﹣x，
在Rt△PNF中，（）2+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝，即MN＝；
综上所述，MN的长为6或．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
4．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　1　．
【分析】设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】解：设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
∴AB2＝4x2+4y2，
∴x2+y2＝1，
在Rt△CDE中，
∴EC2＝x2+y2＝1
∵EC＞0
∴EC＝1．
另解1：依据AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中点，
即可得判定△CDE∽△BDA，
且相似比为1：2，
∴＝，
即CE＝1．
另解2：取AB中点F，连接DF、FE，
∴DF＝AB＝1，
∵E是AD中点，
∴FE＝BD，FE∥BD，
∵BD＝2DC，
∴FE∥DC，FE＝DC，
∴四边形FECD是平行四边形，
∴EC＝FD＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查勾股定理、中位线、相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，本题属于基础题型．
三．解答题（共1小题）
5．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．
（1）求∠FDP的度数；
（2）连接BP，求证：；
（3）连接AC，若正方形的边长为10，求△ACC′的面积最大值．
【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝∠ADC＝45°；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；
（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值10，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．
【解答】（1）解：由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴AD＝C'D，
∵F是AC'的中点，
∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，
∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；
（2）证明：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，
∴∠PAP'＝90°，
在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°＝∠PAP′，
∴∠DAP'＝∠BAP，
由（1）可知：∠FDP＝45°，
∵∠DFP＝90°，
∴∠APD＝45°，
∴∠P'＝45°，
∴AP＝AP'，
在△BAP和△DAP'中，
，
∴△BAP≌△DAP'（SAS），
∴BP＝DP'，
∴DP+BP＝DP+DP′＝PP'，
在Rt△APP′中，AP＝AP'，
∴PP′＝AP，
∴BP+DP＝AP；
（3）解：如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝AC C'G，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝10，
∴AC＝＝10，即AC为定值，
当C'G最大时，△AC'C的面积最大，
连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，
∵CD＝C'D＝10，OD＝AC＝5，
∴C'G＝10﹣5，
∴S△AC'C＝AC C'G＝×10×（10﹣5）＝50﹣50，
即△ACC′的面积最大值为50﹣50．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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