浙江省中考数学考前冲刺每日一练9（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）

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浙江省中考数学考前冲刺每日一练9（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）1．下列收集数据的方式合理的是（　　）
A．为了解残疾人生活、就业等情况，在某网站设置调查问卷
B．为了解一个省的空气质量，调查了该省省会城市的空气质量
C．为了解某校学生视力情况，抽取该校各班学号为5的整数倍的同学进行调查
D．为了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查
2．如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，先以点A为圆心，AB长为半径画弧交边AD于点E；再以点D为圆心，DE长为半径画弧交边DC于点F；最后以点C为圆心，CF长为半径画弧交边BC于点G．求BG的长，只需要知道（　　）
A．线段AB的长 B．线段AD的长
C．线段DE的长 D．线段CF的长
3．如图，在正方形ABCD中，以BC为边在正方形内部作等边△BCE，CE与正方形的对角线BD交于点F，连接DE．
（1）求∠DEC的度数．
（2）求证：DE2＝EF EC．
4．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a≠0）．
（1）若a＜0，当﹣4≤x≤2时，y的最小值为﹣21，y的最大值为4，求a+b的值；
（2）若该二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，3），当m﹣2≤x≤m时，y的最大值与最小值的差8，求m的值．
5．【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角．
【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数．
【性质探究】（2）如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，求证：
【拓展应用】（3）如图2，AB是⊙O的直径，且AB＝13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形．
①当BC＝5时，求AD的长．
②当△BCD是和美三角形时，直接写出的值．
浙江省中考数学考前冲刺每日一练9（精选全省各市历年经典真题，包含常考题型、易错题型、 小压轴、大压轴）参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．下列收集数据的方式合理的是（　　）
A．为了解残疾人生活、就业等情况，在某网站设置调查问卷
B．为了解一个省的空气质量，调查了该省省会城市的空气质量
C．为了解某校学生视力情况，抽取该校各班学号为5的整数倍的同学进行调查
D．为了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查
【分析】抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查，通过调查样本来收集数据，工作量较小，便于进行，调查结果不如普查得到结果精准．
【解答】解：A、为了解残疾人生活、就业等情况，在某网站设置调查问卷，调查范围较小，不具有代表性，选项不符合题意；
B、为了解一个省的空气质量，调查了该省省会城市的空气质量，调查范围较小，不具有代表性，选项不符合题意；
C、为了解某校学生视力情况，抽取该校各班学号为5的整数倍的同学进行调查，调查具有广泛性、代表性，选项符合题意；
D、为了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查，调查范围较小，不具有代表性，选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查抽样调查的定义，根据普查和抽样的定义优缺点解题是关键．
2．如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，先以点A为圆心，AB长为半径画弧交边AD于点E；再以点D为圆心，DE长为半径画弧交边DC于点F；最后以点C为圆心，CF长为半径画弧交边BC于点G．求BG的长，只需要知道（　　）
A．线段AB的长 B．线段AD的长
C．线段DE的长 D．线段CF的长
【分析】根据矩形的性质和同圆的半径相等即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝AE，DE＝DF，CF＝CG，
∴设AB＝AE＝CD＝x，CF＝CG＝y，
∴DE＝DF＝x﹣y，
∴AD＝BC＝x+x﹣y，
∴BG＝BC﹣CG＝2x﹣y﹣y＝2（x﹣y）＝2DE，
∴求BG的长，只需要知道线段DE的长，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
二．解答题（共3小题）
3．如图，在正方形ABCD中，以BC为边在正方形内部作等边△BCE，CE与正方形的对角线BD交于点F，连接DE．
（1）求∠DEC的度数．
（2）求证：DE2＝EF EC．
【分析】（1）根据△BCE是等边三角形得到∠BCE＝60°，EC＝BC，根据正方形性质得到∠BCD＝90°，BC＝CD，即可求出∠DCE，结合等腰三角形性质及内角和定理；
（2）根据正方形的性质及三角形的性质得到∠DFE＝∠CDE，结合∠DEF＝∠CED得到△EDF∽△ECD即可得到答案．
【解答】（1）解：∵△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，EC＝BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝30°，
又∵EC＝BC＝CD，
∴∠DEC＝（180°﹣∠DCE）÷2＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
（2）证明：∵CE＝CD，
∴∠DEC＝∠CDE＝75°，
∴BD是正方形的对角线，
∴∠CDF＝45°，
∴∠DFE＝∠DCE+∠CDF＝30°+45°＝75°，
∴∠DFE＝∠CDE，
又∵∠DEF＝∠CED，
∴△EDF∽△ECD，
∴＝，
即：DE2＝EF EC．
【点评】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，三角形相似的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
4．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a≠0）．
（1）若a＜0，当﹣4≤x≤2时，y的最小值为﹣21，y的最大值为4，求a+b的值；
（2）若该二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，3），当m﹣2≤x≤m时，y的最大值与最小值的差8，求m的值．
【分析】（1）先求出对称轴，再根据图像的性质即可列出方程式；
（2）用待定系数法求出二次函数的表达式，根据m﹣2≤x≤m在对称轴的同侧和异侧进行分类讨论．
【解答】解：（1）∵a＜0，对称轴x＝﹣＝1，﹣4≤x≤2，
∴当x＝﹣4时，y有最小值，
当x＝1时，y有最大值，
即，
解得：，
∴a+b＝﹣1+3＝2；
（2）由题意可知，
，
解得：，
则二次函数的表达式为y＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2，
则对称轴x＝1，顶点坐标为（1，0），
∵m﹣2≤x≤m，
∴①当m﹣2≤x≤m在对称轴的左侧时，即m＜1时，
∵y的最大值与最小值的差8，
∴3（m﹣2﹣1）2﹣3（m﹣1）2＝8，
解得：m＝（舍去），
②当m﹣2≤x≤m在对称轴的右侧时，即m＞3时，
∵y的最大值与最小值的差8，
∴3（m﹣1）2﹣3（m﹣2﹣1）2＝8，
解得：m＝（舍去），
③当m﹣2≤x≤m在对称轴的两侧时，即1＜m＜3时，
∵y的最大值与最小值的差8，
∴3（m﹣2﹣1）2﹣0＝8，或3（m﹣1）2﹣0＝8，
解得：m1＝3﹣，m2＝3+，（舍去），或m3＝1+，m4＝1﹣（舍去），
综上所述，m的值为3﹣或1+．
【点评】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象的点的坐标特征及二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角．
【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数．
【性质探究】（2）如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，求证：
【拓展应用】（3）如图2，AB是⊙O的直径，且AB＝13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形．
①当BC＝5时，求AD的长．
②当△BCD是和美三角形时，直接写出的值．
【分析】（1）设和美角的度数为x，利用和美三角形的定义和三角形的内角和定理列出方程解答即可；
（2）过点B作BD⊥AB，交AC于点D，利用和美三角形的定义得到∠DBC＝∠A，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用直角三角形的边角关系定理得到tanA＝，则结论可得；
（3）利用圆周角定理和勾股定理得到AC的长度，利用分类讨论的数学方法分两种情况讨论解答：Ⅰ．当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，利用（2）的结论和相似三角形的判定与性质得到EC＝BC，再利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；Ⅱ．当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，利用（2）的结论和相似三角形的判定与性质得到DE＝AD，利用圆周角定理和等腰三角形的判定定理解答即可；
（4）利用分类讨论的数学方法，依据和美三角形的定义和相似三角形的判定与性质，类比（3）的方法解答即可．
【解答】（1）解：设和美角的度数为x，则钝角的度数为90°+x，
∴x+x+90°+x＝180°，
∴x＝30°．
∴当和美三角形是等腰三角形时，和美角的度数为30°．
（2）证明：过点B作BD⊥AB，交AC于点D，如图，
则∠ABD＝90°，
∵△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，
∴∠ABC＝90°+∠A，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝90°+∠DBC，
∴∠DBC＝∠A．
∵∠C＝∠C，
∴△CDB∽△CBA，
∴．
在Rt△ABD中，
tanA＝，
∴；
（3）解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝13，BC＝5，
∴AC＝＝12．
Ⅰ．当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，如图，
由（2）知：tan∠EAC＝，
在Rt△ABC中，tan∠EAC＝，
∴，
∴EC＝5．
∴EC＝BC．
∴∠CEB＝∠CBA．
∵∠CBA＝∠CDA，∠AED＝∠CEB，
∴∠CDA＝∠AED，
∴AD＝AE．
∵CE＝CB，CF⊥AB，
∴BF＝EF＝BE．
∵∠ACB＝90°，CF⊥AB，
∴△BCF∽△BAC，
∴，
∴，
∴BF＝，
∴BE＝2BF＝，
∴AD＝AE＝AB﹣BE＝；
Ⅱ．当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，如图，
由（2）知：tan∠ACE＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACE＝∠ABD，
∴tan∠ACE＝tan∠ABD＝．
∵∠CAB＝∠CDB，∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB，
∴，
∴，
∴DE＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA．
∵∠AED＝∠CEB，∠DAE＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠CEB，
∴BE＝BC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝13﹣5＝8．
∵DE＝AD，CH⊥AB，
∴AH＝AE＝4．
∵∠ADB＝90°，CH⊥AB，
∴△ADH∽△ABD，
∴，
∴，
∴AD＝＝2．
综上，AD的长2或；
②当△BCD是和美三角形时，的值为或．理由：
设∠CAB＝α，
Ⅰ．当∠CAB与∠CDB为和美角时，如图，
则∠ACD＝∠BCD＝45°，CE＝CB，α＝22.5°，
∴；
Ⅱ．当∠CAB与∠DCB为和美角时，如图，
则∠CEA＝90°+α，∠ACE＝90°﹣2α，∠DCB＝2α，∠CBD＝90°+2α，
∵△BDC的内角和为180°，
∴α＝18°．
∴；
Ⅲ．当∠ACD与∠CDB为和美角时，如图，
则∠CEA＝135°﹣0.5α，∠ACE＝45°﹣0.5α，∠DCB＝45°+0.5α，∠CBD＝90°+α，
∵△BDC的内角和为180°，
∴α＝18°．
∴；
Ⅳ．当∠ACE与∠DCB为和美角时，如图，
则∠CEA＝135°﹣0.5α，∠ACE＝45°﹣0.5α，∠DCB＝45°+0.5α，
∵∠ACB＝90°，
∴α＝0°，这种情况不存在．
综上，的值为或．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
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