北师大版八年级数学下册第四章 因式分解练习 含解析

北师大版八年级数学下册第四章因式分解练习
一、选择题
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各式中，不能分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
3．多项式的公因式是（　　）．
A． B． C． D．
4．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
5．把因式分解的结果应为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知、、是三角形的三条边，那么代数式的值（　　）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定
7．数学课上，4个小朋友在黑板上各完成了一道因式分解，请选出答案正确的同学（　　）
董天宇：秘锦航：
夏渤骅：武帅：
A．董天宇 B．秘锦航 C．夏渤骅 D．武帅
8．已知，，则的值为（　　）
A．14 B．48 C．64 D．36
9．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
10．若n为大于3的整数，则n3-3n2+2n（　　）
A．能被3整除不一定能被6整除 B．能被6整除不一定能被12整除
C．能被12整除不一定能被24整除 D．以上说法都不对
二、填空题
11．因式分解：
=　 　．
12．多项式中各项的公因式是　 　.
13．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　．
14．若多项式可分解为，则的值为　 　
15．数348﹣1能被30以内的两位数（偶数）整除，这个数是　 　．
16．若一个四位数的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数称为“和差数”，令的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，且，则 　 　；当，均为整数时，的最大值为　 　．
三、解答题
17．因式分解：
（1）9－
（2）＋2ab＋－4
18．已知△的三边长，，满足，试判断△的形状，并说明理由．
19．已知a、b、c是的三边，且满足，试判断的形状．阅读下面解题过程：
解：由得：
①
②
即③
∴为④
（1）试问：以上解题过程是否正确：　 　
（2）若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）　 　
（3）本题的结论应为　 　．
20．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：
①用配方法分解因式：．
解：原式：
②，利用配方法求M的最小值．
解：
∴当时，M有最小值4．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解；
（2）若，求M的最小值．
21．设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．
22．数学课后，小玲和同桌小娟各自拿出自己的漂亮的正方形手帕，她们俩各有一条方格手帕和一条绣花手帕，如图，小玲说：“我的方格手帕的边长比你的方格手帕的边长大0.6 ．”小娟说：“我的绣花手帕的边长比你的绣花手帕的边长大0.6 ．”设小玲的两块手帕的面积和为 ，小娟的两块手帕的面积和为 ，请同学们运用因式分解的方法算一算 与 的差．
23．利用完全平方公式进行因式分解，是我们常用的一种公式法我们有些时候也会应用完全平方公式进行二次根式的因式分解．
例如：；仿照例子完成下面的问题参考例题要把结果进行化简．
（1）若，求的值；
（2）如图，中，，，点为上的点，满足，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、该等式是整式的乘法，不是因式分解，故本项不合题意；
B、该等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意；
C、该等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意；
D、该等式符合因式分解的定义，故本项符合题意．
故答案为：D.
【分析】将多项式写成几个整式积的形式就是因式分解。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、-a2+b2，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、x2+y2，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
C、49-z2=72-z2，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
D、16-25m2=42-（5m）2，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】此题四个选项中的多项式都是二项式，二项式分解因式常用的方法是平方差公式法，根据平方差公式的结构特点，两个平方项的符号必须要相反，据此一一判断得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴公因式为：，
故答案为：C.
【分析】利用公因式的定义求解即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、两个平方项且符号相反，则可以用平方差公式分解因式，不符合题意；
B、两个平方项且符号相反，则可以用平方差公式分解因式，不符合题意；
C、两个平方项，但符号相同，则不可以用平方差公式分解因式，符合题意；
D、两个平方项且符号相反，则可以用平方差公式分解因式，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式的结构特点：两个平方项且符号相反，据此逐项分析即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】
多项式的两项中含有公因式b(x-3)，提取公因式即可。注意符号的变化。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：三角形三边关系得到：a+c-b＞0，a-b-c＜0，
∴（a-b）2-c2=（a-b+c）（a-b-c）＜0.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系，可得a+c-b＞0，a-b-c＜0，再用平方差公式将待求式子分解因式，进而根据实数的乘法法则即可判断得出答案.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A：董天宇的结果是整式的乘法运算，故A选项错误；
B：秘锦航的结果不是几个整式的积的形式，故B选项错误；
C：夏渤骅的结果是几个整式的积的形式，故C选项正确；
D：武帅的结果不是几个整式的积的形式，故D选项错误。
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可得出答案。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵xy=8，x+y=6，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=8×6=48.
故答案为：B.
【分析】对待求式因式分解可得xy(x+y)，然后将已知条件代入进行计算.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0，
∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0，
∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6．
当x2﹣x=﹣2时，
x2﹣x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x=6时，
x2﹣x+1=7
故答案为：B．
【分析】将看作整体利用式子相乘法进行因式分解，从而可求得的值，即可求得所给代数式的值.
10．【答案】B
【解析】【分析】先提取公因式n，再根据十字相乘法因式分解即可判断。
【解答】n3-3n2+2n
=n(n2-3n+2)
=n(n-1)(n-2)
∵n为大于3的整数，
∴n(n-1)(n-2)能被6整除。
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握使用十字相乘法因式分解时，常数项所分的两个因数的和恰等于一次项系数。
11．【答案】
【解析】【解答】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．故答案为：a（a﹣3）．
【分析】根据提取公因式法进行因式分解即可。
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，
∴该多形式各项的公因式为3ab.
故答案为：3ab.
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式.
13．【答案】
【解析】【解答】解：左边四个图形的面积为x2+2x+4x+8=x2+6x+8，右边长方形的长为x+4，宽为x+2，面积为(x+2)(x+3)。
∴x2+6x+8=(x+2)(x+4)
故答案为：x2+6x+8=(x+2)(x+4)
【分析】根据左边四个图形的面积之和等于右边长方形的面积即可求解。
14．【答案】8
【解析】【解答】
∴a=2+b， 6=2b
∴b=3，a=5
∴a+b=8
【分析】
计算两式的乘积，根据对应项相等，列方程求出a，b，再计算a+b .
15．【答案】28或26
【解析】【解答】解：348﹣1=（324+1）（324﹣1）
=（324+1）（312+1）（312﹣1）
=（324+1）（312+1）（36+1）（36﹣1）
=（324+1）（312+1）（36+1）（33+1）（33﹣1）
=（324+1）（312+1）（36+1）×28×26，
则这个数是28或26，
故答案为：28或26
【分析】原式利用平方差公式分解，计算即可得到结果．
16．【答案】；6318
【解析】【解答】解：∵记，且，
∴，
∴；
∵四位数称为“和差数”，
∴，
∴，
∴，
∵，均为整数，
∴d≥c，为整数，
设（N为整数），
∴d=Nc，
∴，
∴N=8或2，
当N=8时，
①当c=1时，d=8，∴M=6318；
②当c=2时，d=16，不合题意；
当N=2时，
①当c=1时，d=2，，不合题意；
②当c=2时，d=4，M=1224；
③当c=3时，d=6，M=2736；
④当c=4时，d=8，M=4848；
⑤当c=5时，d=18，不合题意；
综上所述：的最大值为6318；
故答案为：，6318
【分析】运用“和差数”的定义即可得到的值，进而根据“和差数”的定义运用因式分解结合题意设（N为整数），进而即可得到N=8或2，再分类讨论即可求解。
17．【答案】（1）9（m+n）－(m－n) ===4（2m+n）(m+2n)
(2) a＋2ab＋b－4=（a+b）2-22=(a+b+2) (a+b－2)
【解析】【分析】因式分解-运用公式法．
18．【答案】解：，
，
∵，
∴，，
∴为等腰三角形．
【解析】【分析】对已知等式变形可得(a-b)(a-b-c)=0，由三角形的三边关系可得a-b-c<0，则a=b，据此可得三角形的形状.
19．【答案】（1）不正确
（2）③
（3）直角三角形或等腰三角形
【解析】【解答】解：（1）∵a4-b4=a2c2-b2c2，
∴（a2+b2）（a2-b2）=c2（a2-b2），
当a2-b2≠0时，c2=a2+b2，
当a2-b2=0时，无法得到c2=a2+b2，
故上题的解题过程错误；
故答案为：不正确；
（2）根据解题过程发现错误在第③步，
故答案为：③；
（3）∵a4-b4=a2c2-b2c2，
∴（a2+b2）（a2-b2）=c2（a2-b2），
当a2-b2≠0时，c2=a2+b2，∴此时三角形是直角三角形；
当a2-b2=0时，a=b，△ABC是等腰三角形，
综上△ABC是直角三角形或等腰三角形.
故答案为：直角三角形或等腰三角形.
【分析】（1）根据等式的性质可判断得出答案；
（2）题目中②到③没有考虑到a2-b2=0的情况，从而可判断得出答案；
（3）当a2-b2≠0时，根据等式的性质可得c2=a2+b2，进而根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；当a2-b2=0时，a=b，△ABC是等腰三角形.
20．【答案】（1）解：
．
（2）解：
，
∴当时，M有最小值
【解析】【分析】（1）通过完全平方公式将式子进行配方，再按照平方差公式进行因式分解；
（2）利用配方法将式子进行因式分解，根据一个数的非负性即可判断出最小值.
21．【答案】解：设x=0，
则x3＜x2+x+2．①
设x=10，则有x3=1000，x2+x+2=112，
所以x3＞x2+x+2．②
设x=100，则有x3＞x2+x+2．
观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．
那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．
为此，设x3=x2+x+2，则
x3-x2-x-2=0，
（x3-x2-2x）+（x-2）=0，
（x-2）（x2+x+1）=0．
因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样
（1）当x=2时，x3=x2+x+2；
（2）当0＜x＜2时，因为
x﹣2＜0，x2+x+1＞0，
所以（x﹣2）（x2+x+1）＜0，
即x3﹣（x2+x+2）＜0，
所以，x3＜x2+x+2．
（3）当x＞2时，因为
x-2＞0，x2+x+1＞0，
所以（x-2）（x2+x+1）＞0，
即x3-（x2+x+2）＞0，
所以x3＞x2+x+2．
综合归纳（1），（2），（3）就得到本题的解答．
【解析】【分析】分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．然后做减法，因式分解后，讨论得解．本题考查因式分解的应用，关键是找到比较大小的临界点，然后讨论求解．
22．【答案】解：
（ ）
【解析】【分析】利用正方形的面积公式求出S1与S2，再列出 ，然后将其变形，最后利用平方差公式进行计算即可.
23．【答案】（1）解：，
，
（2）解：，
，，
，
在直角中，，
，，
，
．
【解析】【分析】（1）根据题目已给的因式分解方法，对所求式子因式分解，即可求出a的值；
（2）先根据已知条件得到根据直角三角形中含30°的性质求出AB和BD的长度，然后根据线段间的数量关系求出BC的长，最后根据勾股定理即可求出AC的长.
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