华师大版八年级数学下册第十九章 矩形、菱形与正方形 练习 含解析
文档属性
| 名称 | 华师大版八年级数学下册第十九章 矩形、菱形与正方形 练习 含解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 530.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-24 11:38:26 | ||
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文档简介
华师大版八年级数学下册第十九章练习
一、选择题
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形
2．菱形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
3．关于矩形的性质、下面说法错误的是（ ）
A．矩形的四个角都是直角
B．矩形的两组对边分别相等
C．矩形的两组对边分别平行
D．矩形的对角线互相垂直平分且相等
4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．30 C． D．
5．如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在Rt中，4，点是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16，则（ ）
A． B． C．12 D．16
8．如图，在矩形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，连接 、 ， 与对角线 交于点 ，且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
9．如图，在正方形中，点，分别在，上，且保持，在上取一点，连结，使恰好平分，连结．若要求正方形的面积，则只需要知道
A． 的面积 B． 的面积
C． 的周长 D． 的周长
10．如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．菱形的周长为，它的一条对角线长，则另一条对角线的长为 ．
12．若正方形 AOBC的边OA，OB在坐标轴上，顶点 C在第一象限，且在反比例函数 的图象上，则点C的坐标是 .
13．正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是 ．
14．如图1是清代方胜纹暗花缎袄，如图2是缎袄上面方胜纹示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，、相交于点M，若，，则菱形的周长为 ．
15．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)如图③，正方形美术作品的面积为 .
16．如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”如图，已知“完美菱形”的边长为，是它的较短对角线，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
18．如图，在正方形 ABCD中，点 E 在 BC 边的延长线上，点 F 在 CD 边的延长线上，且 CE=DF，连结 AE和BF.求证：AE=BF.
19．如图，中，，垂足为D，点E、F、G分别是中点，直线交点G．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的度数．
20．如图，在□ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF，过点E作于点H，过点F作于点G．
（1）请你添加一个条件： ▲，使四边形EGFH为矩形，并给出证明．
（2）在（1）的条件下，若，，，求AG的长．
21．如图，已知在正方形中，，点为线段上一点点不与、重合，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形．
（1）求证：；
（2）连接，设，的面积为求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）当时，求的度数．
22．如图，矩形的顶点，在轴的正半轴上，点的坐标为，点在点的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点，交于点．
（1）求点的坐标及反比例函数的关系式；
（2）连接，若矩形的面积是27，求出的面积．
23．【中考预测】
（1）如图1，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在边BC，CD上，高线AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数.
（2）在图1中，若EG=4，GF=6，求正方形ABCD的边长.
（3）如图2，在Rt△ABD中，AD，M，N是边BD上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH的位置，连结NH，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④当∠DAB=90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定其是正方形，故D错误；
故答案为：D．
【分析】通过矩形、菱形、矩形及正方形的判定方法一 一判断即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、菱形是特殊的平行四边形，其对角是相等的，故此选项不符合题意；
B、菱形是特殊的平行四边形，其对边是互相平行的，故此选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，故此选项不符合题意；
D、菱形的对角线只是互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，不一定相等，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，据此逐项判断即可得解．
3．【答案】D
【解析】【解答】A、∵矩形的四个角都是直角，∴A正确，不符合题意；
B、∵矩形的两组对边分别相等，∴B正确，不符合题意；
C、∵矩形的两组对边分别平行，∴C正确，不符合题意；
D、∵矩形的对角线互相平分且相等但不垂直，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD.
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=AC=6，
故菱形的周长是4×6=24.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质和∠B的度数判断△ABC是等边三角形，从而得到AB=AC=6，于是可得周长.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE＝BE＝CE，
又∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴EF⊥OB，EG⊥OC，
∴四边形OGEF是矩形，
∵菱形ABCD的面积为S，
∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，
∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S．
故答案为：B．
【分析】连接OE，根据菱形的性质及等腰三角形的性质，即可得出EF⊥OB，EG⊥OC，推出四边形OGEF是矩形，再根据菱形的面积即可得出矩形的面积。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°
由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；∠C'=∠C=∠A
在△ABE与△C'ED中
∴△ABE≌△C'ED（AAS）
∴DE=BE
设DE=BE=x，则AE=8-x，AB=4，在直角三角形ABE中，
解得x=5
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得AB=CD，∠C=∠A=90°，利用折叠的性质得C'D=CD=AB，∠C'=∠C=∠A；再利用AAS证明△ABE≌△C'ED，利用全等三角形的对应边相等，可证得DE=BE，设DE=BE=x，可表示出AE的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形AMEF是正方形，S正方形AMEF＝16，
∴AM2＝16，
∴AM＝4，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴，
即BC＝2AM＝8，
在Rt△ABC中，AB＝4，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据正方形AMEF的面积求出AM的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC的长，在Rt△ABC中通过勾股定理求出AC的长，最后利用直角三角形的面积公式可求出△ABC的面积即可解答．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
，
∴Rt△BFO≌Rt△BFC，
∴BO=BC，
在Rt△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，
∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6.
故答案为：D.
【分析】连接BO，根据矩形的性质可得DC∥AB，∠DCB=90°，根据平行线的性质可得∠FCO=∠EAO，证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，推出∠EAO=∠EOA，则EA=EO=OF=FC=2，证明Rt△BFO≌Rt△BFC，得到BO=BC，易得△BOC是等边三角形，得到∠BCO=60°，∠BAC=30°，则∠FEB=2∠CAB=60°，进而推出△BEF是等边三角形，则EB=EF=4，然后根据AB=AE+EB进行计算.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：在CD上取一点H，使，连接EH，FH，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
则，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
即要求正方形的面积，则只需要知道的周长，
故答案为：C.
【分析】在CD上取一点H，使，先证，得出，，再证，于是得出，从而得出CD的长，即可进行判断.
10．【答案】C
【解析】【解答】连接 、 、 关于 AC 对称．
∴ ．
∴ ，当 、 、 三点共线得 最小．
∴ ，选C．
【分析】连接 、 ，由于 关于 对称，可得PB=PD，由于，可得当 、 、 三点共线得 最小，最小值等于BE的长，据此解答即可.
11．【答案】12
【解析】【解答】如图，
菱形的周长为，
菱形的边长AB=，AC⊥BD，
一条对角线长，可设BD=16cm，
OB=8cm，
AC=2OA=12cm，
故答案为：12cm.
【分析】根据菱形的性质求得边长AB=10cm，OB=8cm，利用勾股定理即可求解.
12．【答案】(1，1)
【解析】【解答】解：如图，
设点C(x，y)，
∵四边形AOBC是正方形，
∴BC=AC，∠B=∠A=90°，
∴BC=AC=x=y
∵点C在第一象限且在反比例函数 的图象上，
∴正方形AOBC的面积为1，即BC2=1，
∴BC=1，
∴点C(1，1).
故答案为：(1，1).
【分析】画出示意图，由正方形的性质得BC=AC，∠B=∠A=90°，由反比例函数图象k的几何意义可得正方形AOBC的面积为1，进而根据正方形的面积计算方法可求出BC的长，从而即可得出点C的坐标.
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°
延长AD交EF于M，连接AC，CF
则AM=BC+CE=4，FM=EF-AB=2，∠AMF=90°
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形
∵H为AF的中点
故答案为：
【分析】延长AD交EF于M，连接AC，CF，根据正方形性质及勾股定理即可求出答案.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，且，，
∴，
在中，，
∴菱形的周长，
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质得到，再利用勾股定理求得，最后根据菱形的周长，从而求解.
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠B=∠C=45°，
∵四边形CDHG是矩形，且CD= ，
∴HG=CD= ，∠BGH=90°，
∴∠B=∠BHG=45°，
∴GB=GH=，
∴CG=DH=BC-BG=cm，
∵四边形CDHG是矩形，
∴DH∥BC，
∴∠B=∠DHN=45°，
∵四边形DENM是矩形，且DE=，
∴MN=ED= ，∠NMH=90°，
∴∠MNH=∠MHN=45°，
∴MN=MH=，
∴DM=EN=DN-MH=cm；
同理FQ=PE=，
∵AF=AC-CD-DE-EF=，
∴这样的长方形纸条只能裁出三条，
这三条的总长度为：CG+DM+EN=cm，
∴美术作品的边长为：cm，
∴这个美术作品的面积为：cm2.
故答案为：.
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，由矩形的性质得HG=CD= ，∠BGH=90°，从而可推出△BHG是等腰直角三角形，得GB=GH=，CG=DH=BC-BG=cm，同理可求出DM、PE得长，可得到裁剪出的矩形纸条的总长度，进而结合图③找出美术作品的边长，最后根据正方形面积计算方法计算可得答案.
16．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可得：“完美菱形”的边长为，则故均为等边三角形，则又，，故在中
,则（SAS），则∵
∴则且故为等边三角形，设则的面积为则当时，x有最小值：故S的最小值为：当BM与AB重合时有最大值4，则S的最大值为则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】本题主要考查菱形等边三角形的性质、三角形全等的证明与性质.根据题意可得：“完美菱形”的边长为，则故均为等边三角形，则然后根据已知条件结合等量代换可得：从而得到，进一步可证明为等边三角形，设则的面积为然后分当时，x有最小值和当BM与AB重合时有最大值进行求解即可.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF．
【解析】【分析】利用“ASA”证明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性质可得AE=AF。
18．【答案】证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=BC=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
∵ CE=DF，
∴ BC+CE=CD+DF，即BE=CF，
∴ △ABE≌△BCF（SAS），
∴ AE=BF.
【解析】【分析】根据正方形的性质得AB=BC=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，推出BE=CF，依据SAS判定△ABE≌△BCF，根据全等三角形的对应边相等即可求得.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E、G分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：添加的条件：（答案不唯一）．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴．
∵，∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴，∴．
∵，，∴，
∴四边形EGFH为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
（2）解：设．∵，∴，
∴在Rt△AGF中，，∴．
∵，∴．
∵，∴，解得，∴AG的长为1．
【解析】【分析】（1）添加的条件：（答案不唯一），根据平行四边形的判定与性质证明四边形AECF是平行四边形，进而根据平行线的性质得到，再结合题意运用矩形的判定即可求解；
（2）设，先根据锐角三角函数的定义得到．进而即可得到，再结合题意即可求解。
21．【答案】（1）证明：如图，作，．
，，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
的面积
（3）解：如图，当点在线段上时，
四边形是正方形，
，
，，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
，，
，
综上，的度数为或．
【解析】【分析】本题主要考查正方形的基本性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定及性质.
（1）作，，结合题意可证得四边形是矩形，然后运用矩形和正方形的性质可得到≌，进而得到答案；
（2）根据矩形和正方形的性质运用等量代换的方法可证得：≌，得到，进而表示出的面积y的表达式;
（3）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行求解即可.
22．【答案】（1）解：∵，四边形是矩形，
∴可设D坐标为，
把代入直线得：，
∴点D的坐标为，
∵经过点，
∴，解得：，
∴反比例函数的关系式为：；
（2）解：设线段，线段的长度为，
∵，
∴，
∵矩形的面积是27，
∴，解得：，
即点B，点C的横坐标为：，
把代入得：，
即点E的坐标为：，
∴线段的长度为，
∴．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及点A的坐标，可设点D坐标为，将点D坐标代入直线 ，求得的值，从而得到点D的坐标，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征将点D的坐标代入 ，从而求解；
（2） 设线段，线段的长度为， 根据点D的坐标可得 ， 由 矩形的面积是27， 得到关于m的方程，可求得m的值，从而得到点B，点C的横坐标为13，根据放比例函数图象上的点的坐标特征求得点E的坐标，进而得到线段CE的长，最后利用三角形的面积公式即可求解.
23．【答案】（1）解：45°.∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵AG是△AEF的高，且高AG与正方形的边长相等，
即∠AGE=∠AGF=90°，AG=AB=AD，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE；
同理，∠GAF=∠DAF；
∴.
（2）解：∵Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE=EG=4，
同理，DF=DG=6，
则EF=EG+FG=10，
设AB=a，则EC=a-4，CF=a-6，
在Rt△EFC中，EF2=EC2+CF2，
即102=（a-4）2+（a-6）2，
解得：a=12，
∴正方形ABCD的边长是12.
（3）解：MN2=ND2+DH2；理由如下：
如图：
则AH=AM，DH=BM，∠BAM=∠DAH，
∵∠BAD=∠MAH=90°，∠MAN=45°，
∴∠NAH=45°，
∴∠HAN=∠MAN；
在△AMN和△AHN中，
，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN=HN，
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°，
∴NH2=ND2+DH2，
∴MN2=ND2+BM2.
【解析】【分析】（1）由正方形四条边都相等，四个角都是直角得AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=∠BAD=90°，结合题意可得∠AGE=∠AGF=90°，AG=AB=AD，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应角相等可得∠BAE=∠GAE，同理可得∠GAF=∠DAF，即可求解；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得BE=EG=4，DF=DG=6，设AB=a，则EC=a-4，CF=a-6，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得a的值；
（3）根据旋转的对应角相等，对应边相等得AH=AM，DH=BM，∠BAM=∠DAH，得∠NAH=45°，可得∠HAN=∠MAN，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得MN=HN，根据等腰直角三角形的两个底角是45°可得∠ABD=∠ADB=45°，求得∠HDN=90°，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
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一、选择题
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形
2．菱形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
3．关于矩形的性质、下面说法错误的是（ ）
A．矩形的四个角都是直角
B．矩形的两组对边分别相等
C．矩形的两组对边分别平行
D．矩形的对角线互相垂直平分且相等
4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．30 C． D．
5．如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在Rt中，4，点是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16，则（ ）
A． B． C．12 D．16
8．如图，在矩形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，连接 、 ， 与对角线 交于点 ，且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
9．如图，在正方形中，点，分别在，上，且保持，在上取一点，连结，使恰好平分，连结．若要求正方形的面积，则只需要知道
A． 的面积 B． 的面积
C． 的周长 D． 的周长
10．如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．菱形的周长为，它的一条对角线长，则另一条对角线的长为 ．
12．若正方形 AOBC的边OA，OB在坐标轴上，顶点 C在第一象限，且在反比例函数 的图象上，则点C的坐标是 .
13．正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是 ．
14．如图1是清代方胜纹暗花缎袄，如图2是缎袄上面方胜纹示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，、相交于点M，若，，则菱形的周长为 ．
15．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)如图③，正方形美术作品的面积为 .
16．如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”如图，已知“完美菱形”的边长为，是它的较短对角线，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
18．如图，在正方形 ABCD中，点 E 在 BC 边的延长线上，点 F 在 CD 边的延长线上，且 CE=DF，连结 AE和BF.求证：AE=BF.
19．如图，中，，垂足为D，点E、F、G分别是中点，直线交点G．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的度数．
20．如图，在□ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF，过点E作于点H，过点F作于点G．
（1）请你添加一个条件： ▲，使四边形EGFH为矩形，并给出证明．
（2）在（1）的条件下，若，，，求AG的长．
21．如图，已知在正方形中，，点为线段上一点点不与、重合，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形．
（1）求证：；
（2）连接，设，的面积为求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）当时，求的度数．
22．如图，矩形的顶点，在轴的正半轴上，点的坐标为，点在点的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点，交于点．
（1）求点的坐标及反比例函数的关系式；
（2）连接，若矩形的面积是27，求出的面积．
23．【中考预测】
（1）如图1，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在边BC，CD上，高线AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数.
（2）在图1中，若EG=4，GF=6，求正方形ABCD的边长.
（3）如图2，在Rt△ABD中，AD，M，N是边BD上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH的位置，连结NH，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④当∠DAB=90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定其是正方形，故D错误；
故答案为：D．
【分析】通过矩形、菱形、矩形及正方形的判定方法一 一判断即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、菱形是特殊的平行四边形，其对角是相等的，故此选项不符合题意；
B、菱形是特殊的平行四边形，其对边是互相平行的，故此选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，故此选项不符合题意；
D、菱形的对角线只是互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，不一定相等，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，据此逐项判断即可得解．
3．【答案】D
【解析】【解答】A、∵矩形的四个角都是直角，∴A正确，不符合题意；
B、∵矩形的两组对边分别相等，∴B正确，不符合题意；
C、∵矩形的两组对边分别平行，∴C正确，不符合题意；
D、∵矩形的对角线互相平分且相等但不垂直，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD.
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=AC=6，
故菱形的周长是4×6=24.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质和∠B的度数判断△ABC是等边三角形，从而得到AB=AC=6，于是可得周长.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE＝BE＝CE，
又∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴EF⊥OB，EG⊥OC，
∴四边形OGEF是矩形，
∵菱形ABCD的面积为S，
∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，
∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S．
故答案为：B．
【分析】连接OE，根据菱形的性质及等腰三角形的性质，即可得出EF⊥OB，EG⊥OC，推出四边形OGEF是矩形，再根据菱形的面积即可得出矩形的面积。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°
由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；∠C'=∠C=∠A
在△ABE与△C'ED中
∴△ABE≌△C'ED（AAS）
∴DE=BE
设DE=BE=x，则AE=8-x，AB=4，在直角三角形ABE中，
解得x=5
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得AB=CD，∠C=∠A=90°，利用折叠的性质得C'D=CD=AB，∠C'=∠C=∠A；再利用AAS证明△ABE≌△C'ED，利用全等三角形的对应边相等，可证得DE=BE，设DE=BE=x，可表示出AE的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形AMEF是正方形，S正方形AMEF＝16，
∴AM2＝16，
∴AM＝4，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴，
即BC＝2AM＝8，
在Rt△ABC中，AB＝4，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据正方形AMEF的面积求出AM的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC的长，在Rt△ABC中通过勾股定理求出AC的长，最后利用直角三角形的面积公式可求出△ABC的面积即可解答．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
，
∴Rt△BFO≌Rt△BFC，
∴BO=BC，
在Rt△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，
∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6.
故答案为：D.
【分析】连接BO，根据矩形的性质可得DC∥AB，∠DCB=90°，根据平行线的性质可得∠FCO=∠EAO，证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，推出∠EAO=∠EOA，则EA=EO=OF=FC=2，证明Rt△BFO≌Rt△BFC，得到BO=BC，易得△BOC是等边三角形，得到∠BCO=60°，∠BAC=30°，则∠FEB=2∠CAB=60°，进而推出△BEF是等边三角形，则EB=EF=4，然后根据AB=AE+EB进行计算.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：在CD上取一点H，使，连接EH，FH，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
则，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
即要求正方形的面积，则只需要知道的周长，
故答案为：C.
【分析】在CD上取一点H，使，先证，得出，，再证，于是得出，从而得出CD的长，即可进行判断.
10．【答案】C
【解析】【解答】连接 、 、 关于 AC 对称．
∴ ．
∴ ，当 、 、 三点共线得 最小．
∴ ，选C．
【分析】连接 、 ，由于 关于 对称，可得PB=PD，由于，可得当 、 、 三点共线得 最小，最小值等于BE的长，据此解答即可.
11．【答案】12
【解析】【解答】如图，
菱形的周长为，
菱形的边长AB=，AC⊥BD，
一条对角线长，可设BD=16cm，
OB=8cm，
AC=2OA=12cm，
故答案为：12cm.
【分析】根据菱形的性质求得边长AB=10cm，OB=8cm，利用勾股定理即可求解.
12．【答案】(1，1)
【解析】【解答】解：如图，
设点C(x，y)，
∵四边形AOBC是正方形，
∴BC=AC，∠B=∠A=90°，
∴BC=AC=x=y
∵点C在第一象限且在反比例函数 的图象上，
∴正方形AOBC的面积为1，即BC2=1，
∴BC=1，
∴点C(1，1).
故答案为：(1，1).
【分析】画出示意图，由正方形的性质得BC=AC，∠B=∠A=90°，由反比例函数图象k的几何意义可得正方形AOBC的面积为1，进而根据正方形的面积计算方法可求出BC的长，从而即可得出点C的坐标.
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°
延长AD交EF于M，连接AC，CF
则AM=BC+CE=4，FM=EF-AB=2，∠AMF=90°
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形
∵H为AF的中点
故答案为：
【分析】延长AD交EF于M，连接AC，CF，根据正方形性质及勾股定理即可求出答案.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，且，，
∴，
在中，，
∴菱形的周长，
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质得到，再利用勾股定理求得，最后根据菱形的周长，从而求解.
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠B=∠C=45°，
∵四边形CDHG是矩形，且CD= ，
∴HG=CD= ，∠BGH=90°，
∴∠B=∠BHG=45°，
∴GB=GH=，
∴CG=DH=BC-BG=cm，
∵四边形CDHG是矩形，
∴DH∥BC，
∴∠B=∠DHN=45°，
∵四边形DENM是矩形，且DE=，
∴MN=ED= ，∠NMH=90°，
∴∠MNH=∠MHN=45°，
∴MN=MH=，
∴DM=EN=DN-MH=cm；
同理FQ=PE=，
∵AF=AC-CD-DE-EF=，
∴这样的长方形纸条只能裁出三条，
这三条的总长度为：CG+DM+EN=cm，
∴美术作品的边长为：cm，
∴这个美术作品的面积为：cm2.
故答案为：.
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，由矩形的性质得HG=CD= ，∠BGH=90°，从而可推出△BHG是等腰直角三角形，得GB=GH=，CG=DH=BC-BG=cm，同理可求出DM、PE得长，可得到裁剪出的矩形纸条的总长度，进而结合图③找出美术作品的边长，最后根据正方形面积计算方法计算可得答案.
16．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可得：“完美菱形”的边长为，则故均为等边三角形，则又，，故在中
,则（SAS），则∵
∴则且故为等边三角形，设则的面积为则当时，x有最小值：故S的最小值为：当BM与AB重合时有最大值4，则S的最大值为则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】本题主要考查菱形等边三角形的性质、三角形全等的证明与性质.根据题意可得：“完美菱形”的边长为，则故均为等边三角形，则然后根据已知条件结合等量代换可得：从而得到，进一步可证明为等边三角形，设则的面积为然后分当时，x有最小值和当BM与AB重合时有最大值进行求解即可.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF．
【解析】【分析】利用“ASA”证明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性质可得AE=AF。
18．【答案】证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=BC=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
∵ CE=DF，
∴ BC+CE=CD+DF，即BE=CF，
∴ △ABE≌△BCF（SAS），
∴ AE=BF.
【解析】【分析】根据正方形的性质得AB=BC=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，推出BE=CF，依据SAS判定△ABE≌△BCF，根据全等三角形的对应边相等即可求得.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E、G分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：添加的条件：（答案不唯一）．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴．
∵，∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴，∴．
∵，，∴，
∴四边形EGFH为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
（2）解：设．∵，∴，
∴在Rt△AGF中，，∴．
∵，∴．
∵，∴，解得，∴AG的长为1．
【解析】【分析】（1）添加的条件：（答案不唯一），根据平行四边形的判定与性质证明四边形AECF是平行四边形，进而根据平行线的性质得到，再结合题意运用矩形的判定即可求解；
（2）设，先根据锐角三角函数的定义得到．进而即可得到，再结合题意即可求解。
21．【答案】（1）证明：如图，作，．
，，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
的面积
（3）解：如图，当点在线段上时，
四边形是正方形，
，
，，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
，，
，
综上，的度数为或．
【解析】【分析】本题主要考查正方形的基本性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定及性质.
（1）作，，结合题意可证得四边形是矩形，然后运用矩形和正方形的性质可得到≌，进而得到答案；
（2）根据矩形和正方形的性质运用等量代换的方法可证得：≌，得到，进而表示出的面积y的表达式;
（3）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行求解即可.
22．【答案】（1）解：∵，四边形是矩形，
∴可设D坐标为，
把代入直线得：，
∴点D的坐标为，
∵经过点，
∴，解得：，
∴反比例函数的关系式为：；
（2）解：设线段，线段的长度为，
∵，
∴，
∵矩形的面积是27，
∴，解得：，
即点B，点C的横坐标为：，
把代入得：，
即点E的坐标为：，
∴线段的长度为，
∴．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及点A的坐标，可设点D坐标为，将点D坐标代入直线 ，求得的值，从而得到点D的坐标，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征将点D的坐标代入 ，从而求解；
（2） 设线段，线段的长度为， 根据点D的坐标可得 ， 由 矩形的面积是27， 得到关于m的方程，可求得m的值，从而得到点B，点C的横坐标为13，根据放比例函数图象上的点的坐标特征求得点E的坐标，进而得到线段CE的长，最后利用三角形的面积公式即可求解.
23．【答案】（1）解：45°.∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵AG是△AEF的高，且高AG与正方形的边长相等，
即∠AGE=∠AGF=90°，AG=AB=AD，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE；
同理，∠GAF=∠DAF；
∴.
（2）解：∵Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE=EG=4，
同理，DF=DG=6，
则EF=EG+FG=10，
设AB=a，则EC=a-4，CF=a-6，
在Rt△EFC中，EF2=EC2+CF2，
即102=（a-4）2+（a-6）2，
解得：a=12，
∴正方形ABCD的边长是12.
（3）解：MN2=ND2+DH2；理由如下：
如图：
则AH=AM，DH=BM，∠BAM=∠DAH，
∵∠BAD=∠MAH=90°，∠MAN=45°，
∴∠NAH=45°，
∴∠HAN=∠MAN；
在△AMN和△AHN中，
，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN=HN，
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°，
∴NH2=ND2+DH2，
∴MN2=ND2+BM2.
【解析】【分析】（1）由正方形四条边都相等，四个角都是直角得AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=∠BAD=90°，结合题意可得∠AGE=∠AGF=90°，AG=AB=AD，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应角相等可得∠BAE=∠GAE，同理可得∠GAF=∠DAF，即可求解；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得BE=EG=4，DF=DG=6，设AB=a，则EC=a-4，CF=a-6，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得a的值；
（3）根据旋转的对应角相等，对应边相等得AH=AM，DH=BM，∠BAM=∠DAH，得∠NAH=45°，可得∠HAN=∠MAN，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得MN=HN，根据等腰直角三角形的两个底角是45°可得∠ABD=∠ADB=45°，求得∠HDN=90°，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
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