广东省深圳市教育集团2023-2024学年高一上学期第二阶段考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023高一上·深圳期中）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高一上·深圳期中） 设，不等式的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高一上·深圳期中）若幂函数的图象不经过原点，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高一上·深圳期中）二次函数在上的最大值为（ ）
A．-1 B．0 C．3 D．4
5．（2023高一上·深圳期中） 函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023高一上·深圳期中） 若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．16
7．（2023高一上·深圳期中）若实数，函数在R上是单调递增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高一上·深圳期中）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（2023高一上·深圳期中）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2023高一上·深圳期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023高一上·深圳期中）已知正实数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
12．（2023高一上·深圳期中）已知函数，，函数在区间上的最大值为9，最小值为1．函数与函数图象在上有两个不同的交点，则实数的可能取值为（ ）
A．0 B． C． D．1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023高一上·深圳期中） 已知函数，若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
14．（2023高一上·深圳期中） 已知，若，则的值为 .
15．（2023高一上·深圳期中）已知，，且，则的最小值为 ．
16．（2023高一上·深圳期中）设函数的定义域为，且对任意实数恒有：
①；②；③当时，.
若在上恰有三个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题： 本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2023高一上·深圳期中）
（1）化简求值：
（2）已知，且，求的值．
18．（2023高一上·深圳期中）已知为定义在R上的偶函数，当时，.
（1）用分段函数表示时的解析式，作出在定义域内的图象，并指出的值域；
（2）讨论直线与图象的交点个数（不需证明）．
19．（2023高一上·深圳期中）设命题，不等式恒成立；
命题，使成立.
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p、q至多有一个是真命题，求实数m的取值范围.
20．（2023高一上·深圳期中）在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆.
（1）根据以上数据，试从和两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势并说明理由，设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；
（2）2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降2%，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：）
21．（2023高一上·深圳期中）设函数，.
（1）若的定义域为，求的取值范围；
（2）判断的奇偶性并证明；
（3）若，求的值域.
22．（2023高一上·深圳期中）若，.
（1）若，求的值；
（2）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，，，
则，
则，
故答案为：B.
【分析】本题考查集合的基本运算.先根据集合补集的定义求出，再利用集合并集的定义可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【解答】解：因为，
所以，解得，
由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合.
故答案为：D.
【分析】本题考查充分必要条件的定义.解绝对值不等式可得，再由充分不必要条件的定义可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为是幂函数，
所以，所以或，
当时，图象不经过原点，符合题意；
当时，图象经过原点，不符合题意.
所以b的值为0.
故答案为：D.
【分析】本题考查幂函数的概念.根据幂函数的定义可列出方程，解方程可求出b的值，再将b的值代入解析式分析图象是否经过原点可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数是开口向上的抛物线，且对称轴为：，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以函数在上的最大值为：.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数的最值.利用二次函数的性质分析函数在 上的单调性，进而可求出函数的最值.
5．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：从函数图象看，定义域都一样，关于原点对称，
∵，
所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BC；
又，∴可排除A.
故答案为：D.
【分析】本题考查函数图象，函数奇偶性的应用.先求出，可判断函数的奇偶性，再根据图像特征取特殊点求函数值，可确定答案.
6．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由已知可得，，两边同除得，
所以．
当且仅当时等号成立，
故答案为：D.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.采用1还原法，先 利乘“1”，再将1进行替换，得到：，观察积为定值，使用基本等式可求出最值.
7．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为实数且函数在上是单调函数，
所以在单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数单调性的应用.根据在单调递增，再结合一次函数的单调性与双钩函数单调性可列出不等式组，解不等式可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：，
令，则，
由对勾函数的性质得：m在上递减，在上递增，
所以，则，
易知在上递增，则，
因为对，，使得，
所以，解得，
故答案为：A.
【分析】本题考查函数单调性的应用.通过变形函数可得：，采用换元法，则，根据对勾函数的单调性分析可推出，再分析的单调性，结合题意可列出不等式组，解不等式组可求出答案.
9．【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，A错误；
B、的定义域为，的定义域为，且，两函数定义域和对应关系都相同，B正确；
C、的定义域为，的定义域为，又，两函数对应关系不同，C错误；
D、由得，则的定义域为，由得，
则的定义域为，且，两函数定义域和对应关系都相同，D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查同一函数的定义及判断.两个函数定义域相同，解析式相同则为同一函数.对于A选项，通过求两个函数的定义域，可知两个函数定义域不同；对于B选项，通过化简解析式，求定义域，两个函数定义域和对应关系相同为同一函数；对于C选项，通过化简可知两个函数的解析式不相同；对于D选项，通过化简解析式，求定义域，两个函数定义域和对应关系相同为同一函数；
10．【答案】A,B,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为对任意的，总有，
所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，
A、因为在上单调递增，所以，所以，A正确；
B、因为在上单调递减，所以，
所以，B正确；
C、因为，所以，
又，所以，C正确；
D、因为在上单调递增，所以，所以，
又，所以，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】本题考查函数单调性和奇偶性的综合应用.利用单调性的定义判断可知函数的单调性，进而推出函数的单调性.通过幂函数的单调性可比较出的大小，进而比较出函数值的大小；利用指数函数的单调性可比较出的大小，进而比较出函数值的大小；先根据偶函数的性质可推出，再利用对数函数的单调性可比较出的大小，进而比较出函数值的大小；先根据偶函数的性质可推出，再利用对数函数的单调性可比较出的大小，进而比较出函数值的大小.
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、若，，则，且，
故，当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B、若，，则，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C、若，，则，所以，
当且仅当，即时，等号成立，C正确；
D、若，，则，即，所以，故
所以
函数在单调递减，
所以
即，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值，函数单调性.对式子使用基本不等式可得：，平方后可得出答案；变形可得：，采用1还原法，先乘以1再将1进行替换可得：，观察可得积为定值，使用基本不等式可求出最值.，将代入上式化简可得：，观察可得积为定值，使用基本等式可求出最值；可变形为：，通过化简可得：，采用还原法令，可得函数，利用对勾函数的单调性可求出最值.
12．【答案】B,C
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：令，
则，且的值域即为的值域.
由，则的图象开口向上，且对称轴为，
则在单调递增，
故，，解得，，故，
因为函数与函数图象在上有两个不同的交点，
则方程，即在有两个不等的实数根，，则，
即关于的方程在有两个不等的实数根，
令，则图象开口向上，对称轴为，
且，
则有，解得，
故答案为：BC.
【分析】本题考查复合函数的最值，函数与方程的综合应用.利用换元法将函数化简为：，利用二次函数单调性可求出最值，根据最值可列出方程组：，，解方程可求出，再将与的图象交点个数转化为方程根的分布问题，通过作出二次函数的图象可列出不等式组，解不等式组可求出的范围.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，所以，在上恒成立，
当时，即，此时，不满足定义域为；
当时，，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.根据对数的真数大于0可将问题转化为：，在上恒成立，然后分和两种情况可列出不等式，解不等式可求出问题.
14．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：当时，，解得；
当时，，解得或（舍去），
综上：的值为或，
故答案为：或.
【分析】本题考查分段函数求值问题.分和两种情况进行讨论，由根据可列出方程或，将对数式转化为对数式，解一元二次方程可求出问题的答案.
15．【答案】16
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，则，由，得，
则有，当且仅当，即时取等号，
于是，，
所以当时，ab取得最小值16.
故答案为：16.
【分析】本题考查对数的换底公式，利用基本不等式求最值.利用对数运算法则可将式子化简为，利用基本不等式和对数的运算法则化简可得：，再将对数式转化为指数式可求出问题的答案.
16．【答案】（3，5）
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：因为，所以是偶函数， 由得，
所以的周期是，
结合时，，得到函数在上的图象，
因为在上恰有三个零点，
所以，解得
所以的取值范围为．
故答案为：.
【分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，函数与方程的综合应用.根据三个条件可推断出函数的周期和奇偶性：是偶函数，的周期是，据此可作出和在上的图象，根据交点个数可列出不等式组：，通过解不等式组可求出实数的取值范围.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】本题考查对数的运算法则，有理数指数幂的运算性质.
（1）利用对数恒等式可求出的值，利用换底公式可求出的值，再结合对数的运算法则和指数幂的运算性质可求出式子的值.
（2）对式子平方可求出的值，再利用完全平方公式可求出答案.
18．【答案】（1）解：
如图
的值域为
（2）解：a >3时，2个交点
a = 3时，3个交点
2
a=2时，3个交点
-1a—-1寸，1个交点
a<—1时，无交点
【知识点】函数的值域；函数的图象；函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查函数图象，函数值域的求法，函数零点的定义，函数与方程的综合应用.
（1）先将函数解析式去绝对值可得：，根据函数解析式可画出函数图象，结合图象可写出函数的值域；
（2）结合函数图象进行分类讨论可求出交点个数.
19．【答案】（1）解：，
，
当且仅当，即时等号成立．
所以，即，即，解得
所以实数m的取值范围是
（2）解：当为真命题时，，解得，
当命题都是真命题，则且 ，即，
若命题至多有一个是真命题，则或，
综上，实数m的取值范围为或
【知识点】复合命题的真假；全称量词命题；存在量词命题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，存在量词命题和全称量词命题真假的判断，命题否定的应用.
（1）通过变形可得：，观察可得积为定值，利用基本不等式可求出最值，再根据恒成立可列出不等式，解不等式可求出答案；
（2）分别求得命题是真命题时的m的范围，根据“命题至多有一个是真命题”的反面是“两个都是真命题”，先求出实数m的取值范围，利用补集思想可求出答案.
20．【答案】（1）解：由于新能源汽车保有量每年增长得越来越多，因此应该选择指数模型。应选函数模型是（且），
由题意得，得，所以
（2）解：设从2019年底起经过x年后传统能源汽车保有量为y辆，则有，
设从2019年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，
则有，
化简得，
解得，
故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车．
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】本题考查指数函数模型的应用，对数的运算法则.
（1）由增长趋势知，增长快，应选函数模型是，根据题意可列出方程组，解方程组可求出y关于x的函数关系式 ；
（2）设从2019年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，根据题意可列出函数关系式，再根据新能源超过传统汽车可列出不等式，将指数式转化为对数式，解不等式可求出问题的答案.
21．【答案】（1）解：定义域为R即对于恒成立，
令那么对于恒成立
，，当且仅当t=1时等号成立
（2）解：定义域分两种情况讨论：
①时，定义域为R ，定义域关于原点对称.
②时，定义域不为R
（i）
定义域为，定义域关于原点对称
（ii）
，解得
定义域关于原点对称.
判断
且，是奇函数（2分）综上所述，是奇函数
（3）解：时，，设，
那么.设
那么
①当时，（1分）
②当时，，
综上，的值域为
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，函数奇偶性的判断，函数值域的求法.
（1）由题意可得对于恒成立，采用换元法令，变形后参变分离可得：对于恒成立，观察可得积为定值，利用基本不等式求出最值，进而求出问题的答案；
（2）分和求出函数的定义域，再求出，判断，根据函数奇偶性的定义可进行判断和证明；
（3）采用换元法令，则有，再令，则有，分、利用对勾函数、反比函数的单调性可求出值域.
22．【答案】（1）解：
（2）解：当时，，定义域为.
，，即
令，，在上单调递增.
在上有解，
（3）解：由题意知，，
.
函数在区间上单调递增.
分2类讨论：若，则在上单调递减，
在上的最大值为
在上恒成立，
，，
解得或，
若，则在上单调递增，
在上的最大值为
在上恒成立，
，，解得，
，不存在a满足题意.综上，实数a的取值范围为
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】本题考查函数的恒成立问题，函数单调性的应用，函数的最值.
（1）根据等式，可列出方程，解方程可求出问题的答案；
（2）代入函数解析式可化简为：，并得出其定义域，根据对数的真数大于0可得：，结合定义域可求出，将等式在上有解，可转化为方程在上有解，构造函数，利用二次函数单调性列式求得答案；
（3）先确定函数定义域，若在上恒成立，根据定义域得出，化简整理函数得出，根据利用二次函数性质可推出函数在区间上单调递增，再根据复合函数的单调性分类讨论函数的最值，求出函数的最值，将恒成立问题转化为最值问题列式可求出答案
1 / 1广东省深圳市教育集团2023-2024学年高一上学期第二阶段考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023高一上·深圳期中）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，，，
则，
则，
故答案为：B.
【分析】本题考查集合的基本运算.先根据集合补集的定义求出，再利用集合并集的定义可求出答案.
2．（2023高一上·深圳期中） 设，不等式的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【解答】解：因为，
所以，解得，
由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合.
故答案为：D.
【分析】本题考查充分必要条件的定义.解绝对值不等式可得，再由充分不必要条件的定义可求出答案.
3．（2023高一上·深圳期中）若幂函数的图象不经过原点，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为是幂函数，
所以，所以或，
当时，图象不经过原点，符合题意；
当时，图象经过原点，不符合题意.
所以b的值为0.
故答案为：D.
【分析】本题考查幂函数的概念.根据幂函数的定义可列出方程，解方程可求出b的值，再将b的值代入解析式分析图象是否经过原点可求出答案.
4．（2023高一上·深圳期中）二次函数在上的最大值为（ ）
A．-1 B．0 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数是开口向上的抛物线，且对称轴为：，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以函数在上的最大值为：.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数的最值.利用二次函数的性质分析函数在 上的单调性，进而可求出函数的最值.
5．（2023高一上·深圳期中） 函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：从函数图象看，定义域都一样，关于原点对称，
∵，
所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BC；
又，∴可排除A.
故答案为：D.
【分析】本题考查函数图象，函数奇偶性的应用.先求出，可判断函数的奇偶性，再根据图像特征取特殊点求函数值，可确定答案.
6．（2023高一上·深圳期中） 若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．16
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由已知可得，，两边同除得，
所以．
当且仅当时等号成立，
故答案为：D.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.采用1还原法，先 利乘“1”，再将1进行替换，得到：，观察积为定值，使用基本等式可求出最值.
7．（2023高一上·深圳期中）若实数，函数在R上是单调递增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为实数且函数在上是单调函数，
所以在单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数单调性的应用.根据在单调递增，再结合一次函数的单调性与双钩函数单调性可列出不等式组，解不等式可求出答案.
8．（2023高一上·深圳期中）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：，
令，则，
由对勾函数的性质得：m在上递减，在上递增，
所以，则，
易知在上递增，则，
因为对，，使得，
所以，解得，
故答案为：A.
【分析】本题考查函数单调性的应用.通过变形函数可得：，采用换元法，则，根据对勾函数的单调性分析可推出，再分析的单调性，结合题意可列出不等式组，解不等式组可求出答案.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（2023高一上·深圳期中）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，A错误；
B、的定义域为，的定义域为，且，两函数定义域和对应关系都相同，B正确；
C、的定义域为，的定义域为，又，两函数对应关系不同，C错误；
D、由得，则的定义域为，由得，
则的定义域为，且，两函数定义域和对应关系都相同，D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查同一函数的定义及判断.两个函数定义域相同，解析式相同则为同一函数.对于A选项，通过求两个函数的定义域，可知两个函数定义域不同；对于B选项，通过化简解析式，求定义域，两个函数定义域和对应关系相同为同一函数；对于C选项，通过化简可知两个函数的解析式不相同；对于D选项，通过化简解析式，求定义域，两个函数定义域和对应关系相同为同一函数；
10．（2023高一上·深圳期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为对任意的，总有，
所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，
A、因为在上单调递增，所以，所以，A正确；
B、因为在上单调递减，所以，
所以，B正确；
C、因为，所以，
又，所以，C正确；
D、因为在上单调递增，所以，所以，
又，所以，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】本题考查函数单调性和奇偶性的综合应用.利用单调性的定义判断可知函数的单调性，进而推出函数的单调性.通过幂函数的单调性可比较出的大小，进而比较出函数值的大小；利用指数函数的单调性可比较出的大小，进而比较出函数值的大小；先根据偶函数的性质可推出，再利用对数函数的单调性可比较出的大小，进而比较出函数值的大小；先根据偶函数的性质可推出，再利用对数函数的单调性可比较出的大小，进而比较出函数值的大小.
11．（2023高一上·深圳期中）已知正实数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、若，，则，且，
故，当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B、若，，则，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C、若，，则，所以，
当且仅当，即时，等号成立，C正确；
D、若，，则，即，所以，故
所以
函数在单调递减，
所以
即，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值，函数单调性.对式子使用基本不等式可得：，平方后可得出答案；变形可得：，采用1还原法，先乘以1再将1进行替换可得：，观察可得积为定值，使用基本不等式可求出最值.，将代入上式化简可得：，观察可得积为定值，使用基本等式可求出最值；可变形为：，通过化简可得：，采用还原法令，可得函数，利用对勾函数的单调性可求出最值.
12．（2023高一上·深圳期中）已知函数，，函数在区间上的最大值为9，最小值为1．函数与函数图象在上有两个不同的交点，则实数的可能取值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】B,C
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：令，
则，且的值域即为的值域.
由，则的图象开口向上，且对称轴为，
则在单调递增，
故，，解得，，故，
因为函数与函数图象在上有两个不同的交点，
则方程，即在有两个不等的实数根，，则，
即关于的方程在有两个不等的实数根，
令，则图象开口向上，对称轴为，
且，
则有，解得，
故答案为：BC.
【分析】本题考查复合函数的最值，函数与方程的综合应用.利用换元法将函数化简为：，利用二次函数单调性可求出最值，根据最值可列出方程组：，，解方程可求出，再将与的图象交点个数转化为方程根的分布问题，通过作出二次函数的图象可列出不等式组，解不等式组可求出的范围.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023高一上·深圳期中） 已知函数，若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，所以，在上恒成立，
当时，即，此时，不满足定义域为；
当时，，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.根据对数的真数大于0可将问题转化为：，在上恒成立，然后分和两种情况可列出不等式，解不等式可求出问题.
14．（2023高一上·深圳期中） 已知，若，则的值为 .
【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：当时，，解得；
当时，，解得或（舍去），
综上：的值为或，
故答案为：或.
【分析】本题考查分段函数求值问题.分和两种情况进行讨论，由根据可列出方程或，将对数式转化为对数式，解一元二次方程可求出问题的答案.
15．（2023高一上·深圳期中）已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】16
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，则，由，得，
则有，当且仅当，即时取等号，
于是，，
所以当时，ab取得最小值16.
故答案为：16.
【分析】本题考查对数的换底公式，利用基本不等式求最值.利用对数运算法则可将式子化简为，利用基本不等式和对数的运算法则化简可得：，再将对数式转化为指数式可求出问题的答案.
16．（2023高一上·深圳期中）设函数的定义域为，且对任意实数恒有：
①；②；③当时，.
若在上恰有三个零点，则的取值范围为 ．
【答案】（3，5）
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：因为，所以是偶函数， 由得，
所以的周期是，
结合时，，得到函数在上的图象，
因为在上恰有三个零点，
所以，解得
所以的取值范围为．
故答案为：.
【分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，函数与方程的综合应用.根据三个条件可推断出函数的周期和奇偶性：是偶函数，的周期是，据此可作出和在上的图象，根据交点个数可列出不等式组：，通过解不等式组可求出实数的取值范围.
四、解答题： 本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2023高一上·深圳期中）
（1）化简求值：
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】本题考查对数的运算法则，有理数指数幂的运算性质.
（1）利用对数恒等式可求出的值，利用换底公式可求出的值，再结合对数的运算法则和指数幂的运算性质可求出式子的值.
（2）对式子平方可求出的值，再利用完全平方公式可求出答案.
18．（2023高一上·深圳期中）已知为定义在R上的偶函数，当时，.
（1）用分段函数表示时的解析式，作出在定义域内的图象，并指出的值域；
（2）讨论直线与图象的交点个数（不需证明）．
【答案】（1）解：
如图
的值域为
（2）解：a >3时，2个交点
a = 3时，3个交点
2a=2时，3个交点
-1a—-1寸，1个交点
a<—1时，无交点
【知识点】函数的值域；函数的图象；函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查函数图象，函数值域的求法，函数零点的定义，函数与方程的综合应用.
（1）先将函数解析式去绝对值可得：，根据函数解析式可画出函数图象，结合图象可写出函数的值域；
（2）结合函数图象进行分类讨论可求出交点个数.
19．（2023高一上·深圳期中）设命题，不等式恒成立；
命题，使成立.
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p、q至多有一个是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：，
，
当且仅当，即时等号成立．
所以，即，即，解得
所以实数m的取值范围是
（2）解：当为真命题时，，解得，
当命题都是真命题，则且 ，即，
若命题至多有一个是真命题，则或，
综上，实数m的取值范围为或
【知识点】复合命题的真假；全称量词命题；存在量词命题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，存在量词命题和全称量词命题真假的判断，命题否定的应用.
（1）通过变形可得：，观察可得积为定值，利用基本不等式可求出最值，再根据恒成立可列出不等式，解不等式可求出答案；
（2）分别求得命题是真命题时的m的范围，根据“命题至多有一个是真命题”的反面是“两个都是真命题”，先求出实数m的取值范围，利用补集思想可求出答案.
20．（2023高一上·深圳期中）在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆.
（1）根据以上数据，试从和两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势并说明理由，设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；
（2）2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降2%，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：）
【答案】（1）解：由于新能源汽车保有量每年增长得越来越多，因此应该选择指数模型。应选函数模型是（且），
由题意得，得，所以
（2）解：设从2019年底起经过x年后传统能源汽车保有量为y辆，则有，
设从2019年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，
则有，
化简得，
解得，
故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车．
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】本题考查指数函数模型的应用，对数的运算法则.
（1）由增长趋势知，增长快，应选函数模型是，根据题意可列出方程组，解方程组可求出y关于x的函数关系式 ；
（2）设从2019年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，根据题意可列出函数关系式，再根据新能源超过传统汽车可列出不等式，将指数式转化为对数式，解不等式可求出问题的答案.
21．（2023高一上·深圳期中）设函数，.
（1）若的定义域为，求的取值范围；
（2）判断的奇偶性并证明；
（3）若，求的值域.
【答案】（1）解：定义域为R即对于恒成立，
令那么对于恒成立
，，当且仅当t=1时等号成立
（2）解：定义域分两种情况讨论：
①时，定义域为R ，定义域关于原点对称.
②时，定义域不为R
（i）
定义域为，定义域关于原点对称
（ii）
，解得
定义域关于原点对称.
判断
且，是奇函数（2分）综上所述，是奇函数
（3）解：时，，设，
那么.设
那么
①当时，（1分）
②当时，，
综上，的值域为
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，函数奇偶性的判断，函数值域的求法.
（1）由题意可得对于恒成立，采用换元法令，变形后参变分离可得：对于恒成立，观察可得积为定值，利用基本不等式求出最值，进而求出问题的答案；
（2）分和求出函数的定义域，再求出，判断，根据函数奇偶性的定义可进行判断和证明；
（3）采用换元法令，则有，再令，则有，分、利用对勾函数、反比函数的单调性可求出值域.
22．（2023高一上·深圳期中）若，.
（1）若，求的值；
（2）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：
（2）解：当时，，定义域为.
，，即
令，，在上单调递增.
在上有解，
（3）解：由题意知，，
.
函数在区间上单调递增.
分2类讨论：若，则在上单调递减，
在上的最大值为
在上恒成立，
，，
解得或，
若，则在上单调递增，
在上的最大值为
在上恒成立，
，，解得，
，不存在a满足题意.综上，实数a的取值范围为
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】本题考查函数的恒成立问题，函数单调性的应用，函数的最值.
（1）根据等式，可列出方程，解方程可求出问题的答案；
（2）代入函数解析式可化简为：，并得出其定义域，根据对数的真数大于0可得：，结合定义域可求出，将等式在上有解，可转化为方程在上有解，构造函数，利用二次函数单调性列式求得答案；
（3）先确定函数定义域，若在上恒成立，根据定义域得出，化简整理函数得出，根据利用二次函数性质可推出函数在区间上单调递增，再根据复合函数的单调性分类讨论函数的最值，求出函数的最值，将恒成立问题转化为最值问题列式可求出答案
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