7.2正弦、余弦（1）
情境引入
如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m．
思考：如果他沿着该斜坡行走了26m，那么他的相对位置升高了多少？水平位置前进了多少？如果他行走了a m呢？21cnjy.com
活动一
1．在行走过程中，小明的相对高度与行走的路程有怎样的关系？
∠A的对边与斜边之比为__________；
2．在行走过程中，小明的水平距离与行走的路程有怎样的关系？
∠A的邻边与斜边之比为__________；
3．你有何发现？
从上述问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值也就确定．21·cn·jy·com
正弦、余弦的概念
1．正弦的定义．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________．即：sinA＝_________＝_________．www.21-cn-jy.com
2．余弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作＝_________．即：cosA＝__________＝_________．21教育网
3．你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？试试看．
4．小试牛刀
根据图中数据，分别求出∠A、∠B 的正弦和余弦．
例题讲解：
活动二
怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
1．如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度到P点时，他的位置在竖直方向升高了约______个单位长度，在水平方向前进了约______个单位长度．
根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15°＝________，cos15°＝________．
2．请根据图形计算：
sin30°＝_____，cos30°＝_____．
sin75°＝_____，cos75°＝_____．
3．观察与思考：
通过计算sin15°、sin30°、sin75°的值，你有何发现？
通过计算cos15°、cos30°、cos75°的值，你有何发现？
九年级数学课时练习 班级： 姓名
7.2 正弦、余弦（1）
1、在中，，AB=15，sinA=，则BC等于( )
A、45 B、5 C、 D、
2、Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=6cm，那么BC等于（ ）
A．8cm B．
3、菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（ ）
A． B． C．
4、在△ABC中，∠C=90°，tanA=，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（ ）
A．60 B．30 C．240 D．120
5、（2015?四川乐山,第17题9分）计算：
第8题
6、已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于x的方程(b＋c)x2-2ax＋c-b＝0有两个相等的实根，且sinB·cosA-cosB·sinA＝0，则△ABC的形状为 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7、 在△ABC中，若tanA=1，sinB=，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形
8、如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、 C、 D、1
9、Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，则BC=_______．
等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值.
能力提升：
11. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC
（1）求证：AC＝BD；
（2）若sinC＝，BC＝12，求AD的长.
12. 将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°， AB=DE=6，求
叠部分四边形DBCF的面积.
参考答案：
1—4、BAAD；5、；6—8、DBA；9、8或；10、或。
11、（1）略，（2）；12、；
正弦、余弦（2）
一、学习目标：
1.会根据直角三角形的三边关系，已知直角三角形的两边求得其中一个锐角的正弦、余弦。
2.会利用正弦、余弦的有关知识解决一些简单的与直角三角形有关的实际问题。
二、学习内容：
1.导学预习：
默写∠A的正弦、余弦、正切 ，并完成下列练习：
（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=，则BC=_____。（3）在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,sinB=,则AC=_____。
（4）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15,sinC=，则AB=_____。
2.小组讨论：
例1 如图，在Rt⊿ABC中,∠C=90°，AC=12，BC=5.
求 sinA、cosA、sinB 、cosB，的值。
3.展示提升：
思考：通过例1，你能发现在Rt⊿ABC（∠C=90°）中，sinA与cosB、cosA与sinB的值有什么关系吗？这种关系在直角三角形中总成立吗?【来源：21·世纪·教育·网】
结论：
__________________ ______。
比较tanA与tanB的表达式，你有什么发现？
4.质疑拓展：
（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,CD=8，AC=10
①求锐角A、B的正弦、余弦:
②求AB、BD的长
（2）小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。（精确到1m）21教育网
（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
5.学习小结：
6.当堂检测：
1．已知α为锐角:
（1） sin α= ，则cosα=______,tanα=______,
（2） cosα= ，则sinα=______,tanα=______,
（3）tanα=1 ，则sinα=______,cosα=______,
2．如图,在△ABC中, ∠C=90o,D是BC的中点,且∠ADC=45o,AD=2,求tanB的值.
3．在△ABC中，∠C＝90°，cosB=,AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。
4．一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）
九年级数学课时练习 班级： 姓名
7.2 正弦、余弦（2）
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，则sinA＝_____，cosA＝_____，
sinB＝_____，cosB＝_____.
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，
则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.21世纪教育网版权所有
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5a，AC＝12a，AB＝13a，
tanB=________,cosB=______,sinB=_______.
4、若sinA=0.1234 sinB=0.2135 则A B（填＜、＞、＝）
5、在中，，AB=15，，以C为圆心的圆与边AB有一个交点，则所作圆的半径的取值范围是 .
6、在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的各个三角函数值（ ）
A、不变化 B、扩大3倍 C、缩小 D、缩小3倍
7、若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（ ）
A、sinα随α的增大而增大 B、cosα随α的增大而减小
C、tanα随α的增大而增大 D、sinα、cosα、tanα的值都随α的增大而增大
8、（2015?甘肃武威,第15题3分）已知α、β均为锐角，且满足，则α+β= 21cnjy.com
9、在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，
求（1）cosA,sinB； （2）当AB＝4时，求BC的长.
10、已知：如图，CD是RT△ABC的斜边 AB上的高，
求证： BC=AB·BD（用正弦或余弦函数的定义证明）
能力提升：
11．（2015年江苏连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，求边AC长．
12（2015?山东东营,第24题10分）如图，两个全等的△和△重叠在一起，固定△，将△进行如下变换：
（1）如图1，△沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD，请直接写出与的关系；
（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△应满足什么条件？请给出证明；
（3）在（2）的条件下，将△沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出的值．
13. （2015?四川南充,第22题8分）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．21·cn·jy·com
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．
参考答案：
1、；2、3、；4、〈；5、；6、A；7、D；8、D；9、（1）；（2）；10、。
11. 如答图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F， ∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴．∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3. ∴∠AEB=∠BFC=90°．
∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC.
∴△BFC∽△AEB，∴．
∵EB=1，∴FC=．
在Rt△BFC中，．
在Rt△ABC中， ．
12. (1) S△ABC=S四边形AFBD；(2) △ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°,理由如下：
∵Ｆ为BC的中点，∴CF=BF，∵CF= AD，∴AD= BF，又∵AD∥BF，∴四边形AFBD为平行四边形，∵AB=AC,Ｆ为BC的中点，∴AF⊥BC，∴平行四边形AFBD为矩形，∵∠BAC=90°,F为BC的中点，∴AF=BC=BF，∴四边形AFBD为正方形；正确画出图形：
由（2）知，△ABC为等腰直角三角形, AF⊥BC，设CF=k，则GF=EF=CB=2k，由勾股定理，得：CG=k,sin∠CGF===. www.21-cn-jy.com
13. (1)、有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD；
、设AP=x，有折叠关系可得：BP=AP=EP=x AB=DC=2x AM=1。由△AMP∽△BPQ得：即；由△AMP∽△CQD得：即CQ=2，AD=BC=BQ+CQ=+22·1·c·n·j·y
MD=AD－AM=+2－1=+1。又∵在Rt△FDM中，sin∠DMF= DF=DC=2x∴ 解得：x=3或x=(不合题意，舍去)∴AB=2x=6.
