北师大版八年级数学下册第五章练习（含解析）

北师大版八年级数学下册第五章练习
一、选择题
1．下列各式，，，中，是分式的有（　　）
A． B． C． D．
2．要使分式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．
3．已知，则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
5．如果把分式 中的 和 都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．扩大9倍
6．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装袆前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米 设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
7．分式的值为，则的值是（　　）
A． B． C． D．或
8．如果解关于x的分式方程 ＝5时出现了增根，那么a的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C．6 D．3
9．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．-2 B．0 C．1 D．3
10．如图1，设 ，则有（　　）.
A．02
二、填空题
11．分式 与 的最简公分母是　 　.
12．已知 ，则 　 　.
13．化简：　 　．
14．设实数a，b满足，则分式的值是　 　．
15．甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目的地？（ ）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.
其中正确的结论是　 　．（只需填入序号）
16．阅读材料：
分离整数法就是将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．如：
① ；
② = = + =x+3+ .
解答问题．已知x为整数，且分式 为整数，则x的值为　 　.
三、解答题
17．解分式方程： ．
18．先化简，再求值： ，其中 ．
19． 数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题：
已知非零实数a，b同时满足等式，求的值．
小白：哈哈！结果为正数． 小青：x，y不一定相等哦．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，①求x的值．②求的值．
（2）若，则　 　．
20．在双减背景下，西安某中学为让学生们扔下繁重的作业负担，置身于丰富多彩的阅读中，计划开展以“我阅读，我快乐”为主题的阅读分享活动，学校图书室计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的倍，用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
21．已知实数a，b，c满足 ， ，求 的值.
22．商店里有A，B 两种糖果，A种糖果的单价为a 元/千克，B种糖果的单价为b元/千克，且a≠b.商店准备用这两种糖果混合制成若干种什锦糖，什锦糖的定价方法是：若取m千克A 种糖果和n千克B 种糖果混合制成什锦糖，则什锦糖的售价定为总价除以总质量，即
（1）某种什锦糖由 A，B两种糖果按质量比1：3混合制成，求该种什锦糖的售价.
（2）现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖果混合制成，其中甲什锦糖由相同质量的 A，B两种糖果混合制成；乙什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合制成，则甲、乙两种什锦糖的售价分别为多少？
（3）选择合适的方法比较（2）中甲、乙两种什锦糖的售价哪个更高？
23．阅读下面材料，并解答问题.
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b.
则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b
∴ ，∴
∴ ＝ ＝ ﹣ ＝（x2+2）﹣
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣ 的和.
根据上述作法，将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】分式有： ， ，
故答案为： A 。
【分析】分母中含有字母是判定分式的主要依据。
2．【答案】B
【解析】【解答】根据题意可得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：B.
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】∵2x=3y，∴，∵y≠0，∴.
【分析】本题主要考查分式的性质，当分母为字母时，必须要有分母不为零的条件.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A.是最简分式，A符合题意；
B.，B不符合题；
C.，C不符合题；
D.，D不符合题.
故答案为：A.
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．
5．【答案】A
【解析】【解答】，值不变.
故选A.
【分析】把3m，3n分别代入.
6．【答案】D
【解析】【解答】解： 设边衬的宽度为x米 ，
∵在画四周边衬的宽度相等
∴长为(2.4+2x)米，宽为 (1.4+2x)米
∵整幅图画宽与长的比是8：13
∴可列方程，故D选项符合.
故答案为：D.
【分析】根据题意画四周边衬的宽度相等，可以得到整幅图画的长和宽，根据“ 整幅图画宽与长的比是8：13 ”可列出方程，注意是四周长和宽两边都增加了x.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴|x|-4=0且x-4≠0，
解得x=-4．
故答案为：B．
【分析】分式的值为0必须满足两个条件：（1）分式的分子为0；（2）分母不为0.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：去分母得：2x+a＝5x﹣15，
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
代入整式方程得：6+a＝0，
解得：a＝﹣6，
故答案为：A.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出a的值即可.
9．【答案】A
【解析】【解答】解： 解不等式组得
∵不等式的解集无解，∴
解得为负数
∴a4
∴
∴a=-3，-2，-1，0，1，2，3，
当a=2时，x=-1，分式方程无意义，故a=2要舍去。
∴-3-2-1+1+3=-2
故答案为：A
【分析】解分式方程和不等式组，确定a的取值范围；注意分式方程要验根，增根要舍去。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：甲图中的阴影部分面积=a2-b2，
乙图中的阴影部分面积=a2-ab，
K=
=1+，
∵a>b>0，
∴0<<1，
∴ 1故答案为：C.
【分析】分别把图甲和图乙的阴影部分面积用字母表示出来，则k的表达式可知，然后再对右边分式的分子分母分解因式，约分化简，结合a>b>0， 则值的范围， 于是k的取值范围可求.
11．【答案】
【解析】【解答】解： 分式 与 的最简公分母是，
故答案为：.
【分析】根据最简公分母的定义：各分式分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母，即可解答.
12．【答案】
【解析】【解答】 ＝ －1＝ －1＝ .
故答案为： .
【分析】先逆用同分母分式相加减的法则把 转化为 －1，再把已知条件代入即可求出答案.
13．【答案】1
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：1.
【分析】同分母分式计算，分母不变，分子相加减.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，再代入计算求解即可。
15．【答案】②
【解析】【解答】解：设总路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n，
甲：，
乙：，整理得
甲到达用的时间更多，所以乙先到。
【分析】本题需要根据甲乙各自路程、速度、时间的关系，整理出各自到达目的地用的总时间，然后进行比较，具体计算过程中运用到了分式的运算、偶次幂的非负性，要学会用做差的方法进行比较大小。
16．【答案】3或1或4或0
【解析】【解答】解：∵ = = =3+ ，
又∵ 的值为整数，且x为整数；
∴x-2的值为1或-1或2或-2，
∴x的值为3或1或4或0．
故答案为：3或1或4或0．
【分析】将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，再根据分式值为整数，即可得到x的整数值．
17．【答案】解：去分母，得 ，
解得， ，
检验：当 时，x 1≠0，
∴原方程的解为 ．
【解析】【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x 1，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．
18．【答案】
当 时，
原式 ．
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
19．【答案】（1）解：①当时，，
整理得，
，
解得，
②∵，
∴
.
（2）23
【解析】【解答】解：（2）当时，联立方程组得
将，得：
整理，得：，
，
又∵
∴，
将①+②，得：，
整理，得：，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【分析】（1）①当时，，整理得到，然后利用因式分解法解此方程即可求出x的值；
②将x和y的值代入计算即可；
（2）当时，联立方程组得，用①-②得，用①+②得，进而根据完全平方公式恒等变形求出，进而即可求解.
20．【答案】（1）解：设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，且符合题意．
则，
答：甲图书每本价格是元，乙图书每本价格为元；
（2）解：设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：，
故，
解得：，
故，
答：该图书馆最多可以购买本乙图书．
【解析】【分析】（1）设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，根据“ 用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本 ”列出方程并解之即可；
（2）设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为，根据： 购买甲、乙两种图书的总经费不超过元 ，列出不等式并求解即可.
21．【答案】解：∵ ，
∴ ，两边同时平方得 ，
即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
同理可得 ， ，
原式=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= .
【解析】【分析】根据a+b+c=0得a+b=-c，两边同时平方得2ab=c2-(a2+b2)，结合a2+b2+c2=1得ab=c2-，同理得ac=b2-，bc=a2-，待求式可变形为，据此计算.
22．【答案】（1）解：设A种糖果x千克，则B种糖果3x千克，由题意得，
元/千克，
答：该种什锦糖的售价为元/千克；
（2）解：设甲什锦糖由y千克的A和y千克的B两种糖果混合制成，
售价为：=元/千克，
设乙什锦糖由c元的A和c元的B两种糖果混合制成，
售价为：=元/千克，
答：甲、乙两种什锦糖的售价分别为 元/千克， 元/千克；
（3）解：，
∵ a≠b，
∴，
∴ 甲的售价高于乙的售价，
答：甲的售价更高.
【解析】【分析】（1）根据售价为总价除以总质量，设A为x千克，则B为3x千克，根据公式计算即可；
（2）设相同质量的y千克， 相同售价的c元，根据售价的公式，分别计算出甲和乙的售价；
（3）利用作差法，根据偶次方的非负性判断出符号，即可求得.
23．【答案】解：
＝
＝x2+7﹣ .
【解析】【分析】由分母为x2-1，可设x4+6x2-8= (x2-1) (x2-a) +b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式
拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
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