山东省泰安市东平县斑鸠店镇中学2016届九年级上学期第一次月考数学试卷【解析版】
文档属性
| 名称 | 山东省泰安市东平县斑鸠店镇中学2016届九年级上学期第一次月考数学试卷【解析版】 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 374.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 青岛版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-11-03 00:00:00 | ||
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文档简介
2015-2016学年山东省泰安市东平县斑鸠店镇中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题
1．下列命题：①相似三角形一定不是全等三角形；②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O是△ABC内任意一点，OA、OB、OC的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC．其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．sin30°的值为（ ）
A． B． C． D．
3．两个相似三角形的面积比是9：16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：16
4．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．也扩大3倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
5．已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出个（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
6．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．[]
7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（ ）
A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5
9．在△ABC中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是（ ）
A．138 B． C．135 D．不能确定
10．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1 000m，则他升高了（ ）
A．200m B．500m C．500m D．1000m
11．△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系中正确的是（ ）
A．c=asinA B．c= C．c=acosA D．c=
同学 甲 乙 丙
放出风筝线长 100m 100m 90m
线与地面交角 40° 45° 60°
13．身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（ ）
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低
14．D为△ABC的AB边上一点，若△ACD∽△ABC，应满足条件有下列三种可能：①∠ACD=∠B；②∠ADC=∠ACB；③AC2=AB AD，其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
16．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）
A．a B． C． D．a
17．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）
A． B． C． D．
18．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2
19．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，则AN=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
20．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
21．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 ．
22．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m．
23．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．
24．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为 海里（取，结果精确到0.1海里）．
三、解答题
25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
26．如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1：，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．试求旗杆BC的高度．
27．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
28．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）
29．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：=；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
2015-2016学年山东省泰安市东平县斑鸠店镇中学九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列命题：①相似三角形一定不是全等三角形；②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O是△ABC内任意一点，OA、OB、OC的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC．其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点： 命题与定理．
分析： 根据全等三角形的定义：全等三角形就是能重合的三角形，形状相同，大小相同；相似三角形的定义：相似三角形是形状相同的三角形，大小不一定相等；相似多边形的定义：相似多边形就是形状相同的多边形，根据这些定义逐一分析解答即可．
解答： 解：①、相似三角形是形状相同的三角形，大小不一定相同，全等三角形就是能重合的三角形，形状相同，大小相同，因而全等三角形是特殊的相似三角形，此选项错误；
②、相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，此选项正确；
③、边数相同，对应角分别相等的两个矩形不一定相似，此选项错误；
④、根据三角形的中位线得出三条边对应的比值为，两个三角形相似，此选项正确．
故正确的命题是：②④共2个．
故选：C．
点评： 此题考查命题与定理，掌握三角形全等与相似之间的联系，相似的判定，中位线定理是解决问题的关键．
2．sin30°的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
解答： 解：sin30°=．
故选C．
点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
3．两个相似三角形的面积比是9：16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：16
考点： 相似三角形的性质．
分析： 因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以这两个三角形的相似比是3：4．
解答： 解：∵两个相似三角形的面积比为9：16，
∴它们对应的相似比是3：4．
故选B．
点评： 此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
4．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．也扩大3倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
考点： 锐角三角函数的增减性．
分析： 理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．
解答： 解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．
故选C．
点评： 理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关．
5．已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出个（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
考点： 位似变换．
分析： 根据题意作图，注意有两种作法，在位似中心的两侧或同侧．所以这样的图形可以作出2个．
解答： 解：如图：
∴这样的图形可以作出2个．
故选B．
[]
点评： 本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，此题考查了学生对位似图形的认识．注意有两种作法，在位似中心的两侧或同侧．
6．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 根据DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，然后根据对应边成比例求得BC的长度．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
则=，
∵DE=1，AD=2，DB=3，
∴AB=AD+DB=5，
∴BC==．
故选C．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，难度一般，解答本题的关键是根据平行证明△ADE∽△ABC．
7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 勾股定理；锐角三角函数的定义．
专题：[] 压轴题；网格型．
分析： 先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．[]
解答： 解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，
∴cos∠B==．
故选B．
点评： 本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与角B有关的直角三角形．
8．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（ ）
A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5
考点：[] 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
分析： 先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四边形BCED=1：3．
解答： 解：∵DE为△ABC的中位线，
∴AE=CE．
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴S△ADE=S△CFE．
∵DE为△ABC的中位线，
∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，
∴S△ADE：S△ABC=1：4，
∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，
∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．
故选：A．
点评： 本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．
9．在△ABC中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是（ ）
A．138 B． C．135 D．不能确定
考点： 相似三角形的性质．
分析： 首先设最长边是x，由在△ABC中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解答： 解：设最长边是x，
∵在△ABC中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，
∴，
解得：x=138．
∴最长边是138．
故选A．
点评： 此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应关系是关键．
10．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1 000m，则他升高了（ ）
A．200m B．500m C．500m D．1000m
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 根据题意作出图形，然后根据坡度为1：2，设BC=x，AC=2x，根据AB=1000m，利用勾股定理求解．
解答： 解：∵坡度为1：2，
∴设BC=x，AC=2x，
∴AB==x，
即x=1000，
解得：x=200．
故选A．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形，利用勾股定理求解．
11．△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 同角三角函数的关系．
专题： 计算题．
分析： 根据正弦的定义得到sinA==，则可设BC=4x，AB=5x，根据勾股定理计算易计算AC，然后根据正切的定义即可得到tanA的值．
解答： 解：如图，
∵sinA==，
∴设BC=4x，AB=5x，
∴AC==3x，
∴tanA===．
故选A．
点评： 本题考查了三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比，它的正切值等于它的对边与它的邻边的比．也考查了勾股定理．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系中正确的是（ ）
A．c=asinA B．c= C．c=acosA D．c=
考点： 解直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 正确计算sinA、cosA即可求得a、c的关系，即可解题．
解答： 解：直角三角形中，sinA=，cosA=，
∴可以求得c=，故B选项正确，
故选 B．
点评： 本题考查了直角三角形中三角函数值的计算，正确计算∠A的正弦值是解题的关键．
13．身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（ ）
同学 甲 乙 丙
放出风筝线长 100m 100m 90m
线与地面交角 40° 45° 60°
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低
考点： 解直角三角形的应用．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 利用所给角的正弦函数可得到垂直高度，比较即可．
解答： 解：甲所放风筝的高度为100sin40°；
乙所放风筝的高度为100sin45°≈70米；
丙所放风筝的高度为90sin60°≈78米．
而 100sin40°＜100sin45°，
因此可知丙的风筝飞得最高，乙次之，而甲最低．
故选B．
点评： 本题考查解直角三角形在实际生活中的应用．
14．D为△ABC的AB边上一点，若△ACD∽△ABC，应满足条件有下列三种可能：①∠ACD=∠B；②∠ADC=∠ACB；③AC2=AB AD，其中正确的个数是（ ）[]
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点： 相似三角形的性质．
分析： 首先根据题意画出图形，然后由△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，对应角相等，即可证得：①∠ACD=∠B；②∠ADC=∠ACB；③AC2=AB AD正确．
解答： 解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B，∠ADC=∠ACB，，
∴AC2=AB AD．
故①②③正确．
故选D．
点评： 此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，对应角相等定理的应用是解此题的关键．
15．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题： 压轴题．
分析： 利用坡度先求得垂直距离，根据勾股定理求得坡面距离．
解答： 解：∵水平距离为4m．
∴铅直高度为0.75×4=3m．
根据勾股定理知：坡面相邻两株数间的坡面距离为5m．
故选A．
点评： 本题主要考查直角三角形问题．利用坡度tanα=0.75=求解．
16．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）
A．a B． C． D．a
考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： 首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．
解答： 解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=2，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，
∵△ABD的面积为a，
∴△ACD的面积为a，
故选C．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．
17．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
分析： 首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值．
解答： 解：在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠CDA，
∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴△ABD∽△CAD，
∴=，
∵BD：CD=3：2，
设BD=3x，CD=2x，
∴AD==x，
则tanB===．
故选D．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应边成比例求边长．
18．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2
考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析： 首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应边成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．
解答： 解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
则△DFE∽△BAE，
∴=，
∵O为对角线的交点，
∴DO=BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE=DB，
则DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2．
故选D．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．
19．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，则AN=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点： 菱形的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： 根据菱形的对角线平分一组对角可得∠1=∠2，然后求出△AFN和△AEM相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可．
解答： 解：在菱形ABCD中，∠1=∠2，
又∵ME⊥AD，NF⊥AB，
∴∠AEM=∠AFN=90°，
∴△AFN∽△AEM，
∴=，
即=，
解得AN=4．
故选B．
点评： 本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，相似三角形的判定与性质，关键在于得到△AFN和△AEM相似．
20．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．
专题： 压轴题．
分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；[]
先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；
先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；
当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=PB=PC，判断④正确．
解答： 解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=BC，PN=BC，
∴PM=PN，正确；
②在△ABM与△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴，正确；
③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；
④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BN=PB=PC，正确．
故选D．
点评： 本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．
二、填空题
21．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 （﹣2，1）或（2，﹣1） ．
考点： 位似变换；坐标与图形性质．
分析： 若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．
解答： 解：∵点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，
∴点E的对应点E′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
点评： 此题考查了位似图形的性质，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．
22．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m．
考点： 平行投影；相似三角形的应用．
专题： 计算题．
分析： 根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED FD，代入数据可得答案．
解答： 解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，
∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有=；即DC2=ED FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故答案为：4．
点评： 本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
23．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．
[]
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案．
解答： 解：∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵在Rt△ACB中∠B=45°，
∴AB=AC，
∵在Rt△ACD中，∠D=30°，
∴CD==AC，
∴==．
故答案为：．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
24．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为 67.5 海里（取，结果精确到0.1海里）．
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 过点D作DE⊥AB于点E，设DE=x，在Rt△CDE中表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB=25海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度．
解答： 解：∵∠DBA=∠DAB=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
过点D作DE⊥AB于点E，则DE=AB，
设DE=x，则AB=2x，
在Rt△CDE中，∠DCE=30°，
则CE=DE=x，
在Rt△BDE中，∠DAE=45°，
则DE=BE=x，
由题意得，CB=CE﹣BE=x﹣x=25，
解得：x=，
故AB=25（+1）=67.5（海里）．
故答案为：67.5．
点评： 本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．
三、解答题
25．（8分）（2013 宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
考点： 作图-位似变换；作图-旋转变换．
专题： 压轴题．
分析： （1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；
（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2．
解答： 解：如图：（1）△A1B1C1 即为所求；
（2）△A2B2C2 即为所求．
点评： 此题考查了位似变换的性质与旋转的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
26．如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1：，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．试求旗杆BC的高度．
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题： 计算题．
分析： 如果延长BC交AD于E点，则CE⊥AD，要求BC的高度，就要知道BE和CE的高度，就要先求出AE的长度．直角三角形ACE中有坡比，由AC的长，那么就可求出AE的长，然后求出BE、CE的高度，BC=BE﹣CE，即可得出结果．
解答： 解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．
在Rt△AEC中，AC=10，由坡比为1：可知：∠CAE=30°，
∴CE=AC sin30°=10×=5，
AE=AC cos30°=10×=．
在Rt△ABE中，BE===11．
∵BE=BC+CE，∴BC=BE﹣CE=11﹣5=6（米）．
答：旗杆的高度为6米．
点评： 两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．
27．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
专题： 压轴题．
分析： （1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，∴DE===12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．
28．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）
考点： 解直角三角形的应用．
专题： 压轴题．
分析： （1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．
（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．
解答： 解：（1）如图，作AD⊥BC于点D．
Rt△ABD中，
AD=ABsin45°=4×=2．
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=4≈5.6．
即新传送带AC的长度约为5.6米；
（2）结论：货物MNQP应挪走．
解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=2．
在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2．
∴CB=CD﹣BD=2﹣2=2（﹣）≈2.1．
∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.1=1.9＜2，
∴货物MNQP应挪走．
点评： 应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．
29．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：=；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
考点： 相似三角形的判定与性质；菱形的判定．
专题： 证明题；压轴题．
分析： （1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；
（2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形．
解答： 证明：（1）∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABE，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴=，
又∵AB=AD，
∴=；
（2）设AE=x，
∵AE：EC=1：2，
∴EC=2x，
由（1）得：AB2=AE AC，即AB2=x 3x
∴AB=x，
又∵BA⊥AC，
∴BC=2x，
∴∠ACB=30°，
∵F是BC中点，
∴BF=x，
∴BF=AB=AD，
连接AF，则AF=BF=CF∠ACB=30°，∠ABC=60°，
又∵∠ABD=∠ADB=30°，
∴∠CBD=30°，
∴∠ADB=∠CBD=∠ACB=30°，
∴AD∥BF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
又∵AD=AB，
∴四边形ABFD是菱形．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出△ABE∽△ACB是解题关键．
一、选择题
1．下列命题：①相似三角形一定不是全等三角形；②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O是△ABC内任意一点，OA、OB、OC的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC．其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．sin30°的值为（ ）
A． B． C． D．
3．两个相似三角形的面积比是9：16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：16
4．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．也扩大3倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
5．已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出个（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
6．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．[]
7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（ ）
A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5
9．在△ABC中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是（ ）
A．138 B． C．135 D．不能确定
10．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1 000m，则他升高了（ ）
A．200m B．500m C．500m D．1000m
11．△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系中正确的是（ ）
A．c=asinA B．c= C．c=acosA D．c=
同学 甲 乙 丙
放出风筝线长 100m 100m 90m
线与地面交角 40° 45° 60°
13．身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（ ）
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低
14．D为△ABC的AB边上一点，若△ACD∽△ABC，应满足条件有下列三种可能：①∠ACD=∠B；②∠ADC=∠ACB；③AC2=AB AD，其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
16．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）
A．a B． C． D．a
17．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）
A． B． C． D．
18．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2
19．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，则AN=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
20．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
21．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 ．
22．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m．
23．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．
24．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为 海里（取，结果精确到0.1海里）．
三、解答题
25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
26．如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1：，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．试求旗杆BC的高度．
27．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
28．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）
29．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：=；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
2015-2016学年山东省泰安市东平县斑鸠店镇中学九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列命题：①相似三角形一定不是全等三角形；②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O是△ABC内任意一点，OA、OB、OC的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC．其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点： 命题与定理．
分析： 根据全等三角形的定义：全等三角形就是能重合的三角形，形状相同，大小相同；相似三角形的定义：相似三角形是形状相同的三角形，大小不一定相等；相似多边形的定义：相似多边形就是形状相同的多边形，根据这些定义逐一分析解答即可．
解答： 解：①、相似三角形是形状相同的三角形，大小不一定相同，全等三角形就是能重合的三角形，形状相同，大小相同，因而全等三角形是特殊的相似三角形，此选项错误；
②、相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，此选项正确；
③、边数相同，对应角分别相等的两个矩形不一定相似，此选项错误；
④、根据三角形的中位线得出三条边对应的比值为，两个三角形相似，此选项正确．
故正确的命题是：②④共2个．
故选：C．
点评： 此题考查命题与定理，掌握三角形全等与相似之间的联系，相似的判定，中位线定理是解决问题的关键．
2．sin30°的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
解答： 解：sin30°=．
故选C．
点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
3．两个相似三角形的面积比是9：16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：16
考点： 相似三角形的性质．
分析： 因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以这两个三角形的相似比是3：4．
解答： 解：∵两个相似三角形的面积比为9：16，
∴它们对应的相似比是3：4．
故选B．
点评： 此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
4．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．也扩大3倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
考点： 锐角三角函数的增减性．
分析： 理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．
解答： 解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．
故选C．
点评： 理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关．
5．已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出个（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
考点： 位似变换．
分析： 根据题意作图，注意有两种作法，在位似中心的两侧或同侧．所以这样的图形可以作出2个．
解答： 解：如图：
∴这样的图形可以作出2个．
故选B．
[]
点评： 本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，此题考查了学生对位似图形的认识．注意有两种作法，在位似中心的两侧或同侧．
6．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 根据DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，然后根据对应边成比例求得BC的长度．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
则=，
∵DE=1，AD=2，DB=3，
∴AB=AD+DB=5，
∴BC==．
故选C．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，难度一般，解答本题的关键是根据平行证明△ADE∽△ABC．
7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 勾股定理；锐角三角函数的定义．
专题：[] 压轴题；网格型．
分析： 先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．[]
解答： 解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，
∴cos∠B==．
故选B．
点评： 本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与角B有关的直角三角形．
8．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（ ）
A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5
考点：[] 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
分析： 先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四边形BCED=1：3．
解答： 解：∵DE为△ABC的中位线，
∴AE=CE．
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴S△ADE=S△CFE．
∵DE为△ABC的中位线，
∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，
∴S△ADE：S△ABC=1：4，
∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，
∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．
故选：A．
点评： 本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．
9．在△ABC中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是（ ）
A．138 B． C．135 D．不能确定
考点： 相似三角形的性质．
分析： 首先设最长边是x，由在△ABC中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解答： 解：设最长边是x，
∵在△ABC中，BC=5，CA=45，AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15，
∴，
解得：x=138．
∴最长边是138．
故选A．
点评： 此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应关系是关键．
10．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1 000m，则他升高了（ ）
A．200m B．500m C．500m D．1000m
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 根据题意作出图形，然后根据坡度为1：2，设BC=x，AC=2x，根据AB=1000m，利用勾股定理求解．
解答： 解：∵坡度为1：2，
∴设BC=x，AC=2x，
∴AB==x，
即x=1000，
解得：x=200．
故选A．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形，利用勾股定理求解．
11．△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 同角三角函数的关系．
专题： 计算题．
分析： 根据正弦的定义得到sinA==，则可设BC=4x，AB=5x，根据勾股定理计算易计算AC，然后根据正切的定义即可得到tanA的值．
解答： 解：如图，
∵sinA==，
∴设BC=4x，AB=5x，
∴AC==3x，
∴tanA===．
故选A．
点评： 本题考查了三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比，它的正切值等于它的对边与它的邻边的比．也考查了勾股定理．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系中正确的是（ ）
A．c=asinA B．c= C．c=acosA D．c=
考点： 解直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 正确计算sinA、cosA即可求得a、c的关系，即可解题．
解答： 解：直角三角形中，sinA=，cosA=，
∴可以求得c=，故B选项正确，
故选 B．
点评： 本题考查了直角三角形中三角函数值的计算，正确计算∠A的正弦值是解题的关键．
13．身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（ ）
同学 甲 乙 丙
放出风筝线长 100m 100m 90m
线与地面交角 40° 45° 60°
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低
考点： 解直角三角形的应用．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 利用所给角的正弦函数可得到垂直高度，比较即可．
解答： 解：甲所放风筝的高度为100sin40°；
乙所放风筝的高度为100sin45°≈70米；
丙所放风筝的高度为90sin60°≈78米．
而 100sin40°＜100sin45°，
因此可知丙的风筝飞得最高，乙次之，而甲最低．
故选B．
点评： 本题考查解直角三角形在实际生活中的应用．
14．D为△ABC的AB边上一点，若△ACD∽△ABC，应满足条件有下列三种可能：①∠ACD=∠B；②∠ADC=∠ACB；③AC2=AB AD，其中正确的个数是（ ）[]
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点： 相似三角形的性质．
分析： 首先根据题意画出图形，然后由△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，对应角相等，即可证得：①∠ACD=∠B；②∠ADC=∠ACB；③AC2=AB AD正确．
解答： 解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B，∠ADC=∠ACB，，
∴AC2=AB AD．
故①②③正确．
故选D．
点评： 此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，对应角相等定理的应用是解此题的关键．
15．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题： 压轴题．
分析： 利用坡度先求得垂直距离，根据勾股定理求得坡面距离．
解答： 解：∵水平距离为4m．
∴铅直高度为0.75×4=3m．
根据勾股定理知：坡面相邻两株数间的坡面距离为5m．
故选A．
点评： 本题主要考查直角三角形问题．利用坡度tanα=0.75=求解．
16．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）
A．a B． C． D．a
考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： 首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．
解答： 解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=2，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，
∵△ABD的面积为a，
∴△ACD的面积为a，
故选C．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．
17．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
分析： 首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值．
解答： 解：在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠CDA，
∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴△ABD∽△CAD，
∴=，
∵BD：CD=3：2，
设BD=3x，CD=2x，
∴AD==x，
则tanB===．
故选D．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应边成比例求边长．
18．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2
考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析： 首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应边成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．
解答： 解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
则△DFE∽△BAE，
∴=，
∵O为对角线的交点，
∴DO=BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE=DB，
则DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2．
故选D．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．
19．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，则AN=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点： 菱形的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： 根据菱形的对角线平分一组对角可得∠1=∠2，然后求出△AFN和△AEM相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可．
解答： 解：在菱形ABCD中，∠1=∠2，
又∵ME⊥AD，NF⊥AB，
∴∠AEM=∠AFN=90°，
∴△AFN∽△AEM，
∴=，
即=，
解得AN=4．
故选B．
点评： 本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，相似三角形的判定与性质，关键在于得到△AFN和△AEM相似．
20．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．
专题： 压轴题．
分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；[]
先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；
先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；
当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=PB=PC，判断④正确．
解答： 解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=BC，PN=BC，
∴PM=PN，正确；
②在△ABM与△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴，正确；
③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；
④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BN=PB=PC，正确．
故选D．
点评： 本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．
二、填空题
21．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 （﹣2，1）或（2，﹣1） ．
考点： 位似变换；坐标与图形性质．
分析： 若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．
解答： 解：∵点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，
∴点E的对应点E′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
点评： 此题考查了位似图形的性质，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．
22．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m．
考点： 平行投影；相似三角形的应用．
专题： 计算题．
分析： 根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED FD，代入数据可得答案．
解答： 解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，
∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有=；即DC2=ED FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故答案为：4．
点评： 本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
23．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．
[]
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案．
解答： 解：∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵在Rt△ACB中∠B=45°，
∴AB=AC，
∵在Rt△ACD中，∠D=30°，
∴CD==AC，
∴==．
故答案为：．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
24．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为 67.5 海里（取，结果精确到0.1海里）．
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 过点D作DE⊥AB于点E，设DE=x，在Rt△CDE中表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB=25海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度．
解答： 解：∵∠DBA=∠DAB=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
过点D作DE⊥AB于点E，则DE=AB，
设DE=x，则AB=2x，
在Rt△CDE中，∠DCE=30°，
则CE=DE=x，
在Rt△BDE中，∠DAE=45°，
则DE=BE=x，
由题意得，CB=CE﹣BE=x﹣x=25，
解得：x=，
故AB=25（+1）=67.5（海里）．
故答案为：67.5．
点评： 本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．
三、解答题
25．（8分）（2013 宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
考点： 作图-位似变换；作图-旋转变换．
专题： 压轴题．
分析： （1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；
（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2．
解答： 解：如图：（1）△A1B1C1 即为所求；
（2）△A2B2C2 即为所求．
点评： 此题考查了位似变换的性质与旋转的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
26．如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1：，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．试求旗杆BC的高度．
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题： 计算题．
分析： 如果延长BC交AD于E点，则CE⊥AD，要求BC的高度，就要知道BE和CE的高度，就要先求出AE的长度．直角三角形ACE中有坡比，由AC的长，那么就可求出AE的长，然后求出BE、CE的高度，BC=BE﹣CE，即可得出结果．
解答： 解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．
在Rt△AEC中，AC=10，由坡比为1：可知：∠CAE=30°，
∴CE=AC sin30°=10×=5，
AE=AC cos30°=10×=．
在Rt△ABE中，BE===11．
∵BE=BC+CE，∴BC=BE﹣CE=11﹣5=6（米）．
答：旗杆的高度为6米．
点评： 两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．
27．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
专题： 压轴题．
分析： （1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，∴DE===12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．
28．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）
考点： 解直角三角形的应用．
专题： 压轴题．
分析： （1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．
（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．
解答： 解：（1）如图，作AD⊥BC于点D．
Rt△ABD中，
AD=ABsin45°=4×=2．
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=4≈5.6．
即新传送带AC的长度约为5.6米；
（2）结论：货物MNQP应挪走．
解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=2．
在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2．
∴CB=CD﹣BD=2﹣2=2（﹣）≈2.1．
∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.1=1.9＜2，
∴货物MNQP应挪走．
点评： 应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．
29．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：=；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
考点： 相似三角形的判定与性质；菱形的判定．
专题： 证明题；压轴题．
分析： （1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；
（2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形．
解答： 证明：（1）∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABE，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴=，
又∵AB=AD，
∴=；
（2）设AE=x，
∵AE：EC=1：2，
∴EC=2x，
由（1）得：AB2=AE AC，即AB2=x 3x
∴AB=x，
又∵BA⊥AC，
∴BC=2x，
∴∠ACB=30°，
∵F是BC中点，
∴BF=x，
∴BF=AB=AD，
连接AF，则AF=BF=CF∠ACB=30°，∠ABC=60°，
又∵∠ABD=∠ADB=30°，
∴∠CBD=30°，
∴∠ADB=∠CBD=∠ACB=30°，
∴AD∥BF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
又∵AD=AB，
∴四边形ABFD是菱形．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出△ABE∽△ACB是解题关键．
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