山东省德州市武城二中2015-2016学年八年级上学期月考数学试卷（9月份）【解析版】

2015-2016学年山东省德州市武城二中八年级（上）月考数学试卷（9月份）
　
一．选择题（每小题0分）
1．下列亚运会会徽中的图案，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
　
2．如果等腰三角形的一个外角等于110°，则它的顶角是（　　）
A．40° B．55° C．70° D．40°或70°
3．下列判断中错误的是（　　）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
　
4．已知等腰三角形的两条边分别是4、7，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．11 B．15 C．18 D．15或18
　
5．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都错
　
6．如图所示，AB∥CD，AD∥BC，BE=DF，则图中全等三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
　
7．全等三角形是（　　）
A．三个角对应相等的三角形 B．周长相等的两个三角形[]
C．面积相等的两个三角形 D．三边对应相等的两个三角形
　
8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（　　）
A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE C．△ABE≌△ACE D．以上都不对
　
9．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（　　）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
　
10．以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
11．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，若证得BD=CD，则所用的判定两三角形全等的依据是（　　）
A．角角角 B．角边角 C．边角边 D．角角边
　
12．下列条件能判定两个三角形全等的是（　　）
A．有三个角相等 B．有一条边和一个角相等
C．有一条边和一个角相等 D．有一条边和两个角相等
　
　
二．选择题
13．如果长度分别为5，3，x的三条线段能组成一个三角形，那么x的范围是　　　　　　．
　
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=　　　　　　°．
　
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=5，AC=4，则D点到AB的距离是　　　　　　．
　
16．已知ab=2，a+b=4，则式子=　　　　　　．
　
17．如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M、N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=n，BN=k．试猜想：以m、n、k为边长的三角形的形状是（在下列括号中选择）　　　　　　．（锐角三角形；钝角三角形；直角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形）
　
　
三、解答题：
18．解方程：．
　
19．先化简，再求值：，其中x=2．
　
20．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
（1）你添加的条件是：　　　　　　；
（2）证明：
　
21．已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
求证：△ABE≌△CAD．
　
22．已知：四边形ABED中，AD⊥DE、BE⊥DE．
（1）如图1，点C是边DE的中点，且AB=2AD=2BE．判断△ABC的形状：　　　　　　（不必说明理由）；
（2）保持图1中△ABC固定不变，将直线DE绕点C旋转到图2中所在的MN的位置（垂线段AD、BE在直线MN的同侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．（2）中结论是否依然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论，并给予证明．
　
　
2015-2016学年山东省德州市武城二中八年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
　
一．选择题（每小题0分）
1．下列亚运会会徽中的图案，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的定义求解．
解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
点评： 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
　
2．如果等腰三角形的一个外角等于110°，则它的顶角是（　　）
A．40° B．55° C．70° D．40°或70°
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 题目给出了一个外角等于110°，没说明是顶角还是底角的外角，所以要分两种情况进行讨论．
解答： 解：（1）当110°角为顶角的外角时，顶角为180°﹣110°=70°；
（2）当110°为底角的外角时，底角为180°﹣110°=70°，
顶角为180°﹣70°×2=40°；
故选D．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
　
3．下列判断中错误的是（　　）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
考点： 全等三角形的判定．
分析： 要判断选项的正误一定要结合三角形全等的判定方法对选项逐一验证，其中B满足SSA是不能判定三角形全等的，SSA不能作为三角形全等的判定方法使用．
解答： 解：∵两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA，HL．
∴A、是AAS或ASA；可以判定三角形全等，故A选项正确．
B、是SSA；是不能判定三角形全等的．故B选项错误．
C、利用SSS；可以判定三角形全等．故C选项正确．
D、利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项正确．
故选B．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
4．已知等腰三角形的两条边分别是4、7，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．11 B．15 C．18 D．15或18
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 分3是腰长与底边两种情况讨论求解．
解答： 解：①4是腰长时，三角形的三边分别为7、4、4，
能组成三角形，周长=7+4+4=15，
②4是底边长时，三角形的三边分别为7、7、4，
能组成三角形，周长=7+7+4=18，
综上所述，这个等腰三角形的周长是15或18，
故选D．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
　
5．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都错
考点： 三角形内角和定理．
分析： 设三角形的三角的度数是x°，2x°，3x°，得出方程x+2x+3x=180，求出方程的解即可．
解答： 解：设三角形的三角的度数是x°，2x°，3x°，
则x+2x+3x=180，
x=30，
3x=90°，
即三角形是直角三角形，
故选A．
点评： 本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形内角和等于180°．
　
6．如图所示，AB∥CD，AD∥BC，BE=DF，则图中全等三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
考点： 全等三角形的判定．
分析： 先证明四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，再利用BE=DF可以证明△ABE≌△CDF，同理可证△AED≌△CFB．
解答： 解：①∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴ABD≌△CDB；
②∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
③∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即BF=DE，
同理可证△AED≌△CFB；
所以图中全等三角形共有3对．
故选B．
点评： 本题主要考查全等三角形的判定，先根据平行证明四边形为平行四边形，再利用平行四边形的性质是解答本题的前提，也是解答本题的突破口和关键．做题时从已知开始结合全等的判定方法由易到难逐个找寻．
　
7．全等三角形是（　　）
A．三个角对应相等的三角形 B．周长相等的两个三角形
C．面积相等的两个三角形 D．三边对应相等的两个三角形
考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据全等三角形的定义及性质对各个选项进行分析即可．
解答： 解：A，两个大小不等的等边三角形三个角均相等，但其不是全等三角形，故不正确；
B，周长相等不一定各边对应相等，故不正确；
C，面积相等的两个三角形不一定对应边相等，对应角相等，故不正确；
D，符合全等三角形的SSS判定方法，故正确；
故选D．
点评： 此题主要考查全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等．
　
8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（　　）
A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE C．△ABE≌△ACE D．以上都不对
考点： 全等三角形的判定．
分析： 先根据SSS证△ABE≌△ACE，推出∠BAD=∠CAD，∠BEA=∠CEA，求出∠BED=∠CED，再证△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE即可．
解答： 解：∵在△ABE和△ACE中
，
∴△ABE≌△ACE（SSS），故选项C正确；
∵△ABE≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），故选项A错误；
∵△ABE≌△ACE，
∴∠BEA=∠CEA，
∵∠BEA+∠BED=180°，∠CEA+∠CED=180°，
∴∠BED=∠CED，
在△BDE和△CDE中
，
∴△BDE≌△CDE（SAS），故选项B错误；
故选C．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．[]
　
9．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（　　）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
考点： 全等三角形的判定．
分析： 全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
解答： 解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；
图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；
图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；
故选B．
点评： 本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
　
10．以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点： 三角形三边关系．
分析： 从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
解答： 解：首先可以组合为13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不符合，则可以画出的三角形有3个．
故选：C．
点评： 考查了三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．这里一定要首先把所有的情况组合后，再看是否符合三角形的三边关系．
　
11．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，若证得BD=CD，则所用的判定两三角形全等的依据是（　　）
A．角角角 B．角边角 C．边角边 D．角角边
考点： 全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 因为∠1=∠2，∠3=∠4，若证得BD=CD，则有两角及一边对应相等，故可根据AAS判定两三角形全等．
解答： 解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，BD=CD[]
∴△ABD≌△ACD．（AAS）
故选D．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
12．下列条件能判定两个三角形全等的是（　　）
A．有三个角相等 B．有一条边和一个角相等
C．有一条边和一个角相等 D．有一条边和两个角相等
考点： 全等三角形的判定．
分析： 由三角形全等的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS，得出A、B、C不能判定，D能判定；即可得出结论．
解答： 解：∵三角形全等的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS；
A、B、C不能满足某一个判定方法，
∴A、B、C不能判定两个三角形全等；
D能判定两个三角形全等；
∵D满足三角形全等的判定方法AAS或ASA，
∴D能判定．
故选：D．
点评： 本题考查了全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
　
二．选择题
13．如果长度分别为5，3，x的三条线段能组成一个三角形，那么x的范围是　2＜x＜8　．
考点： 三角形三边关系．
分析： 根据三角形的三边关系，则第三边大于两边之差，而小于两边之和．
解答： 解：根据三角形的三边关系，得：2＜x＜8．
点评： 此题考查了三角形的三边关系．
　
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=　30　°．
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析： 根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后求解即可．
解答： 解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=（180°﹣∠A）=（180°﹣40°）=70°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故答案为：30．
点评： 本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
　
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=5，AC=4，则D点到AB的距离是　3　．
考点： 角平分线的性质．
分析： 过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出CD，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD．
解答： 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD=5，AC=4，∠C=90°，
∴CD===3，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=CD=3．
故答案为：3．
点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
　
16．已知ab=2，a+b=4，则式子=　6　．
考点： 分式的加减法．
专题： 计算题．
分析： 原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用完全平方公式变形后，将ab与a+b的值代入计算即可求出值．
解答： 解：∵ab=2，a+b=4，
∴原式=
=
=
=6．
故答案为：6．
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
17．如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M、N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=n，BN=k．试猜想：以m、n、k为边长的三角形的形状是（在下列括号中选择）　直角三角形　．（锐角三角形；钝角三角形；直角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形）
考点： 勾股定理的逆定理；等腰直角三角形．
分析： 把△ACN绕C点逆时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、x、n集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．
解答： 解：如图：作△ACM≌△BCD，
∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，∠MCN=∠NCD=45°，
又∵CN=CN，
∴△MNC≌△DNC，MN=ND，AM=BD=m，
又∠DBN=45°+45°=90°，
∴n2=m2+k2．
∴以m、n、k为边长的三角形的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
点评： 本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；（2）图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
　
三、解答题：
18．解方程：．
考点： 解分式方程．
专题： 方程思想．
分析： 观察可得最简公分母是x（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答： 解：x2+x（x+1）=（2x+1）（x+1）（2分）
x2+x2+x=2x2+3x+1，
解这个整式方程得：，（4分）
经检验：把代入x（x+1）≠0．
∴原方程的解为．（5分）
点评： 考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
　
19．先化简，再求值：，其中x=2．
考点： 分式的化简求值．
分析： 这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．
解答： 解：
=[﹣]×
=×
=2（x+3），
当x=2时，2（x+3）=2×5=10．
点评： 考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
　
20．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
（1）你添加的条件是：　BD=DC（或点D是线段BC的中点）或FD=ED或CF=BE　；
（2）证明：
考点： 全等三角形的判定．
专题： 证明题；开放型．
分析： （1）由已知可证∠FCD﹦∠EBD，又∠FDC﹦∠EDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：BD=DC（或点D是线段BC的中点）或FD=ED或CF=BE．
（2）以BD=DC为例进行证明，由已知可证∠FCD﹦∠EBD，又∠FDC﹦∠EDB，可根据AAS判定△BDE≌△CDF．
解答： 解：（1）BD=DC（或点D是线段BC的中点）或FD=ED或CF=BE中
任选一个即可．
（2）以BD=DC为例进行证明：
∵CF∥BE，
∴∠FCD﹦∠EBD，
在△BDE与△CDF中，
∵，
∴△BDE≌△CDF（ASA）
点评： 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
　
21．已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
求证：△ABE≌△CAD．
考点： 全等三角形的判定；等边三角形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据等边三角形的性质得∠BAC=∠C=60°，AB=CA，然后根据“SAS”可判断△ABE≌△CAD．
解答： 证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”．也考查了等边三角形的性质．
　
22．已知：四边形ABED中，AD⊥DE、BE⊥DE．
（1）如图1，点C是边DE的中点，且AB=2AD=2BE．判断△ABC的形状：　等腰直角三角形　（不必说明理由）；[]
（2）保持图1中△ABC固定不变，将直线DE绕点C旋转到图2中所在的MN的位置（垂线段AD、BE在直线MN的同侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．（2）中结论是否依然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论，并给予证明．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： （1）如图1，作CF⊥AB于点F．根据条件可以直接得出△CDA≌△CEB就可以得出AC=BC，∠ACB=90°而得出结论；
（2）如图2，由（1）的结论可以得出△ADC≌△CEB，就可以得出AD=CE，DC=EB进而可以得出结论；
（3）如图3，由（1）的结论可以得出△ADC≌△CEB，就可以得出AD=CE，DC=EB进而可以得出结论；，
解答： 解：（1）等腰直角三角形．
理由：作CF⊥AB于点F．
∵AD⊥DE、BE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°．
∵点C是边DE的中点，
∴CD=CE．
∵AB=2AD=2BE，
∴AD=BE=AB．
在△CDA和△CEB中
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AC=BC，∠1=∠2．
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=∠BFC=90°，AF=BF=AB．
．∴AF=AD=BF=BE．[]
在Rt△ADC和Rt△AFC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△AFC（HL），
∴∠ACD=∠ACF．
在Rt△BEC和Rt△BFC中
，
∴Rt△BEC≌Rt△BFC（HL），
∴∠BCF=∠BCE．
∵∠ACD+∠ACF+∠BCF+∠BCE=180°
∴∠ACD=∠ACF=∠BCF=∠BCE=45°，
∴∠ACB=90°
∴△ACB是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形；
（2）DE=AD+BE；
证明：如图2，[]
∵∠ACB=∠D=90°，
∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠CAD=∠2．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC=BE，CE=AD，
∵DE=DC+CE，
∴DE=BE+AD；
（3）DE=BE﹣AD
如图3，∵∠ACB=∠D=90°，
∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠CAD=∠2．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC=BE，CE=AD．
∵DE=DC﹣CE，
∴DE=BE﹣AD．
点评： 本题考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．