（湘教版）必修4（备课资源）第8章 余弦定理

课件23张PPT。【课标要求】
1．理解用向量方法推导余弦定理的过程，进一步巩固向
量知识，体会向量的工具性．
2．掌握余弦定理，能用余弦定理解三角形．
8.2　余弦定理三角形余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的________减去这两边与它们的夹角的余弦的积的______倍，即a2＝b2＋c2－________，b2＝________＋a2－2cacos B，c2＝________．
答案　平方的和　两　2bccos A　c2　a2＋b2－2abcos C
自学导引1．2．已知△ABC的三边a、b、c，△ABC能否唯一确定？如何确定角A?
在解三角形的过程中，求某一个角时既可用余弦定理，也可用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？
提示　在区间(0，π)上，y＝cos x是单调函数，由余弦定理可唯一确定相应角的值(但计算复杂)．利用正弦定理时，由于y＝sin x在(0，π)不单调．根据正弦值求所对应的角时，有时可确定两角，因此应结合题设条件判定解的个数．
自主探究2．1．?
在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝ (　　)．
答案　A
预习测评1．
答案　C
2．在△ABC中，sin A＝2cos Bsin C，则三角形为________．
解析　利用正弦定理和余弦定理化边为角，即sin(B＋C)＝2cos Bsin C，
sin Bcos C＋cos Bsin C＝2cos Bsin C，
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，∴sin(B－C)＝0,
∴∠B＝∠C.
∴b2＝c2，∴b＝c.
答案　等腰三角形
3．在△ABC中，若a2解析　由余弦定理及已知得a2＝b2＋c2－2bccos A0.所以A为锐角．
答案　锐角4．坐标法证明余弦定理
教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出坐标法证明．名师点睛1．证明　如图所示，以△ABC的顶点A为原点，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B可作角A终边的一个点，它到原点的距离r＝c，设点B的坐标
为(x，y)，由三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A，即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是(b，0)．
两边平方得：
a2＝(b－ccos A)2＋(－csin A)2＝b2＋c2－2bccos A.
以△ABC的顶点B或顶点C为原点，建立直角坐标系，同样可证b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍．
注意　(1)利用余弦定理及推论，可以解决以下两类三角形的问题：
①已知三边，求三个角．
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
这两种类型问题在有解时都只有一个解．
(2)余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式．
2．题型一　已知两边及夹角解三角形【例1】典例剖析
方法点评　已知三角形的两边和夹角解三角形，基本思路是先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求其他各角．
1．已知三角形ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，求c.
题型二　已知三边解三角形【例2】
在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
且2cos Asin B＝sin C，试确定△ABC的形状．
题型三　判断三角形的形状【例3】所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，
所以b＝c.所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．
法二　利用角的关系来判定．
因为A＋B＋C＝180°，所以sin C＝sin(A＋B)．
又因为2cos Asin B＝sin C，
所以2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin(A－B)＝0.
因为A、B均为三角形的内角，所以A＝B.
又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，
即a2＋b2－c2＝ab.
方法点评　本题型是用正余弦定理判定三角形的形状，常有两种思路，一是通过三角形的边的关系，二是通过三角形的角的关系，这都可以用正弦定理和余弦定理来实现转化．
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断三角形的形状．
解　将已知等式变形为
b2(1－cos 2C)＋c2(1－cos 2B)
＝2bccos Bcos C，
3． 已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是多少？
[错解]　由三角形中三边的关系知3－1错因分析　错误的根源在于审题不清，漏掉“锐角三角形”的限制条件．
误区警示　 审题不清，导致错误【例4】纠错心得　在△ABC 中，若A为锐角，则有a2b2＋c2.解决此类问题时要仔细审题，加强训练，培养思维的严密性．
余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系．
正弦定理可解决已知三角形的两边及其中一边的对角或两角及一边，求三角形的其他元素的问题，余弦定理可解决已知三角形的两边及其夹角或三边求其他元素的问题，在解三角形时，要根据题目的条件确定是用正弦定理来解还是用余弦定理来解，同时在解题过程中要注意将正弦定理、余弦定理进行有机结合，这样会给运算带来方便．
课堂总结1．2．