（湘教版）必修4（备课资源）第8章 解三角形 章末归纳整合

课件19张PPT。知识网络章 末 归 纳 整 合解三角形常见类型及解法
在三角形的6个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：
要点归纳1．三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
2.(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
3．
解三角形应用题的基本思路
解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．4．专题一　利用正、余弦定理判断三角形的形状一般来说，利用正弦定理或余弦定理来判断三角形的形状的问题，按所用知识分类有利用正弦定理、利用余弦定理、同时利用正弦定理和余弦定理三种；按解题方法分类有通过边来判断与通过角来判断两种．为了帮助大家弄清这类问题的解法，下面按照所用知识分类举例说明．
在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC是 (　　)．
A．直角三角形　　　　　　B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案　B
【例1】
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案　D
【例2】
答案　等腰三角形
【例3】正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理，应用极为广泛，它将三角形的边和角有机地联系了起来．正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量，如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础，而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据．
专题二　正、余弦定理的综合应用 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcos C＝(2a－c)cos B.
(1)求∠B的大小；
解　(1)由已知及正弦定理可得
sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C.
∴2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin(B＋C)．
又在△ABC中，sin(B＋C)＝sin A≠0，
【例4】(2)∵b2＝7＝a2＋c2－2accos B，∴7＝a2＋c2－ac.
又∵(a＋c)2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ac＝3.
方法点评　三角形中含有边角的混合关系式，一般先通过正弦定理或余弦定理化成只含角的关系式或只含边的关系式，再解三角形．
正弦定理、余弦定理在实际生产生活中有着非常广泛的应用．常见题有距离问题、高度问题、角度问题以及求平面图形的面积问题等．解决这类问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，可用框图表示：
专题三　应用举例
解　在△ACD中，∠DAC＝30°，
∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1，
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
【例5】故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.
方法点评　解斜三角形应用题的一般步骤为：
①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解．