26.3.1 探索生活中的抛物线形问题习题课件（30张PPT）2023-2024学年华东师大版数学九年级下册

(共30张PPT)
26.3 实践与探索
课时1 探索生活中的抛物线形问题
过基础 教材必备知识精练
1.[2023宜昌中考]如图，一名学生推铅球，铅球
行进高度 （单位： ）与水平距离 （单
位： ）之间的关系是
，则铅球推出的距离
____ .
10
【解析】 令 ，则 ，解得 ，
， ．
2.[2023滨州中考]如图，要修一个圆形喷水池，在
池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水
头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离
为 处达到最高，高度为 ，水柱落地处离池
中心 ，水管长度应为_______.
2.25m
【解析】 以池的中心为原点，竖直安装的水管为 轴，与水管垂直的水
平线为 轴建立平面直角坐标系．因为在距池中心的水平距离为 处达
到最高，高度为 ，所以设抛物线的表达式为
（顶点式），将 代入，得 ，
所以该抛物线的表达式为 .令 ，则
，故水管长度为 ．
3.[2022安丘一模]如图1是古代的一种远程攻击武器，发射出去的石块的运
动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米.将此
武器发射点置于山坡底部 处，山坡上有一点 ，点 与点 的水平距离
为30米且与地面的竖直距离为3米， 是高度为2.8米的防御墙.若以点
为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系.
图1
图2
（1）石块运动轨迹所在抛物线的表达式为_ ________________；
；
【解析】 设石块的运动轨迹所在抛物线的表达式为 ，
把 代入，得 ，解得 ，
，即 .
（2）石块____飞越防御墙 （填“能”或“不能”）.
能
【解析】 把 代入 ，得 ,
, 石块能飞越防御墙 .
4.教材P28练习变式 如图，隧道的截面由抛物线和长
方形构成，长方形的长是 ，宽是 .按照图中
所示的平面直角坐标系，抛物线可用
表示，且抛物线上的点 到墙面
的水平距离为 ，到地面 的距离为 .
（1）求该抛物线对应的二次函数的表达式，并计算出拱顶 到地面
的距离.
解：由题意得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， 两点在抛物线 上，
解得
该抛物线对应的二次函数的表达式为 .
，
拱顶 到地面 的距离为 .
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 ，宽为 ，如果隧道
内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
由题意得这辆货车最外侧与地面 的交点为 或 ，
当 或 时， , ，
这辆货车能安全通过.
【解题通法】
判断汽车能否从隧道下通过
（1）固定汽车的宽，判断隧道是否够高（即已知 的值，根据函数
表达式求出 的值，比较限制的高与 值的大小）；（2）固定汽车的高，
判断隧道是否够宽（即已知 的值，根据函数表达式求出 的值，比较限
制的宽与 值的大小）.
26.3 实践与探索
课时1 探索生活中的抛物线形问题
过能力 学科关键能力构建
1.[2022黄冈三模]如图1，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文
化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化.如图2，“门”
的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为 ，高度为 ，则离
地面 处的水平宽度（即 的长）为( )
图1
图2
C
A. B. C. D.
【解析】 如图，建立平面直角坐标系，易得 ，
， .设抛物线的表达式为
，将 代入，得
，解得 ， 抛物线的表
达式为 .将 代入，得
，解得 ， ， ，
.
2.教材P34复习题 变式 株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系，如图
1.小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着的9根支柱，他回
家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高（中柱）为10米，于是
他建立了如图2所示的平面直角坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来
了，你认为中柱右边第二根支柱的高度是( )
图1
图2
D
A.7米 B.7.6米 C.8米 D.8.4米
【解析】 根据题意可得点 的坐标是 ，设抛物线对应的二次函数的表达式为 ，将点 的坐标代入 ，得 ，解得 ，所以该抛物线对应的函数表达式为
． 可设中柱右边第二根支柱上端点的坐标为 ，于是
，所以中柱右边第二根支柱的高度是 （米）．
3.新情境[2023长春中考]2023年5月28日， 商业首航完成——中国民
航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过
隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）.如图1，
在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水
柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图2，当两辆消防车喷水口 ，
的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点 处相遇，此时相遇
点 距地面20米，喷水口 ， 距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10
米，两条水柱的形状及喷水口 ， 到地面的距离均保持不变，则此时
两条水柱相遇点 距地面____米.
19
图1
图2
【解析】 由题意可知， ， ， .设抛物线的表达
式为 ，将点 的坐标代入 ，解得
， 消防车同时后退10米， 抛物线
向左（右）平移10米，平移后抛物线的表达式为
，令 ，解得 ．
素养提升
4.新考法 应用意识[2023贵州中考]如图1，是一座抛物线形拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图2），抛物线的顶点在 处，对称轴 与水平线 垂直， ，点 在抛物线上，且点 到对称轴的距离 ，点 在抛物线上，点 到对称轴的距离是1.
图1
图2
备用图
（1）求该抛物线的表达式；
解：设抛物线的表达式为 ，
把点 的坐标代入，得 ，解得 ，
该抛物线的表达式为 .
（2）如图2，为更加稳固，小星想在 上找一点 ，加装拉杆 ， ，
同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点 的位置并求出坐标；
【解析】 解题思路：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 于点 ， 则点 即所求；
如图，作点 关于 轴的对称点 ，则 ，连接 交 于点 ，则点 即所求.
把 代入 ，得 ，
.
设直线 的表达式为 ，
解得 .
令 ，得 ， 点 的坐标为 .
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为
，当 时，函数 的值总大于等于
9.求 的取值范围.
【解析】 解题思路：分 ， ，
三种情况讨论，结合二次函数的图象和性质，列不等式求得
的取值范围．
，
抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 .
①当 时，得 ，
解得 ， .
②当 时，由 ，得 ，
（抛物线开口向下，点离对称轴的距离越远，对应的函数值越小），解得 ， .
由 ，得 ，
，解得 ， .
故当 时，都成立.
③当 时，得 ，
解得 ， .
综上所述， 的取值范围为 ．