第十四章《三角形》（基础过关测试卷）（含解析）七年级数学下册沪教版
文档属性
| 名称 | 第十四章《三角形》（基础过关测试卷）（含解析）七年级数学下册沪教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 200.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-24 21:16:55 | ||
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文档简介
第十四章《三角形》（基础过关测试卷）
一、单选题（共6小题，每小题4分，共24分）
1.下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是（ ）
A．由四边形组成的伸缩门
B．自行车的三角形车架
C．斜钉一根木条的长方形窗框
D．照相机的三脚架
2.如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3.如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并且测出DE的长即为A，B间的距离，这样实际上可以得到△ABC≌△DEC，理由是（ ）
A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS
4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，延长CP，DP交OB，OA于点E，F．下列结论错误的是（ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．PC＝PE
5.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
6.已知，如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD＝BE；②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正确的结论是（ ）
A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④
二、填空题（共12小题,每小题4分，共48分）
7.等腰△ABC，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D，如果BC＝6，则BD＝ ．
8.如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB＝9，BE＝8，则AC的长是 ．
9.如图，将一副三角板如图摆放，则图中∠1的度数是 度．
10.如图所示，点D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB上的点，则∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6这六个角的度数的和是 ．
11.如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，则∠APB＝ ．
12.若△ABC的边AB、BC的长是方程组的解，设边AC的长为m，则m的取值范围是 ．
13.AD为△ABC中的中线，若AB＝8，AC＝6，那么AD的取值范围是 ．
14.如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，连接DE，则∠BDE＝ °．
15.如图，EB交AC于点M，交CF于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②CD＝DN；③△ACN≌△ABM；④BE＝CF．其中正确的结论有 ．（填序号）
16.已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
17.如图，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于点O，∠BOC＝140°，则∠A＝ °．
18.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．
（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC 度；
（2）如图2，设∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝ ．（用含α的式子表示）
三、解答题（共78分）
19.如图，在△ABC和△DCB中，AB⊥AC，CD⊥BD，AB＝DC，AC与BD交于点O．求证：AC＝BD．
20.如图，在 ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝DF．
21.已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求c边的长；
（2）判断△ABC的形状．
22.图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图②拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积；
方法一： ；
方法二： ；
（2）观察图②，请直接写出下列三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，4mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若p+q＝9，pq＝7，求（p﹣q）2的值．
23.如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
24.如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
25.如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN
（1）求证：AM＝BN；
（2）分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系（不需证明）；
（3）如图4，当BM＝AB时，证明：MN⊥AB．
答案
一、单选题
1.A
【分析】利用三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：由四边形组成的伸缩门是利用了四边形的不稳定性，
而A、C、D选项都是利用了三角形的稳定性，
故选：A．
2.B
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．
故选：B．
3.D
【分析】利用SAS定理判定△ABC≌△DEC即可．
【解答】证明：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
故选：D．
4.D
【分析】根据AAS证明△POD≌△POC（AAS），可得结论．
【解答】解：∵OP平分∠AOB，
∴∠POD＝∠POC，
∵PD⊥OB，PC⊥OA，
∴∠PCO＝∠PDO，
在△POD和△POC中，
，
∴△POC≌△POD（AAS），
∴PC＝PD，OC＝OD，∠CPO＝∠DPO，故A，B，C正确；
故选：D．
5.C
【分析】由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF＝DE，BF＝CD＝3，由线段垂直平分线的性质可得AD＝AF＝8．
【解答】解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
在△BEF与△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴EF＝DE，BF＝CD＝3，
∴AF＝AB+BF＝8，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝8，
故选：C．
6.D
【分析】先由SAS判定△ACD≌△BCE，证得①正确；再由ASA证△ACP≌△BCQ，得到CP＝CQ，②正确，同理证得CM＝CN，得到④正确；易得③不正确．
【解答】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠ECD，∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①正确；
∠CAD＝∠CBE，
∵∠BCA＝∠BCD＝60°，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△CPQ是等边三角形，故②正确；
过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴CM＝CN，
∵CM⊥BE，CN⊥AD，
∴OC平分∠AOE，故④正确；
当AC＝CE时，AP平分∠BAC，
则∠PAC＝30°，此时∠APC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
则AD⊥BC，故③不正确；
故选：D．
二、填空题
7.3
【分析】根据等腰三角形的三线合一解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
故答案为：3．
8.13
【分析】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，BE＝8，
∴BC＝BE＝8，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30，
∴AC＝30﹣AB﹣BC＝13，
故答案为：13．
9.105
【分析】根据三角形的外角性求出∠2，根据补角的概念求出∠1．
【解答】解：由三角形的外角性质控可知，∠2＝30°+45°＝75°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝105°，
故答案为：105．
10.360°
【分析】利用三角形的外角的性质把这六个角转化到一个四边形中，即可求得结果．
【解答】解：不妨设AD和CF交于点M，BE和CF交于点N，
则∠AMC＝∠2+∠3，∠ENF＝∠1+∠6，
而∠AMC+∠ENF+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．
故答案为：360°．
11.115°
【分析】依据∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，即可得出∠BAP+∠2＝65°，进而得到△ABP中，∠APB＝180°﹣65°＝115°．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，
∴∠BAP+∠2＝65°，
∴△ABP中，∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
12.3＜m＜9
【分析】直接利用三角形三边关系得出答案．
【解答】解：∵△ABC的边AB、BC的长是方程组的解，边AC的长为m，
∴m的取值范围是：3＜m＜9，
故答案为：3＜m＜9．
13.1＜AD＜7
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
14.50
【分析】根据三角形内角和定理和三等分角的意义求解即可．
【解答】解：∵BD、BE三等分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC；
又∵CD、CE三等分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB；
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BDC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝60°+∠A，
∵∠A＝60°，
∴∠BDC＝60°+×60°＝100°，
∵BE，CE是△BDC的角平分线，
∴ED平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠BDC＝50°，
故答案为：50．
15.①③④
【分析】①根据已知条件可以证明在△ABE和△ACF全等，即可得∠1＝∠2；
②没有条件可以证明CD＝DN，即可判断；
③结合①和已知条件即可得△ACN≌△ABM；
④根据△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，
【解答】解：①在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠EAB﹣∠BAC＝∠FAC﹣∠BAC，
∴∠1＝∠2．
∴①正确；
没有条件可以证明CD＝DN，
∴②错误；
∵△ABE≌△ACF，
∴AB＝AC，
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA），
∴③正确；
∵△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF，
∴④正确．
∴其中正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
16.7
【分析】根据非负数的性质求得x、y的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可．
【解答】解：∵|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，
∴x＝3，y＝1．
当腰长为3时，三边长为3、3、1，周长＝3+3+1＝7；
当腰长为1时，三边长为3、1、1，1+1＜3，不能组成三角形．
故答案为：7．
17.100
【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∵∠BOC＝140°，
∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100
18.【第1空】=25
【第2空】α-90°
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACE，推出△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，求得△DAE是等边三角形，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE＝90°﹣，求得∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，
故答案为：25；
（2）连接CE，
∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝90°﹣，
∴∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．
故答案为：α﹣90°．
三、解答题
19.证明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）．
∴AC＝BD．
20.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE．
又∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AFD＝∠CEB＝90°，
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB（AAS），
∴BE＝DF．
21.解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10，
∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴2＜c＜8，
∴c＝4或6；
（2）当c＝4或6时，△ABC的形状都是等腰三角形．
22.解：（1）方法一：（m﹣n）2，
方法二：（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；
（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）当p+q＝9，pq＝7时，（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝92﹣4×7＝81﹣28＝53．
23.（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．
24.解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
，
解得；
综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等．
25.（1）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，
∴∠BPA＝∠MPN＝60°，AB＝BP＝AP，PM＝PN＝MN，
∴∠BPA﹣∠MPB＝∠MPN﹣∠MPB，
∴∠APM＝∠BPN．
在△APM≌△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（SAS），
∴AM＝BN．
（2）解：图2中BN＝AB+BM；
图3中BN＝BM﹣AB．
（3）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，
∴∠ABP＝∠PMN＝60°，AB＝PB，
∴∠PBM＝120°，
∵BM＝AB＝PB，
∴∠BMP＝30°，
∴∠BMN＝∠PMN+∠BMP＝90°，
∴MN⊥AB．
一、单选题（共6小题，每小题4分，共24分）
1.下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是（ ）
A．由四边形组成的伸缩门
B．自行车的三角形车架
C．斜钉一根木条的长方形窗框
D．照相机的三脚架
2.如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3.如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并且测出DE的长即为A，B间的距离，这样实际上可以得到△ABC≌△DEC，理由是（ ）
A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS
4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，延长CP，DP交OB，OA于点E，F．下列结论错误的是（ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．PC＝PE
5.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
6.已知，如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD＝BE；②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正确的结论是（ ）
A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④
二、填空题（共12小题,每小题4分，共48分）
7.等腰△ABC，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D，如果BC＝6，则BD＝ ．
8.如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB＝9，BE＝8，则AC的长是 ．
9.如图，将一副三角板如图摆放，则图中∠1的度数是 度．
10.如图所示，点D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB上的点，则∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6这六个角的度数的和是 ．
11.如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，则∠APB＝ ．
12.若△ABC的边AB、BC的长是方程组的解，设边AC的长为m，则m的取值范围是 ．
13.AD为△ABC中的中线，若AB＝8，AC＝6，那么AD的取值范围是 ．
14.如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，连接DE，则∠BDE＝ °．
15.如图，EB交AC于点M，交CF于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②CD＝DN；③△ACN≌△ABM；④BE＝CF．其中正确的结论有 ．（填序号）
16.已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
17.如图，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于点O，∠BOC＝140°，则∠A＝ °．
18.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．
（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC 度；
（2）如图2，设∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝ ．（用含α的式子表示）
三、解答题（共78分）
19.如图，在△ABC和△DCB中，AB⊥AC，CD⊥BD，AB＝DC，AC与BD交于点O．求证：AC＝BD．
20.如图，在 ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝DF．
21.已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求c边的长；
（2）判断△ABC的形状．
22.图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图②拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积；
方法一： ；
方法二： ；
（2）观察图②，请直接写出下列三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，4mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若p+q＝9，pq＝7，求（p﹣q）2的值．
23.如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
24.如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
25.如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN
（1）求证：AM＝BN；
（2）分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系（不需证明）；
（3）如图4，当BM＝AB时，证明：MN⊥AB．
答案
一、单选题
1.A
【分析】利用三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：由四边形组成的伸缩门是利用了四边形的不稳定性，
而A、C、D选项都是利用了三角形的稳定性，
故选：A．
2.B
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．
故选：B．
3.D
【分析】利用SAS定理判定△ABC≌△DEC即可．
【解答】证明：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
故选：D．
4.D
【分析】根据AAS证明△POD≌△POC（AAS），可得结论．
【解答】解：∵OP平分∠AOB，
∴∠POD＝∠POC，
∵PD⊥OB，PC⊥OA，
∴∠PCO＝∠PDO，
在△POD和△POC中，
，
∴△POC≌△POD（AAS），
∴PC＝PD，OC＝OD，∠CPO＝∠DPO，故A，B，C正确；
故选：D．
5.C
【分析】由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF＝DE，BF＝CD＝3，由线段垂直平分线的性质可得AD＝AF＝8．
【解答】解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
在△BEF与△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴EF＝DE，BF＝CD＝3，
∴AF＝AB+BF＝8，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝8，
故选：C．
6.D
【分析】先由SAS判定△ACD≌△BCE，证得①正确；再由ASA证△ACP≌△BCQ，得到CP＝CQ，②正确，同理证得CM＝CN，得到④正确；易得③不正确．
【解答】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠ECD，∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①正确；
∠CAD＝∠CBE，
∵∠BCA＝∠BCD＝60°，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△CPQ是等边三角形，故②正确；
过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴CM＝CN，
∵CM⊥BE，CN⊥AD，
∴OC平分∠AOE，故④正确；
当AC＝CE时，AP平分∠BAC，
则∠PAC＝30°，此时∠APC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
则AD⊥BC，故③不正确；
故选：D．
二、填空题
7.3
【分析】根据等腰三角形的三线合一解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
故答案为：3．
8.13
【分析】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，BE＝8，
∴BC＝BE＝8，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30，
∴AC＝30﹣AB﹣BC＝13，
故答案为：13．
9.105
【分析】根据三角形的外角性求出∠2，根据补角的概念求出∠1．
【解答】解：由三角形的外角性质控可知，∠2＝30°+45°＝75°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝105°，
故答案为：105．
10.360°
【分析】利用三角形的外角的性质把这六个角转化到一个四边形中，即可求得结果．
【解答】解：不妨设AD和CF交于点M，BE和CF交于点N，
则∠AMC＝∠2+∠3，∠ENF＝∠1+∠6，
而∠AMC+∠ENF+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．
故答案为：360°．
11.115°
【分析】依据∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，即可得出∠BAP+∠2＝65°，进而得到△ABP中，∠APB＝180°﹣65°＝115°．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，
∴∠BAP+∠2＝65°，
∴△ABP中，∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
12.3＜m＜9
【分析】直接利用三角形三边关系得出答案．
【解答】解：∵△ABC的边AB、BC的长是方程组的解，边AC的长为m，
∴m的取值范围是：3＜m＜9，
故答案为：3＜m＜9．
13.1＜AD＜7
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
14.50
【分析】根据三角形内角和定理和三等分角的意义求解即可．
【解答】解：∵BD、BE三等分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC；
又∵CD、CE三等分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB；
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BDC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝60°+∠A，
∵∠A＝60°，
∴∠BDC＝60°+×60°＝100°，
∵BE，CE是△BDC的角平分线，
∴ED平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠BDC＝50°，
故答案为：50．
15.①③④
【分析】①根据已知条件可以证明在△ABE和△ACF全等，即可得∠1＝∠2；
②没有条件可以证明CD＝DN，即可判断；
③结合①和已知条件即可得△ACN≌△ABM；
④根据△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，
【解答】解：①在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠EAB﹣∠BAC＝∠FAC﹣∠BAC，
∴∠1＝∠2．
∴①正确；
没有条件可以证明CD＝DN，
∴②错误；
∵△ABE≌△ACF，
∴AB＝AC，
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA），
∴③正确；
∵△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF，
∴④正确．
∴其中正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
16.7
【分析】根据非负数的性质求得x、y的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可．
【解答】解：∵|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，
∴x＝3，y＝1．
当腰长为3时，三边长为3、3、1，周长＝3+3+1＝7；
当腰长为1时，三边长为3、1、1，1+1＜3，不能组成三角形．
故答案为：7．
17.100
【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∵∠BOC＝140°，
∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100
18.【第1空】=25
【第2空】α-90°
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACE，推出△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，求得△DAE是等边三角形，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE＝90°﹣，求得∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，
故答案为：25；
（2）连接CE，
∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝90°﹣，
∴∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．
故答案为：α﹣90°．
三、解答题
19.证明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）．
∴AC＝BD．
20.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE．
又∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AFD＝∠CEB＝90°，
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB（AAS），
∴BE＝DF．
21.解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10，
∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴2＜c＜8，
∴c＝4或6；
（2）当c＝4或6时，△ABC的形状都是等腰三角形．
22.解：（1）方法一：（m﹣n）2，
方法二：（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；
（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）当p+q＝9，pq＝7时，（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝92﹣4×7＝81﹣28＝53．
23.（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．
24.解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
，
解得；
综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等．
25.（1）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，
∴∠BPA＝∠MPN＝60°，AB＝BP＝AP，PM＝PN＝MN，
∴∠BPA﹣∠MPB＝∠MPN﹣∠MPB，
∴∠APM＝∠BPN．
在△APM≌△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（SAS），
∴AM＝BN．
（2）解：图2中BN＝AB+BM；
图3中BN＝BM﹣AB．
（3）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，
∴∠ABP＝∠PMN＝60°，AB＝PB，
∴∠PBM＝120°，
∵BM＝AB＝PB，
∴∠BMP＝30°，
∴∠BMN＝∠PMN+∠BMP＝90°，
∴MN⊥AB．