沪教版七年级数学下册试题 第十三章 相交线与平行线单元综合提优练习（含解析）

第十三章 相交线与平行线单元综合提优练习
一、单选题
1．下列语句：
①相等的角是对顶角；
②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④平行线间的距离处处相等．
其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　　）
A．32° B．58°
C．68° D．60°
4．把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么的度数是（ ）
A．75°； B．90°； C．100°； D．105°．
5．如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=40°．在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（　　）
A．60° B．80° C．100° D．120°
6．下列说法不正确的是（ ）
A．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁对角的角平分线互相垂直
B．同一平面内，两条不重合的直线不平行就相交
C．两条直线的夹角α满足
D．两直线相交所形成的角中，若有三个角相等，则两条直线垂直
7．如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=
A．70° B．80°
C．90° D．100°
8．有下列说法：（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．下列说法正确的个数是（ ）．
（1）无理数不能在数轴上表示
（2）两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
（3）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
（4）两点之间线段最短
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，AB//CD ，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，如果∠EFG=64°，那么∠EGD的大小是（ ）
A．122° B．124° C．120° D．126°
二、填空题
11．如图，已知∠1=∠2，AD=2BC， ABC的面积为3，则 CAD的面积为_______．
12．如图，∠ABC与∠DEF的边BC与DE相交于点G，且BA//DE，BC//EF，如果∠B=54°，那么∠E=__________．
13．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，如果被b反射出的光线n与光线m平行，且，那么的度数为__________．
14．如图，五边形中，，，、分别是与、相邻的外角，则等于_______度．
15．如图，已知直线，，，那么_________．
16．如图，过直线外一点D画已知直线AB的平行线．首先画直线AB，将三角尺的一边紧靠直线AB，将直尺紧靠三角尺的另一边；然后将三角尺沿直尺下移；最后当三角尺原紧靠直线AB的那一边经过点D时，画直线CD．这样就得到CD∥AB．这种画法的依据是_____．
17．如图，已知//，直线与、分别相交于点E、F，，的平分线与相交于点P，且，那么的度数为______．
18．如图，已知直线AD∥BC，如果△BCD的面积是6平方厘米，BC＝4厘米，那么△ABC中BC边上的高是___厘米．
19．现有一张长方形纸片ABCD，将它按如图所示的方式进行折叠，如果∠BHG＝50°，那么∠BHE的度数为______．
20．如图，已知AD∥BC，BE平分∠CBD，∠D=110°，那∠EBC的度数是_____．
三、解答题
21．已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④全等三角形的对应边、对应角分别相等．
(1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有 (填入序号即可)；
(2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”．
已知：如图，_________________________________．
求证：_________________________________．
证明：
22．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D/、的位置上，的延长线与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，你能分别求出∠1和∠2的度数吗？请你试一试．
23．如图，已知，．说明的理由．
解：因为（已知）
所以______（ ）
所以（ ）
又因为（已知）
所以（ ）
又因为（已证）
所以（ ）
24．如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知∠1=∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，将下列证明AB//CD的过程及理由填写完整．
证明：因为∠1=∠2，
所以 // （ ），
所以∠EAC=∠ACG（ ），
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以 =， =，
所以 = ，
所以AB//CD（ ）．
25．如图，已知在中，，，说明的理由．
解：∵（ ），
∴_____________（ ）．
∵（已知），
∴____________（ ）．
∴（ ），
∴（ ）．
26．如图：∠1＝∠2，∠D＝90°，EF⊥CD，试说明∠3＝∠B．
27．如图，点 P 在 CD 上，已知∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，请说明∠E=∠F 的理由．
解：因为∠BAP+∠APD=180°（ ），
∠APC+∠APD=180°（ ），
所以∠BAP=∠APC（ ），
又∠1=∠2（ ），
得∠BAP-∠1=∠APC-∠2（ ），
即∠3=∠4．
所以AE∥PF（ ）
∴∠E=∠F（ ）
（请完成以下说理过程）
28．如图，已知在△ABC中，点D为AC边上一点，DE∥AB交边BC于点E，点F在DE的延长线上，且∠FBE＝∠ABD，若∠DEC＝∠BDA．
（1）试说明∠BDA＝∠ABC的理由；
（2）试说明BF∥AC的理由．
29．如图所示，已知射线.点E、F在射线CB上，且满足，OE平分
（1）求的度数；
（2）若平行移动AB，那么的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律.若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数．若不存在，请说明理由.
30．（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．
（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，
①请尝试探索，，三者的数量关系．
②请说明理由．
答案
一、单选题
1．C
【详解详析】
试题分析：根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的性质对②进行判断；根据平行公理对③进行判断；根据平行线之间的距离对④进行判断．
解：相等的角不一定是对顶角，所以①错误；
如果平行两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等，所以②错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以③正确；
平行线间的距离处处相等，所以④正确．
故选C．
2．A
【思路指引】
先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．
【详解详析】
由图可得,∠CDE=40° ,∠C=90°，
∴∠CED=50°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF=50°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60° 50°=10°，
故选A.
3．B
根据题意可知∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1=58°．故选B
4．D
【思路指引】
通过在∠1的顶点作斜边的平行线可得∠1=105°．
【详解详析】
如图：过∠1的顶点作斜边的平行线，
利用平行线的性质可得，∠1=60°+45°=105°．
故选D．
5．B
【思路指引】
根据两直线平行，同位角相等、同旁内角互补以及平角的定义可计算即可．
【详解详析】
解：∵QR∥OB，∴∠AQR=∠AOB=40°，∠PQR+∠QPB=180°；
∵∠AQR=∠PQO，∠AQR+∠PQO+∠RQP=180°（平角定义），
∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°，
∴∠QPB=180°﹣100°=80°．
故选B．
6．C
【思路指引】
分别根据平行线的判定与性质、同一平面内两直线的位置关系逐项分析即可．
【详解详析】
A．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁对角的角平分线互相垂直，该说法正确；
B．同一平面内，两条不重合的直线不平行就相交，该说法正确；
C．两条直线的夹角满足，该说法错误；
D．两直线相交所形成的角中，若有三个角相等，则两条直线垂直，该说法正确；
故选：C．
7．C
【思路指引】
由AB∥CD可以推出∠EFB=∠C=115°，又因为∠A=25°，所以∠E=∠EFB-∠A，就可以求出∠E．
【详解详析】
∵AB∥CD，
∴∠EFB=∠C=115°，
∵∠A=25°，
∴∠E=∠EFB ∠A=115° 25°=90°.
故选C.
8．B
【思路指引】
根据无理数的定义求解，平行线的性质，平行四边形的性质，可得答案．
【详解详析】
（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行，故（1）正确；
（2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故（2）错误；
（3）无理数包括正无理数、负无理数，故（3）错误；
（4）无理数都可以用数轴上的点来表示，故（4）正确；
故选：B．
9．B
【思路指引】
根据数轴与实数，平行线的性质与判定以及两点之间线段最短对每个说法逐一判断后即可得到答案．
【详解详析】
（1）实数与数轴上的点一一对应，故无理数能在数轴上表示出来，故原说法错误；
（2）两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等，故原说法错误；
（3）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
（4）两点之间线段最短，正确．
故选B．
10．A
【详解详析】
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
又∵∠EFG=64°，
∴∠BEF=116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠BEF=58°，
∴∠EGD=180°-∠BEG=122°．
所以∠EGD的度数为122°．
故选A.
二、填空题
11．6
【思路指引】
首先根据内错角相等判定AD//BC，过点C作CM⊥AD，AN⊥BC，即可得出CM=AN，进而得出△ACD和△ABC的面积关系，即可得解．
【详解详析】
∵∠1=∠2
∴AD//BC，
过点C作CM⊥AD，AN⊥BC，如图所示：
∴CM=AN
∵
，
故答案为：6．
12．126°
【思路指引】
根据两直线平行同位角相等得到，，结合邻补角的和180°解题即可．
【详解详析】
BA//DE，BC//EF，
，
∠B=54°，
，
故答案为：126°．
13．74°
【思路指引】
根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠4=37°，再利用平角的定义得∠3=106°，然后利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠2=74°．
【详解详析】
解：如图，
∵∠1=∠4=37°，
∴∠3=180°-37°-37°=106°，
∵m∥n，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=74°，
故答案为：74°．
14．90
【思路指引】
过点作，结合题意可知，从而求解．
【详解详析】
如图，过点作,
故答案为：90．
15．80
【思路指引】
由直线a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可得∠1=∠3，继而可得∠1+∠2=180°，则可得方程：2x+10+3x-5=180，解此方程即可求得答案．
【详解详析】
解：∵直线a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=（2x+10）°，∠2=（3x-5）°，
∴2x+10+3x-5=180，
解得：x=35，
∴∠1=80°．
故答案为：80．
16．同位角相等两直线平行．
【思路指引】
根据同位角相等两直线平行解答即可．
【详解详析】
如图，由画法可知∠BEF＝∠DFG，
∴AB∥CD（同位角相等两直线平行），
故答案为：同位角相等两直线平行．
17．30°
【思路指引】
根据垂直的性质可得∠PEF=90°，在根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义得出答案；
【详解详析】
解：∵，
∴∠PEF=90°，
∵，
∴，
∵
∵，
∴，
∵平分
∴
18．3
【思路指引】
根据平行线之间的距离处处相等可得答案．
【详解详析】
解：因为△BCD的面积是6平方厘米，BC＝4厘米，
所以BC边上的高是：2×6÷4＝3（厘米）．
故答案为：3．
19．65°
【思路指引】
根据四边形是长方形，可得，根据平行线的性质可得，，再根据折叠可得，，等量代换后即可得结果．
【详解详析】
解：四边形是长方形，
，
，，
根据折叠可知：
，
，
，
，
．
故答案为：．
20．35°
【思路指引】
先根据平行线的性质，求出∠DBC=180°-∠D=70°，再根据角平分线的性质得到．
【详解详析】
解：∵AD∥BC，
∴∠D+∠DBC=180°，
∵∠D=110°，
∴∠DBC=180°-∠D=70°，
∵BE平分∠DBC，
∴，
故答案为：35°．
三、解答题
21．
(1)①②；
(2)a//b，直线a、b被直线c所截，∠1＝∠2．
因为a//b，所以∠1＝∠3．
因为∠3＝∠2，所以∠1＝∠2
22．
，
由翻折的性质，得
.
23．
解：因为（已知）,
所以CD（内错角相等，两直线平行）,
所以（两直线平行，内错角相等）,
又因为（已知）,
所以（两直线平行，同位角相等）,
又因为（已证）,
所以（等量代换）,
故答案为：CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换．
24．
证明：因为∠1=∠2，
所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），
所以∠EAC=∠ACG（两直线平行，内错角相等），
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以∠3=∠EAC，∠4=∠ACG，
所以∠3=∠4，
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AE；FG；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠3；∠4；∠3；∠4；内错角相等，两直线平行．
25．
解：∵（ 已知 ），
∴__________（ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵（已知），
∴__________（等量代换 ）．
∴（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴（ 两直线平行，同旁内角互补）
26．
解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∵∠D＝90°，
∴AD⊥CD，
∵EF⊥CD，
∴AD∥EF，
∴EF∥BC，
∴∠3＝∠B．
27．
解：因为∠BAP+∠APD=180°（ 已知 ），
∠APC+∠APD=180°（互补的性质），
所以∠BAP=∠APC（等量代换），
又∠1=∠2（已知），
得∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式性质），
即∠3=∠4．
所以AE∥PF（内错角相等，两直线平行）
∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）
故答案为：已知；互补的性质；等量代换；已知；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
28．
（1）理由如下：
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，
∵∠DEC＝∠BDA，
∴∠BDA＝∠ABC；
（2）∵∠ABD＝∠FBE，
∴∠ABD+∠DBE＝∠FBE+∠DBE，
即∠BAC＝∠FBD，
∵∠BDA＝∠BAC，
∴∠BDA＝∠FBD，
∴BF∥AC．
29．
（1）∵CB∥OA
∴∠C+∠COA=180°
∵∠C=100°
∴∠COA=180°-∠C=80°
∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF
∴∠FOB+∠EOF=（∠AOF+∠COF）=∠COA=40°;
∴∠EOB=40°;
（2）∠OBC：∠OFC的值不发生变化
∵CB∥OA
∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA
∵∠FOB=∠AOB
∴∠FOA=2∠BOA
∴∠OFC=2∠OBC
∴∠OBC：∠OFC=1：2
（3）当平行移动AB至∠OBA=60°时，∠OEC=∠OBA．
设∠AOB=x，
∵CB∥AO，
∴∠CBO=∠AOB=x，
∵CB∥OA，AB∥OC，
∴∠OAB+∠ABC=180°，∠C+∠ABC=180°
∴∠OAB=∠C=100°．
∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+40°，
∠OBA=180°-∠OAB-∠AOB=180°-100°-x=80°-x，
∴x+40°=80°-x，
∴x=20°，
∴∠OEC=∠OBA=80°-20°=60°．
30．
解：（1）过点E作EF∥AB，
∴∠A=∠AEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC=∠C，
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，
∴∠AEC=∠A+∠C；
（2）①∠1+∠2-∠E=180°，
②过点E作EF∥AB，
∴∠AEF+∠1=180°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC=∠2，
即∠CEA+∠AEF=∠2，
∴∠AEF=∠2-∠CEA，
∴∠2-∠CEA+∠1=180°，
即∠1+∠2-∠AEC=180°．