(共27张PPT)
第一节 圆的基本性质
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
垂径定理及其推论
辽宁近年中考真题精选
1
命题点
1. (2022铁岭17题3分)在半径为3的⊙O中，弦AB的长是3 ，则弦AB所对的圆周角的度数是____________．
60°或120°
辽宁其他地市真题
2. (2022盘锦7题3分·源自人教九上P89习题24.1第5题改编)如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC＝50°，则∠ADB的度数为( )
A. 15° B. 25° C. 30° D. 50°
第2题图
B
3. (2023大连12题3分·源自人教九上P83练习1改编)如图，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3 cm，则⊙O的半径为________cm.
第3题图
5
圆周角定理及其推论
2
命题点
4. (2023葫芦岛8题3分·源自北师九下P80练习1改编)如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝70°，则∠ACB的度数是( )
A. 30° B. 35°
C. 45° D. 70°
第4题图
B
5. (2023葫芦岛9题3分)如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为( )
A. 70° B. 55° C. 45° D. 35°
第5题图
B
6. (2023沈阳9题2分)如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，
BD＝24，则sin∠ACD的值是( )
A. B.
C. ) D.
第6题图
D
7. (2021抚顺铁岭8题3分)如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD.若∠ABD＝20°，∠AED＝80°，则∠COB的度数为
( )
A. 80° B. 100° C. 120° D. 140°
第7题图
C
8. (2022辽阳15题3分)如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为 的中点，则∠A＝________°.
第8题图
22.5
9. (2023辽阳15题3分)如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是 的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝________．
第9题图
60°
10. (2021本溪辽阳葫芦岛16题3分)如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝________．
第10题图
辽宁其他地市真题
11. (2023营口7题3分)如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是( )
A. 20° B. 70°
C. 30° D. 90°
第11题图
A
12. (2021锦州7题分3分)如图，△ABC内接于⊙O, AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点(位于AB下方)，CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，
BC＝6 ，CE＝2DE，则CE的长为( )
A. 2 B. 4
C. 3 D. 4
第12题图
D
13. (2022朝阳12题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，
∠BAO＝20度，则∠BOC的度数为______度．
第13题图
40
圆内接四边形及其性质
3
命题点
14. (2020营口7题3分)如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是( )
A. 110° B. 130°
C. 140° D. 160°
辽宁其他地市真题
第14题图
B
15. (2023锦州7题3分·源自北师九下P84习题3.5第3题改编)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E的度数为( )
A. 55° B. 50° C. 45° D. 40°
第15题图
C
16. (2022锦州7题2分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC＝135°，CF＝2 ，则AE2＋BE2的值为( )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
第16题图
C
正多边形与圆
4
命题点
17. (2023沈阳10题2分)正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( )
A. B. 2
C. 2 D. 2
第17题图
B
18. (2022辽阳16题3分·源自北师九下P122总复习第15题改编)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在 上，则∠BFE的度数为______．
第18题图
72°
圆的对称性
垂径定理
及其推论
定理
推论
圆周角定理
及其推论
定理
推论
正多边形与圆的关系
圆内接三角形的性质
圆内接四边形的性质
弦、弧、圆
心角的关系
定理
推论
圆的基本
性质
考点精讲
【对接教材】北师：九下第三章P65～P88、P97～P99；
人教：九上第二十四章P79～P91、P105～P110.
圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条______所在的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心
垂径定理
及其推论
定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
●
延伸
根据圆的对称性，如图1，在以下五个结论中：
① ＝ ；② ＝ ；
③ AM＝BM(AB不是直径)；④AB⊥CD；⑤CD是直径．
只要满足其中两个结论，另外三个结论一定成立，即 “知二推三”
图1
直径
弦、弧、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______，所对的弦______
1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等
2．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
推论
相等
相等
圆周角定理
及其推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_______
1.一条弦对着两条弧，两条弧所对的圆周角互补；
2.一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角
●
满分技法
一半
图2
圆周角定理
及其推论
推论
1.同弧或等弧所对的圆周角________
(1)如图2，∠A和_______是 所对的圆周角 ∠A＝______
(2) ＝ ∠A＝________
2．半圆(或直径)所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是________
(1)如图2，AB是直径 ∠ACB＝________
(2)∠ACB＝90° AB是⊙O的________
应用：(1)连直径，得直角；(2)确定圆的直径
图2
相等
∠D
∠D
∠BCD
直角
直径
90°
直径
1.圆心是三角形________________的交点
2．圆心到三角形三个顶点的距离________，且都等于半径
圆内接
三角形
的性质
圆内接
四边形
的性质
1.圆内接四边形的对角________．如图3，∠A＋∠BCD＝________，
∠B＋∠D＝________
2．圆内接四边形的任意一个外角等于它的______．如图3，∠DCE＝
______
图3
三边垂直平分线
相等
互补
180°
180°
内对角
∠A
如图4，设正n边形的边长为a，则边心距r＝ ；
正n边形周长l＝na；正n边形面积S＝ lr＝ nar
正多边
形与圆
的关系
名称 内角 外角 中心角
正五边形 ________ 72° 72°
正六边形 120° 60° ________
正八边形 135° 45° 45°
正n边形
图4
108°
60°(共66张PPT)
第二节 点、直线与圆的
位置关系
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
重难点分层练
3
辽宁近年中考真题精选
1
命题点
与切线性质有关的证明与计算
1. (2020沈阳22题10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．
(1)求证：DC＝AC；
第1题图
(1)证明：如解图，连接OD.
∵DC与⊙O相切，
∴∠ODC＝90°，
∴∠ODB＋∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠ADC＝∠A，
∴DC＝AC；
第1题图
(2)若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为________．
【解法提示】∵OB＝OD，
∴∠DOC＝∠B＋∠ODB＝2∠B，
∵DC＝DB，∴∠B＝∠OCD，
∵∠ODC＝90°，∴∠COD＋∠OCD＝90°，∴3∠OCD＝90°，∴∠OCD＝30°，
∵OD＝1，
∴DC＝ .
第1题图
2. 如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C.
(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
第2题图
解：(1)如解图，连接OA，
∵AC为⊙O的切线，OA是⊙O半径，
∴∠OAC＝90°，
∵∠ADE＝25°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，
∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°；
(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．
第2题图
(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C，
∵∠OAC＝90°，∴∠AOC＋∠C＝90°，
∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，
∵∠OAC＝90°，∴OA＝ OC，
设⊙O的半径为r，
∵CE＝2，∴r＝ (r＋2)，解得r＝2，
∴⊙O半径的长为2.
3. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D.
(1)求证：∠ABC＝∠CBD；
第3题图
(1)证明：如解图，连接OC，
∵MN与⊙O相切于点C，∴OC⊥MN.
∵BD⊥MN，
∴OC∥BD.
∴∠CBD＝∠BCO.
又∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠ABC.∴∠ABC＝∠CBD；
(2)若BC＝4 ，CD＝4 ，则⊙O的半径是________．
【解法提示】如解图，连接AC，
第3题图
在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，
∴BD＝ ＝8.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠ACB＝∠CDB＝90°.∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD.∴ ，即 .
∴AB＝10.∴⊙O的半径是5.
5
4. 如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是( )
A. 25° B. 30°
C. 35° D. 40°
辽宁其他地市真题
第4题图
D
5.如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
第5题图
证明：(1)∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC＝∠ANB＝90°.∴∠BAN＋∠ABN＝90°.
∵CP是⊙O的切线，∴∠ACN＋∠BCP＝90°.
又∵∠BCP＝∠BAN，∴∠ACN＝∠ABN.
∴AC＝AB.∴△ABC为等腰三角形；
(2)求证：AM·CP＝AN·CB.
第5题图
(2)如解图，连接MN，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，
∴∠CBP＝∠AMN，
又∵∠BAN＝∠BCP，
∴△AMN∽△CBP，
∴ ，即AM·CP＝AN·CB.
2
命题点
与切线判定有关的证明与计算
6. (2021本溪辽阳葫芦岛24题12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
第6题图
第6题图
(1)证明：如解图，连接OE，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠OAE＝∠BAC，
∴∠OEA＝∠BAC，
∴∠OEF＝∠OEA＋∠BEF＝∠BAC＋∠B＝90°，
∴EF⊥OE，
∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；
(2)若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．
(2)解：如解图，连接DE，
第6题图
∵OC＝9，AC＝4，∴OA＝OC－AC＝5，
∵AD＝2OA，∴AD＝10.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴Rt△ADE中，DE＝ 6，
∴cos∠DAE＝ ，
∵在Rt△ABC中，cos∠BAC＝ ，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴ ，
∴AB＝5，
∴BE＝AB＋AE＝5＋8＝13，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
第6题图
∵∠OED＋∠OEA＝90°，
∠FEB＋∠OEA＝90°，
∴∠FEB＝∠OED，
∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，
∴△FBE∽△ODE，
∴ ，
∴ ，
∴BF＝ .
第6题图
7. (2021抚顺铁岭24题12分)如图，在⊙O中，∠AOB＝120°， ＝ ， 连接AC，BC, 过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F .
(1)求证： DE是⊙O的切线；
第7题图
(1)证明：如解图，连接OC，
∵∠AOB＝120°， ＝ ，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠AOC＝∠OCB，
∴OA∥BC，
∵AD⊥BC，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
第7题图
(2)若⊙O的半径为2，求线段DF的长．
(2)解：由(1)知△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OA＝2，∠B＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠E＝30°，
第7题图
第7题图
∵DE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，
∴OE＝2OA＝4，AE＝2，
∴BE＝6，
∴BD＝ BE＝3，DE＝3 ，
∴CD＝BD－BC＝3－2＝1，
AD＝DE－AE＝3 －2 ＝ ，
∴OD＝ ，
∵OA∥BC，∴△CDF∽△AOF，
∴ .∴DF＝ OD＝ .
8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O、D分别为AB、BC的中点，连接OD，作⊙O，使⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF.
(1)判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
第8题图
解：(1)DF与⊙O相切，
理由：如解图，过点O作OG⊥DF于点G，连接OE，
∟
∟
G
∵O、D分别是AB、BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠ODF＝∠DFC，
又∵∠OGD＝∠C＝90°，OD＝DF，
∴△DOG≌△FDC,
∴OG＝DC,
第8题图
∟
∟
G
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OEC＝∠C＝∠CDO＝90°，
∴四边形DCEO是矩形，
∴DC＝OE，
∴OG＝OE，即OG为⊙O的半径，
又∵OG⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
第8题图
∟
∟
G
(2)当∠A＝30°，CF＝ 时，求⊙O的半径．
第8题图
∟
∟
G
(2)设⊙O的半径为r，则BD＝DC＝OE＝OG＝r，
∵在Rt△BOD中，∠BOD＝∠A＝30°，
∴OD＝ r，
∵△DOG≌△FDC，
∴DG＝CF＝ ，
∵在Rt△DOG中，由勾股定理得：OG2＋DG2＝OD2，
∴r2＋( )2＝( r)2，
解得r＝1(负值已舍去)，即⊙O的半径为1.
9. (2021沈阳22题10分)如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点(点E不与点O，A重合)．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB.若CA＝CD，∠ABC＝∠D.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.∴∠ABC＋∠BAC＝90°.
∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠D.
又∵∠ABC＝∠D，∴∠CAD＝∠ABC.
∴∠CAD＋∠BAC＝90°.∴OA⊥AD.
∵OA是半径，∴AD是⊙O的切线．
第9题图
(2)若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是________．
【解法提示】方法一：∵在Rt△ADE中，AC＝CD＝5，
∴CE＝5，DE＝10.
Rt△ABC中，AC＝5，AB＝13，
∴BC＝12.
∵∠B＝∠D，∠ACB＝∠EAD，
∴△ACB∽△EAD.
∴ ，即 .
∴AD＝ .
第9题图
方法二：如解图，过点C作CM⊥AD于M，
第9题图
∴∠CMD＝90°＝∠ACB.
又∵∠ABC＝∠D，
∴△BCA∽△DMC，∴ .
Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC2＋BC2＝AB2，BC＝12，
∴ .∴DM＝ .
又∵CD＝CA，CM⊥AD，∴AD＝2DM＝ .
(2)解：
∟
M
10. (2020铁岭葫芦岛24题12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD.
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
第10题图
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC.
(1)证明：如解图①，连接OD，
∵∠ADE＝∠ACD，
∴∠ADE＝∠ODC，
∴∠ADE＋∠ADO＝∠ODC＋∠ADO，
∴∠ODE＝90°.
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
第10题图
(2)若AD＝6，CD＝8，求BD的长．
(2)解：如解图②，过A作AF⊥BD于点F，
第10题图
∟
F
∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，∴AC＝10.
∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.
∴AB＝BC＝ AC＝5 ，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠ADB＝∠BCA＝45°.
∵∠AFD＝90°，∴DF＝AF＝ AD＝3 .
在Rt△ABF中，BF＝ ＝4 ，
∴BD＝DF＋BF＝7 .
11. (2022葫芦岛24题12分)如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
第11题图
(1)证明：如解图，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°.
∴∠CAD＋∠DCA＝90°.
∵EC＝EF，∴∠DCA＝∠EFC.
∵OA＝OF，
∴∠CAD＝∠OFA.
∴∠EFC＋∠OFA＝90°.
∴∠EFO＝180°－90°＝90°.
∴EF⊥OF.
又∵OF为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
第11题图
(2)若cos∠CAD＝ ，AF＝6，MD＝2，求FC的长．
(2)解：如解图，连接MF，
第11题图
∵AM是⊙O的直径，∴∠AFM＝90°.
在Rt△AFM中，cos∠CAD＝ ，
又∵AF＝6，∴ .∴AM＝10.
∵MD＝2，∴AD＝8.
在Rt△ADC中，cos∠CAD＝ ，
∴ ，∴AC＝ ，
∴FC＝ －6＝ .
12. (2023本溪24题12分)如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP.
(1)求证：DP是⊙O的切线；
第12题图
(1)证明：如解图，连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠DCP＝∠BCP.
又∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP(SAS)．
∴∠CDP＝∠CBP.
∵∠FDE＝∠BCD＝90°，∴EF为⊙O的直径，
∴OD＝OE.∴∠ODE＝∠OED.
又∵∠CEP＝∠OED，
∴∠CEP＝∠ODE.
∵∠BEC＋∠CBE＝90°，
∴∠ODE＋∠CDP＝90°.
即∠ODP＝90°，
∴OD⊥DP，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DP是⊙O的切线；
第12题图
(2)若tan∠PDC＝ ，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．
第12题图
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.∴∠F＝∠CBP.
又∵∠CDP＝∠CBP，∴∠F＝∠CDP＝∠CBP.
∴tanF＝tan∠CDP＝tan∠CBP＝ .
∴ .∴EC＝ BC＝ ×4＝2.
∴DE＝DC－EC＝4－2＝2.∴DF＝2DE＝2×2＝4.
在Rt△DEF中，EF＝ ，
∴OE＝ EF＝ .
即⊙O的半径为 .
∵DC∥AB，
∴△CEP∽△ABP.
∴ .
∴EP＝ BE＝ ×2 ＝ .
∴OP＝OE＋EP＝ ＋ ＝ .
在Rt△CEB中，EB＝ ，
第12题图
13. (2020辽宁22题12分)如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交OC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D.
(1)求证： AD⊥BC；
第13题图
(1)证明：∵∠AEF＝∠D，∠D＝∠B, EF⊥AB，
∴∠AEF＋∠BAD＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°，
∴∠AEB ＝90°， ∴AD⊥BC；
(2)点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D.
①求证：AG与⊙O相切；
第13题图
(2)①证明：如解图，连接OA.
∵∠DAG＝2∠D，∠AOC＝2∠D，
∴∠DAG＝∠AOC.
由(1)知，AD⊥BC，∴∠AOC＋∠OAE＝90°，
∴∠DAG＋∠OAE＝90°，∴OA⊥AG.
∵AO是⊙O的半径，
∴AG是⊙O的切线，即AG与⊙O相切；
②当 ，CE＝4时，直接写出CG的长．
【解法提示】如解图，连接AC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴ ，解得BE＝10.
∴OE＝ BC－EC＝3.
第13题图
在Rt△AEO中，AE＝ .
由①知，∠AOC＝∠DAG，∠AEO＝∠CEA＝90°，∴△OEA∽△AEG，
∴ ，
解得EG＝ ，
∴CG＝EG－EC＝ .
第13题图
辽宁其他地市真题
14. (2021营口22题12分)如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的两点，且 ＝ ，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
(1)求证：AF＝AE；
第14题图
(1)证明：∵ ＝ ，∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBD＋∠CEB＝90°，
∵⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F＋∠ABD＝90°，
∴∠CEB＝∠F ，
∵∠AEF＝∠CEB，∴∠AEF＝∠F，∴AF＝AE；
第14题图
(2)若AB＝8，BC＝2，求AF的长．
第14题图
(2)解：∵AB＝8，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AC＝ ，
∵∠CBD＝∠ABD，∠ACB＝∠FAB＝90°，
∴△BCE∽△BAF，
∴ ，
∴设AF＝AE＝x，则 ，
解得x＝ ，∴AF＝ .
15. (2021朝阳22题8分)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB，CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
第15题图
(1)证明：∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠BAM，
∴∠ACD＝∠BAM，
∴AB∥CD，
∵∠AOD＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
第15题图
(2)连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝ ，求DM的长．
(2)解：∵∠E＝∠BAM，
∴tanE＝tan∠BAM＝ ，
在Rt△AON中，∠AON＝90°，OA＝6，
∴ ＝ ，
∴ON＝2，DN＝4，
∴AN＝ ，
第15题图
在Rt△AOD中，AD＝ ，
∵OA＝OD，
∴∠ADN＝45°，
又∵∠AMD＝ ∠AOD＝45°，
∴∠ADN＝∠AMD，
∵∠DAN＝∠MAD，
∴△ADN∽△AMD，
∴ ＝ ，∴ ，∴DM＝ .
第15题图
点、直线与
圆的位置关系
点与圆的
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
直线与圆的
位置关系
相离
相切
相交
切线的性质与判定
性质
判定
切线长
三角形的内切圆
定义
角度关系
内切圆的圆心
性质
考点精讲
【对接教材】北师：九下第三章P66、P89～P96；
人教：九上第二十四章P92～P103.
点与圆的位置关系（设⊙O的
半径为r，点到圆心的距离为d）
点在圆外 d>r
点在圆上 d r
点在圆内 d＜r
直线与圆的位置关系（设⊙O的
半径为r，圆心到直线l的距离为d）
位置关系 相离 相切 相交
d与r的关系 d r d r d r
交点的个数 ______ 1 ______
示意图
＝
＞
＝
<
0
2
切线的性质与判定
性质
1.圆的切线 于过切点的半径（或直径）
2.切线到圆心的距离等于圆的_________
1.过半径外端且 于半径的直线是圆的切线
2.和圆只有 公共点的直线是圆的切线
3.如果圆心到直线的距离等于圆的 ，那么这条直线是圆的切线
判定
切线长
定义：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长,
*（选学）定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分, 两条切线的夹角
垂直
半径
垂直
一个
半径
三角形的内切圆
定义：与三角形三边都相切的圆（如图）
内切圆的圆心：三角形三个内角的 的交点
性质：三角形的内心到三角形三条边的距离___________
角度关系：∠BOC＝90°＋ ∠A
相等
角平分线
重难点分层练
例1 在△ABC中，AO是BC边上的中线．已知AB＝AC＝10，BC＝16，以点O为圆心，r为半径作圆．
(1)若r＝4.8，则点A与⊙O的位置关系是________，直线AB与⊙O的位置关系是________；
(2)若r＝8，则点A与⊙O的位置关系是________，点B与⊙O的位置关系是________，直线AB与⊙O的位置关系是________．
一题多设问
回顾必备知识
点在圆外
相切
点在圆内
点在圆上
相交
提升关键能力
例2 如图①，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，连接BD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
一题多设问
例2题图①
(1)证明：如解图①，连接OD，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，
∵AE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
例2题图①
(2)求证：∠ADE＝∠ABD；
例2题图①
(2)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴∠ADE＝∠ABD；
(3)若DE＝4，弦AC的长是6，求⊙O的半径；
(3)解：如解图，过点O作ON⊥AC交AC于点N，连接OD，
例2题图①
N
∟
则AN＝CN＝ AC＝3，
∵∠ODE＝∠DEN＝∠ONE＝90°，
∴四边形ODEN是矩形，
∴ON＝DE＝4；
在Rt△AON中，AN＝3，ON＝4，
∴OA＝ 5，即⊙O的半径为5；
(4)若CE＝1，BD＝2，求∠BAC的度数；
(4)解：如解图，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，
∴DE＝DM.
在Rt△DAE和Rt△DAM中，
∴Rt△DAE≌Rt△DAM(HL)，
∴AE＝AM.
例2题图①
M
∟
∵∠EAD＝∠MAD，∴ ＝ ，∴CD＝BD＝2.
在Rt△DEC和Rt△DMB中，
∴Rt△DEC≌Rt△DMB(HL)，
∴CE＝BM＝1，
∴在Rt△DMB中，BD＝2BM，∴∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°；
例2题图①
M
∟
(5)若AF＝8，cos∠BAC＝ ，求DF的长；
(5)解：如解图，过点D作DM⊥AB于点M，连接OD，BC，
则∠CAB＝∠DOM，
∵cos∠DOM＝cos∠CAB＝ ，
设OD＝5x，则 AB＝10x，OM＝3x，DM＝4x.
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
AD2＝DM2＋AM2＝(4x)2＋(5x＋3x)2＝80x2，
∵DE⊥AC，AB是⊙O的直径，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
例2题图①
M
∟
∵∠EAD＝∠BAD，
∴△EAD∽△DAB，
∴ ，
∴AD2＝AE·AB＝AE·10x＝80x2，
∴AE＝8x，
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△EAF，
∴ ，
∵AF＝8，∴DF＝5；
例2题图①
M
∟
(6)如图②，点P是OA的中点，过点P作PQ⊥OA，交AD于点H，交DE于点Q.
求证：DQ＝QH.
例2题图②
(6)证明：由(1)知，OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，∴∠ODA＋∠ADE＝90°，
∵∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＋∠ADE＝90°，
∵PQ⊥AB，∴∠OAD＋∠AHP＝90°，
∴∠ADE＝∠AHP，
∵∠AHP＝∠DHQ，∴∠ADE＝∠DHQ，∴DQ＝QH.
1. (2023沈阳铁西区一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，连接BF，∠BAC＝2∠CBF.
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
第1题图
(1)证明：如解图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，
∵AB＝AC，∴2∠BAE＝∠CAB，
体验辽宁考法
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠CBF＋∠ABE＝90°，即∠ABF＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
第1题图
(2)若OA＝CF＝3，求△BCF的面积．
(2)解：∵OA＝CF＝3，
∴AC＝AB＝2OA＝6，AF＝AC＋CF＝9，
∴CF＝ AF，
∵∠ABF＝90°，
∴BF＝ ，
∴S△BCF＝ S△ABF＝ × ×BF×AB
＝ × ×3 ×6＝3.
第1题图(共32张PPT)
第三节 与圆有关的计算
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
辽宁近年中考真题精选
1
命题点
弧长与扇形面积的计算
1. (2022沈阳10题2分)如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝2 ，则
的长是( )
A. π B. π C. 2π D. π
第1题图
A
2. (2022沈阳10题2分)如图，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2.以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则 的长为
( )
A. B. π C. D.
第2题图
C
3. (2021沈阳10题2分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2 ，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则 的长是( )
A. B. C. π D.
第3题图
D
4. (2022辽宁9题3分)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为线段OB上的一点，OE∶EB＝1∶ ，连接DE并延长交CB的延长线于点F，连接OF交⊙O于点G，若BF＝2 ，则 的长是( )
A. B. C. D.
第4题图
C
5. (2023辽阳13题3分)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，若⊙O的半径为5，∠CDE＝20°，则 的长为______．
第5题图
6. (2022铁岭23题12分)如图，四边形ABCD中，连接AC，AC＝AD，以AC为直径的⊙O过点B，交CD于点E，过点E作EF⊥AD于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
第6题图
(1)证明：如解图，连接OE，
∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，
∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠CEO＝∠ADC，∴OE∥AD，
∵EF⊥AD，∴EF⊥OE，
∵OE为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；
(2)若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求 的长(结果保留π)．
(2)解：如解图，连接OB，
第6题图
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，∠BOC＝60°，
∴OA＝OC＝2，
∵OE∥AD，∠DAC＝30°，
∴∠COE＝∠DAC＝30°，
∴∠BOE＝90°，∴ 的长为 ＝π.
7. (2023抚顺22题12分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作平行四边形GDEC.
(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
第7题图
解：(1)DE与⊙O相切；
理由如下：如解图，连接OD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°.
∴∠COD＝2∠ABC＝90°.
又∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG.
∴∠EDO＋∠COD＝180°.
∴∠EDO＝90°，即OD⊥DE.
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
第7题图
(2)若点B是 的中点，⊙O的半径为2，求 的长．
(2)如解图，连接OB，
第7题图
∵点B是 的中点，
∴ ＝ .
∴∠BOC＝∠BOD.
∵∠BOC＋∠BOD＋∠COD＝360°，∠COD＝90°，
∴∠BOC＝135°.
∴ 的长为 π.
8. (2023鞍山13题3分)如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则 的长为________．
辽宁其他地市真题
第8题图
2π
2
命题点
阴影部分图形面积计算
9. (2022抚顺8题3分)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是( )
A. B. C. π D. 2π
第9题图
B
10. (2023抚顺17题3分)如图，在矩形ABCD中，CD＝2，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB边于点E，且E为AB中点，则图中阴影部分的面积为________．
第10题图
11. (2023铁岭17题3分)如图，在圆心角为135°的扇形OAB中，半径OA＝2 cm，点C，D为 的三等分点，连接OC，OD，AC，CD，BD，则图中阴影部分的面积为________cm2.
第11题图
12. (2022抚顺本溪辽阳24题12分)如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°， 以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE.
(1)求证：DE与⊙A相切；
第12题图
(1)证明：如解图，连接AE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB.
第12题图
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC，
∴∠DEA＝∠CAB＝90°.
∴DE⊥AE.
∵AE是⊙A的半径，
∴DE与⊙A相切；
(2)若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
(2)解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°.
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°－∠EAB＝90°－60°＝30°，
∠ACB＝90°－∠B＝90°－60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，
∴CE＝BE，∴S△ACE＝S△ABE＝ S△ABC.
第12题图
∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AC＝AB·tan∠ABC＝4×tan60°＝4 ，
∴S△ABC＝ AB·AC＝ ×4×4 ＝8 ，
∴S△ACE＝ S△ABC＝ ×8 ＝4 .
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形EAF＝ ，
∴S阴影部分＝S△ACE－S扇形EAF＝4 － .
第12题图
13. (2023辽阳24题12分)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
第13题图
(1)证明：如解图，连接OA，过点O作OF⊥AE于点F.
∟
F
∴∠AFO＝90°.
∴∠EAO＋∠AOF＝90°.
∵OA＝OE，
∴∠EOF＝∠AOF＝ ∠AOE.
第13题图
∟
F
∵∠EDA＝ ∠AOE，
∴∠EDA＝∠AOF.
∵∠EAC＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠AOF.
∵∠EAO＋∠AOF＝90°，
∴∠EAO＋∠EAC＝90°.
∴∠CAO＝90°.∴OA⊥AC.
∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
(2)若CE＝AE＝2 ，求阴影部分的面积．
第13题图
∟
F
(2)解：∵CE＝AE＝2 ，∴∠C＝∠EAC.
∵∠EAC＋∠C＝∠AEO，
∴∠AEO＝2∠EAC.
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠EAO.
∴∠EAO＝2∠EAC.
∵AC是⊙O的切线，
∴∠EAO＋∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°.
∵OA＝OE，
∴△OAE是等边三角形．
∴OA＝AE，∠EOA＝60°.
∴OA＝2 .
∴S扇形AOE＝ ＝2π.
在Rt△OAF中，OF＝OA·sin∠EAO＝2 × ＝3，
∴S△AOE＝ AE·OF＝ ×2 ×3＝3 .
∴S阴影部分＝S扇形AOE－S△AOE＝2π－3 .
第13题图
∟
F
14. (2023朝阳7题3分)如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积( )
A. 不变 B. 由大变小
C. 由小变大 D. 先由小变大，后由大变小
辽宁其他地市真题
第14题图
A
15. (2022朝阳15题3分)如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为_______．
第15题图
3
命题点
圆锥的有关计算
16. (2023鞍山13题3分)若一个圆锥的底面圆半径为1 cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长为________cm.
辽宁其他地市真题
第16题图
3
17. (2023盘锦17题3分)如图，⊙O的半径OA＝3，OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点，连接OB、OC，用扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为_______________.
第17题图
圆锥的相关计算
圆中阴影部分
面积的计算
规则图形
不规则图形
核心思想
与圆有关
的计算
弧长与扇形
面积的计算
弧长
面积
考点精讲
【对接教材】北师：九下第三章P100～P102；
人教：九上第二十四章 P111～P116.
弧长与扇形面积
的计算
弧长
圆的周长：C＝________
弧长：l＝________
面积
圆的面积：S＝________
扇形的面积：S扇形＝ ＝________
弓形的面积：S弓形＝S扇形AOB－S△AOB
2πR
πR2
圆锥的相关计算
（人教独有）
1.r为圆锥底面圆的半径，则底面圆的面积S＝________，周长C＝________
2.r为圆锥底面圆的半径，α为圆锥侧面展开图的扇形的圆心角，l为母线长，则α＝_______
3.h为圆锥的高，l为圆锥的母线长，r为圆锥底面圆的半径，则r2＋________＝l2
●
满分技法
圆锥与扇形的关系：1.圆锥的侧面展开图是扇形；
2.圆锥的底面周长等于其侧面展开后所得扇形的弧长；
3.圆锥的母线长等于其侧面展开后所得扇形的半径
h2
πr2
2πr
圆中阴影部分面积的计算
规则图形：直接用面积公式计算
不规则图形
割补法
拼凑法
等积变形法
核心思想：转化，即将不规则图形的面积转化为规则图形的面积或几个规则图形面积的和或差
