(共21张PPT)
微专题 对称求最值
满分技法
类型一 利用“两点之间，线段最短”
解决最值问题
考向一 一动两定
情况一 异侧线段和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．
解题思路
根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l于点P，点P即为所求．
情况二 同侧线段和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．
思路演变
将两定点同侧转化为异侧问题，作点B关于l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，点P即为所求．
针对训练
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB边上一点，且AE＝2，连接EF，CF，则线段EF＋CF的最小值为______．
第1题图
2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为________．
第2题图
考向二 两动一定
3. 如图，∠AOB＝45°，∠AOB内有一定点P，且OP＝1，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R，则△PQR周长最小值为________．
第3题图
类型二 利用“垂线段最短”
解决最值问题
模型分析
如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B，求A、B之间距离的最小值，通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
情况一 两条线段的和最小值问题
问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋MN的值最小．
解题思路
要使PN＋MN的值最小，设法将PN、MN转化到同一条直线上，利用垂线段最短即可求解．作点P关于OB的对称点P′，过点P′作OA的垂线，交OA、OB于点M、N，点M、N即为所求．
情况二 周长最小值问题
问题：点P是∠AOB内部的一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．
思路演变
要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上，作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点M、N，点M、N即为所求．
针对训练
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM＋MN的值最小，则这个最小值为________．
第4题图
16
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AB边上的一点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值是________．
第5题图
综合训练
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点，若AD＝5，AC＝4，则DE的最小值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第1题图
A
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝ S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA＋PB的最小值为( )
A. 10 B. 2 C. 2 D. 8
第2题图
B
3. 如图，在四边形ABCD中，∠C＝54°，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为( )
A. 48° B. 54° C. 60° D. 72°
第3题图
D
4. 如图，菱形ABCD的边长为2 ，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是
( )
A. 4 B. 4＋
C. 2＋2 D. 6
第4题图
D
5. 如图，等边△ABC的边长为1，D、E两点分别在边AB、AC上，CE＝DE，则线段CE的最小值为________．
第5题图
6. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是CD边上一点，且DM＝2，N是对角线AC上一动点，则DN＋MN的最小值为________．
第6题图
10
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(4，0)，与y轴交于点C(0，－3)，点P为抛物线对称轴上一点，连接AP、CP，当AP ＋ CP的值最小时，点P的坐标为_______．
第7题图(共20张PPT)
微专题 三种方法求与圆有关的阴影部分面积
方法一 直接公式法
方法解读
当阴影部分为扇形、三角形或特殊四边形时，直接用面积公式进行求解．
方法示例
方法应用
1. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝4，则阴影部分的面积为________．
第1题图
方法二 和差法
方法解读
方法示例
一、直接和差法
所求阴影部分面积可以看成扇形、三角形、特殊四边形面积相加减．
方法应用
2. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC＝BD＝12 cm，C，D两点之间的距离为4 cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是( )
A. 80π cm2
B. 40π cm2
C. 24π cm2
D. 2π cm2
第2题图
B
方法解读
二、构造和差法
所求阴影部分面积需要添加辅助线构造扇形、三角形或特殊四边形，然后进行面积相加减．构造图形时一般先观察阴影部分图形，若阴影部分图形有一部分是弧线，找出弧线所对应的圆心，连接弧线端点与圆心构造扇形．
方法示例
基本图形 连半径、构扇形 找和差
S阴影＝S△OBD＋S扇形DOC
S阴影＝S△ODC－S扇形DOE
基本图形 连半径、构扇形 找和差
S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE－S扇形COD
求解 用公式法表示扇形、三角形、特殊四边形的面积，再进行加减运算 方法应用
3. 如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为( )
A. ＋ π
B. － π
C. － π
D. － π
第3题图
D
方法解读
方法三 转化法
利用等积转化将所求阴影部分面积转化为求扇形、三角形、特殊四边形的面积或它们面积的和差．
方法示例
已知图形 转化 计算公式
S阴影＝S扇形ACB－S△ACD
CD∥AB S阴影＝S扇形COD
方法应用
4. 如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF.若AB＝10，CD＝EF＝5.则图中阴影部分的面积是________．
第4题图
5. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，AO＝6，点C为 的中点，连接OC，与AB交于点D，点E为OD的中点，连接BE，则图中阴影部分的面积为________．
第5题图
1. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是( )
A π B. π C. π D. π
第1题图
综合训练
A
2. (2023铁岭模拟)在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为( )
A. B.
C. D. π
第2题图
B
3. 如图，点C在以AB为直径的半圆O上，O为圆心．若∠BAC＝30°，AB＝12，则阴影部分的面积为________．
第3题图
6π
4. 如图，点P为∠BAC内部一点，连接PB，PC，量得∠BPC＝120°，图中的三个扇形(阴影部分)的半径均为1，则阴影部分的总面积为________．
第4题图
5. 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，以B为圆心，BE长为半径作弧，交BC于点F，G是AD的中点，以D为圆心，DG长为半径作弧，交CD于点H.若AB＝4，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积为________．
第5题图
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E为BC边的中点，连接DE.
(1)求证：DE为⊙O的切线；
第6题图
(1)证明：如解图，连接DC、DO.
∵AC为⊙O的直径，∴∠BDC＝∠ADC＝90°.
∵E为BC的中点，
∴ED为Rt△BDC斜边上的中线，
∴CE＝DE＝BE，∴∠DCE＝∠EDC.
∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC.
∵∠BCA＝90°，
∴∠ODE＝∠ODC＋∠EDC＝∠OCD＋∠DCE＝∠BCA＝90°，
∴ED⊥OD.
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
第6题图
(2)若AC＝4 ，BC＝4，求阴影部分的面积．
(2)解：∵AC＝4 ，BC＝4，
∴tanA＝ ，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠BCD＝30°，∴BD＝ BC＝2.
∵OD＝OC，∠DOC＝2∠A＝60°，
∴△CDO是等边三角形，∴CD＝2 ，
∴S阴影部分＝S△CDE＋S△CDO－S扇形COD
＝ ＝4 －2π.
第6题图(共23张PPT)
微专题 隐形圆在解题中的应用
模型一 定点定长作圆
已知平面内一定点A和一动点B，若AB长度固定，则动点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的圆(如图)(依据：圆的定义，圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合)．
推广：在旋转或折叠问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．
模型分析
模型应用
1. 如图，已知△ABC，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，请你在图中画出点A的运动轨迹．
第1题图
解：点A的运动轨迹如解图所示．
第1题解图
2. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△A′EF，请你在图中画出点A′的运动轨迹．
第2题图
解：点A′的运动轨迹如解图所示．
第2题解图
3. 如图，一架梯子斜靠在墙上，设梯子AB的中点为O，AB＝6米，
BC＝2米，若梯子B端沿地面向右滑行1米，请在图中画出点O的运动轨迹．
第3题图
解：∵O为直角三角形ACB斜边上的中点，斜边AB＝6米，
∴CO＝ AB＝3米，
∴点O的运动轨迹如解图．
第2题解图
模型二 定弦对定角
模型引入：△ABC中，AB的长度为定值(定弦)，顶点C为动点(定弦的同一侧)，且∠C的度数为定值(定角)，我们把这样的模型根据其特征称为定弦对定角模型．
模型分析
模型探究：如图，C为线段AB外一动点，连接AC，BC，且∠ACB为定值，则点C的运动轨迹可分三种情况：
(1)如图①，当∠ACB＜90°时，点C的轨迹为优弧 (不包含A、B两点)；
图①
∠ACB＝ ∠AOB
(2)如图②，当∠ACB＝90°时，点C的轨迹为以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)；
(3)如图③，当∠ACB＞90°时，点C的运动轨迹为劣弧 (不包含A、B两点)．
图②
图③
弦AB为直径
∠AOB＋∠ACB＝180°
推广：在几何图形最值题中，常通过定弦对定角模型来找动点的运动轨迹，解题时作出辅助圆是关键，然后结合求点圆、线圆最值等方法进行相关计算．
模型应用
4. 如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在线段DC，CB上移动，连接AE和DF，交于点P，若AD＝2，则点P经过的路径长为________．
第4题图
5. 如图，△ABC为等边三角形，AB＝2.若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为________．
第5题图
模型三 四点共圆
模型分析
如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆．
图①
图②
推广：(1)共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；
(2)四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等的重要途径之一．
模型应用
6. 如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，∠A＝60°，BC＝6，则DE的长为________．
第6题图
3
7. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一动点，∠AED＝45°
，点P是AB上一点，AP＝1，则线段PE的最大值是________．
第7题图
模型四 点圆最值
模型分析
已知平面内一定点D和⊙O，点E是⊙O上一动点，当D、O、E三点共线时，线段DE有最大(小)值(依据：直径是圆中最长的弦)．具体分以下三种情况讨论(设点O与点D之间距离为d，⊙O半径为r)：
位置关系 点D在⊙O内 点D在⊙O上 点D在⊙O外
图示
DE的最大值 d＋r 2r d＋r
此时点E的位置 连接DO并延长交⊙O于点E
DE的最小值 r－d 0 d－r
此时点E的位置 连接OD并延长交⊙O于点E 点E与点D重合 连接OD交⊙O于点E
模型应用
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC的中点，以D为圆心，BD长为半径作⊙D，E是⊙D上一点，连接AE，若AB＝8，BC＝6，则线段AE的最小值为( )
A. 10
B. 13
C. －3
D. ＋3
第8题图
C
9. 如图，OC＝6，点A、B分别是平面内的一动点，且 OA ＝4，BC＝3，点A、B的运动轨迹如图所示，则OB长的最大值为______，OB长的最小值为________，AC长的最大值为______，AC长的最小值为_______，AB长的最大值为______，AB长的最小值为______．
第9题图
9
3
10
2
13
0
模型五 线圆最值
模型分析
1. AB为⊙O的一条定弦，点C为AB一侧弧上一动点．
(1)如图①，点C在优弧 上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大；
(2)如图②，点C在劣弧 上，当CH⊥AB且圆心O在CH的延长线上时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大．
图①
图②
2. 如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r(如图③)，点P到直线l的最大距离是d＋r(如图④)．
图③
图④
推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动顶点到定边的最大(小)距离，从而利用面积公式求解．
模型应用
10. 如图，已知∠BOA＝30°，M为OB边上一点，OM＝5，以M为圆心，2为半径作⊙M.则⊙M上的点到直线OA的最大距离为________，最小距离为________．
第10题图
11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是________．
第11题图
1.2
12. 如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧 上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，则△ABC的面积的最大值为________.
第12题图(共26张PPT)
微专题 对称性质在折叠问题中的应用
满分技法
方法解读
1. 折叠问题常见的类型有：
2. 折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形；
①线段相等：ED′＝________，EG＝________，FD′＝________，
②角度相等：∠D′＝________，∠D′EG＝________，
③全等关系：四边形FD′EG≌____________．
AD
AG
FD
∠D
∠DAG
四边形FDAG
3. 折痕可看做垂直平分线：GF⊥________(折痕垂直平分连接两个对应点的连线)；
4. 折痕可看做角平分线：∠EGF＝________(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等)．
AE
∠AGF
针对训练
类型一 折痕确定
满分技法
(1)折叠方式确定，不需分类讨论，常用到的解题方法有：
①勾股定理；②相似；
③三角函数；④等面积法；
(2)折叠中的动点问题常结合题设条件确定出满足条件情况，画出图形，求值．
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则点D到AB的距离________．
第1题图
3
2. 如图，在 ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝1，则 ABCD的周长为____．
第2题图
6
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝4，将矩形AC折叠，点B落在点B′处，重叠部分△AFC的面积为_________．
第3题图
4. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长度为________．
第4题图
5. 如图，E，F为正方形ABCD中BC，AD边上的中点，将正方形ABCD沿过点D的直线折叠，使得点A恰好落在EF上，记为A′，折痕GD交AB于点G，交EF于点H，则sin∠A′HG的值为________．
第5题图
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝9，点D为BC边上的中点，将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C′处，连接AB，BC′，则BC′的长为________．
第6题图
类型二 折痕过一动点
7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D，E分别为AB，AC的中点，点P为BC边上一动点，将△BPD沿着DP翻折得到△FPD，连接DE，EF.若∠FDE＝90°，则BP的长为_____．
第7题图
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，点E在CD边上，连接AE，将四边形ABCE沿AE翻折，得到四边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′.当B′C′恰好经过点D时，CE的长为________．
第8题图
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝8，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________．
第9题图
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E为AB边上一点，BE＝2 ，点F为BC边上一动点，将△BEF沿EF所在直线折叠，当点B的对应点B′恰好落在AD的垂直平分线上时，折痕FE的长为________．
第10题图
11. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应
点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为_______．
第11题图
类型三 折痕过两动点
12. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2 .点P为对角线AC上的一个动点，过P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点恰好落在对角线AC上的点G处，若△CBG是
等腰三角形时，则AP的长为__________．
第12题图
13. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AD上一点，沿EF将四边形CDFE向下折叠，点C、D分别落在点G、H处，点H在边AB上．若∠BHG＝20°，则∠EFH的度数为________．
第13题图
80°
14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，点B的对应点为点B′，点A的对应点为点A′，若AE＝2，则B′F的长为______．
第14题图
3
15. (2023铁岭模拟)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，把该矩形沿EF折叠，使点B恰好落在边AD的点H处，已知矩形ABCD的面积为16 ，FH＝2HD，则折痕EF的长为________．
第15题图
4
综合训练
1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠FAE的度数为_______．
第1题图
20°
2. 如图，将 ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A＝60°，
AD＝2，AB＝4，则CE的长为________．
第2题图
3. 如图，矩形ABCD中，点E在边AD上，连接BE，点F在线段BE上，且BF＝2EF，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为DG，若
AB＝3，则折痕DG的长为________．
第3题图
4. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿AC折叠得到△AEC，EC交AB于点F，若BC＝3，△BCF为等边三角
形，则△AFC的面积为________．
第4题图
5. 如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝2，将△ABC沿∠BAC的平分线折叠，点C落在AB边上的点E处，D为AB的中点，连接DC，与折痕AF交于点M，则DM的长是________．
第5题图
6. 如图，在矩形AOBC中，AO＝3，OB＝6，点E是线段OB上一点，且EO＝3BE，将△AOE沿AE翻折得到△AFE，延长AF交BC的延长线于点G，EF交AC于点K，则点K的坐标为________．
第6题图(共22张PPT)
微专题 遇到中点如何添加辅助线
方法一 构造中位线
方法解读
情形1 图形中出现两个及以上的中点时，考虑连接两个中点构造中位线
情况一：已知点D、E分别为AB、AC的
中点．
【结论】DE∥BC，DE＝ BC，△ADE∽△ABC.
情形2 图形中出现中点时，考虑过中点作另一边的平行线构造中位线
情况二：已知点D为AB的中点．
【结论】AE＝CE，DE＝ BC，△ADE∽△ABC.
针对训练
1. 如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F.若BF＝6，则BE的长是_____．
第1题图
9
2. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，D是BC边的中点，E在AB边上，若∠DEB＝30°，则DE长为____．
第2题图
6
3. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，BD＝12，则EF的长为_____．
第3题图
6
方法二 构造中线
方法解读
情形1 遇等腰三角形底边中点时，可考虑作底边上中线，利用等腰三角形“三线合一”解题
如图，在等腰三角形ABC中，点D是底边
BC的中点，若连接AD.
【结论】AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
情形2 遇直角三角形斜边上中点时，考虑作斜边上中线
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点．
【结论】CD＝ AB.
【用途】证明线段相等或求线段长，构造角相等进行等量代换
情形3 中线等分面积
如图，AD为△ABC的中线．
【结论】S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC.
针对训练
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，
MN⊥AC于点N，则MN的长为______．
第4题图
5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，点E是边BC的中点，AD＝ED＝4，则BC的长为______．
第5题图
6. 如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是____．
第6题图
8
方法三 构造垂直平分线
方法解读
遇过中点的垂线，考虑用垂直平分线的性质
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E.
【结论】BE＝CE，∠BED＝∠CED.
针对训练
7. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD＞CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是______．
第7题图
16
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，E为AD中点，EF⊥AD交AB于点F.若CD＝3，则AF的长为_____．
第8题图
6
综合训练
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若DE＋BF＝8，则BF的值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第1题图
B
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠A＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF.若AC＝ ，则EF的长是( )
A. 2 B. C. 1 D.
第2题图
C
3. 如图，△ABC中，AB＝8，AD为∠BAC的外角平分线，且AD⊥CD于点D，E为BC的中点，连接DE，若DE＝10，则AC的长为( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
第3题图
A
4. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，AC＝12，BD＝8，则MN的长是( )
A. 4 B. C. D.
第4题图
C
5. 如图，在△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，连接DE，F、G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为______．
第5题图
6. 如图，在正方形ABCD中，AB＝ . E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为______．
第6题图
7. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，AD、BC的延长线分别交FE的延长线于点H、G.
求证：∠AHF＝∠BGF.
第7题图
证明：如解图，连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
P
∵E、F分别是DC、AB边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴EP＝ BC，EP∥BC，PF＝ AD，
PF∥AD，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
又∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF.
第7题图
P(共18张PPT)
微专题 等腰、直角三角形的边或角不确定
类型一 与等腰三角形有关的分类讨论
情况一 顶角和底角不确定而产生的分类讨论
已知等腰三角形的一个角为α(0°＜α＜90°)，确定顶角或底角的度数时，分两种情况：
①当α为顶角时，底角为 (180°－α)；
②当α为底角时，顶角为180°－2α.
对于等腰三角形的腰和底不确定的问题，需分三种情况讨论，以等腰△ABC为例：
①以BC为底边，AB＝AC；
②以AC为底边，BA＝BC；
③以AB为底边，CA＝CB.
情况二 腰和底边不确定而产生的分类讨论
作图微技能
1．等腰三角形边角不确定
问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形．
分情况：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需分①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP三种情况进行讨论．
作图找点：
①情况一：以AB为腰，分别以A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求；
②情况二：以AB为底，作线段AB的垂直平分线与已知直线的交点P3即为所求．
练习1 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为____________．
练习1题图
108°或72°
练习2 如图，△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，点Q是AC的中点，点P是AB上一点，连接PQ，当△APQ是等腰三角形时，AP的值为_____________．
练习2题图
类型二 与直角三角形有关的分类讨论(沈阳、葫芦岛2考)
直角三角形直角不确定
(1)根据题意能确定一个角不为直角时，需分其他两个角分别为直角的两种情况讨论；
(2)不能确定直角三角形中的直角顶点时，需分三种情况讨论，以Rt△ABC为例：
①以点A为直角顶点，即∠BAC＝90°；
②以点B为直角顶点，即∠ABC＝90°；
③以点C为直角顶点，即∠ACB＝90°.
作图微技能
直角三角形边角不确定
问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．
分情况：①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°；②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°；③以P为直角顶点，即∠APB＝90°.
①情况一：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1
即为所求；
②情况二：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求；
③情况三：取AB的中点Q为圆心，以QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3、P4即为所求．
作图找点：
练习3 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点B、C在x轴上，点A在y轴上，OA＝ ，AB＝2，AD＝4，点P是平行四边形ABCD边上一点，当△CDP是直角三角形时，点P的坐标为_______________．
练习3题图
练习4 (2023本溪二模)如图，将边长为4的等边△ABC沿射线BC平移得到△DEF，点M，N分别为AC，DF的中点，点P是线段MN的中点，连接PA，PC.当△APC为直角三角形时，BE＝_______．
练习4题图
4或8
综合训练
第1题图
1. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，∠B＝30°，点P
为BC边上一点，若△ABP为等腰三角形，则BP的长为________．
第2题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，点E、F分别是AB、BC上的动点，沿EF所在直线折叠△EBF，使点B落在AC上的点B′处，当△AEB′是以B′E为腰的等腰三角形时，AB′的长为______________．
3. 在△ABC中，∠B＝80°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为____
____________．
10°
或25°或40°
第4题图
4. (2023沈阳沈河区校级模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠DAC＝30°，AC＝12，BC＝ ，点P从B点出发，沿着边BC运动到点C停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则BP的长是__________．
第5题图
5. (2023葫芦岛兴城市一模)如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，0)，B(2，0)，点C从点O出发，在第一象限沿射线y＝ x运动，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标为________________．
第6题图
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直
角三角形，则AQ的长为________．
第7题图
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的
点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD的值为________．
