2023-2024学年华东师大版数学九年级下册第26章 二次函数专项3 利用二次函数解决几何中的最值问题课件-(共25张PPT)

(共25张PPT)
第26章 二次函数
专项3 利用二次函数解决几何中的最值问题
过专项 阶段强化专项训练
类型1 线段（周长）的最值问题
【方法指导】
常见构造二次函数关系求线段的最值问题
1.求竖直线段 长度最值的步骤（如图1，点 在点 上方）：①设点 ，则 ；
②表示线段 的长，即 ；③化简
，利用二次函数的性
质求最值.
图1
2.求斜线段 长度最值的步骤（如图2）：①设点 ，
；②用式子表示出 ，即
；③化简 ，利用二次函
数的性质求最值.
图2
图1
1.[2022广元中考]如图1，在平面直角坐标系
中，直线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，抛物线
经过 ， 两点，
并与 轴的正半轴交于点 .
（1）求 ， 满足的关系式及 的值；
解：已知直线 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ， .
将 ， 的坐标分别代入 ，
得 ， ， .
（2）当 时，若点 是抛物线对称轴上的一个动点，求 周长
的最小值；
图1
当 时， , ，
，
抛物线的表达式为
，
抛物线的对称轴是直线 .
由抛物线的对称性可得 ，
要使 的周长最小，只需 的长度最小即可.
如图1，连接 交直线 于点 ，连接 ，
点 与点 关于直线 对称， ，
，
此时 的周长最小，其周长为 .
在 中， .
在 中， .
周长的最小值为 .
图2
（3）如图2，当 时，若点 是直线 下
方抛物线上的一个动点，过点 作 于
点 ，当 的值最大时，求此时点 的坐标及
的最大值.
图2
当 时， ， ，
，
， ， ，
， 是等腰直角三角形，
.
如图2，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
则 是等腰直角三角形.
设 ，则 ，
，
.
当 时， 有最大值 .
当 时， .
综上，点 的坐标为 时， 有最大值 .
类型2 面积的最值问题
【方法指导】
1.割补法：解题的关键点为利用割或补的方法，将所求不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差，然后利用规则图形的面积公式求解.
2.平移法：思路的两处关键点为①底定三角形的面积最值由高确定；②平行线间的距离处处相等.解法的两处关键点为①由直线与抛物线只有一个交点得“根的判别式为0”，进而解出交点坐标；②由“平行线间的距离处处相等”将所求三角形的面积转化为一边在 轴或 轴上的三角形的面积，或有一边平行于 轴或 轴的三角形的面积，
如图，将 的面积转化为 的面积（点 为过点 与 平行
的直线与 轴的交点）求解.
2.一题多解[2023珠海期中]如图，在 中，
， ， ，点 从
点 出发沿 向点 以 的速度运动，同时
点 从点 出发沿 向点 以 的速度运动
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（当一个点到达终点时，另一个点也停止运动），在运动过程中，四边
形 的面积的最小值为____ ．
【解析】解法一 在 中， ， ， ， ．设运动时间为 ,易知 ，则
， ， ， 当 时，四边形 的面积取得最小值，最小值为
．
解法二 ， 当 的面积最大时，四
边形 的面积最小.在 中， ， ，
， ．设运动时间为 ，易知
，则 ， ，
， 当
时， 的面积取得最大值，最大值为 ， 四边形
的面积的最小值为 ．
3.一题多解如图，已知抛物线经过两点 ， ，且其对称轴为
直线 .
（1）求此抛物线的表达式；
解：已知抛物线的对称轴是直线 ，且抛物线经过点 ，
由抛物线的对称性可知，抛物线经过点 .
设抛物线的表达式为 .
把 的坐标代入 ，得 ， ，
抛物线的表达式为 ．
（2）若点 是抛物线上点 与点 之间的动点(不包括点 、点 ，求
的面积的最大值，并求出此时点 的坐标.
解法一 设直线 的函数表达式为
，
， ， 解得
直线 的函数表达式为 .
如图，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 .
设 ， ,则 .
，
．
当 时， 有最大值，最大值为 ，此时点 的纵坐标为
，
的面积的最大值为 ，此时点 的坐标为 ， .
解法二 如图，将直线 平移，使其与抛物线只有
一个交点 ，连接 ，此时 的面积最大.
由解法一知直线 的函数表达式为 ，
可设直线 的表达式为 .
联立，得 ，
即 .
由 ，得 .
由求根公式，得 ,此时 .
.
, , ,
.
的面积的最大值为 ，此时点 的坐标为 .