24.5 三角形的内切圆
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课件31张PPT。第24章 圆义门中心校 数学组九年级 上册24.5 三角形的内切圆回顾反思 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。切线长定理 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?ID思考三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心是三角形三
条角平分线的交点，它到
三角形三边的距离相等。概念介绍已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,三边长分别是a,b,c.求⊙O的半径r. Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系探 究(1)求直角三角形内切圆的半径P43习题25、6 第 5题解（1）如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,13
求直角三角形内切圆的半径AD=AF，CE=CF，BD=BEa+b-c=AF+FC+CE+BE-AD-BD=CE+CF
=2CE = S△AOB+S△BOC+S△AOC1/2ab=1/2ra+1/2rb-1/2rc（2）连接OA、OB、OC，则S△ABC解（1）如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,13
求直角三角形内切圆的半径AD=AF，CE=CF，BD=BEa+b-c=AF+FC+CE+BE-AD-BD=CE+CF
=2CE = S△AOB+S△BOC+S△AOC1/2ab=1/2ra+1/2rb+1/2rc（2）连接OA、OB、OC，则S△ABC(2)求一般三角形内切圆的半径已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.
求内切圆⊙O的半径r.
已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.求内切圆⊙O的半径r.解：连接OA、OB、OC，则S△ABC = S△AOB+S△BOC+S△AOCS=1/2ra+1/2rb-1/2rc例、如图，△ABC中,∠ ABC=43°，∠ACB=61 °,点I 是△ABC的内心，求∠ BIC的度数。AICB例题讲解变式：△ABC中,∠ A=40°，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数。∠ BIC= 90°+ ∠ A ，因为I 是△ABC的内心，
所以IB、IC平分∠ ABC、 ∠ACB，
在△IBC中
∠ BIC=1800-（ ∠ IBC-∠ICB）
=1800-（ ∠ ABC+ ∠ACB）/2
=1800-（430+610）/2=1280
因而， ∠ BIC为1280解：连接IB、IC例2、 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。ABCDEFxxyyzz解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组14
小练习1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于10cm.求内切圆⊙O的半径r.1、如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。x13﹣xx13﹣x9﹣x9﹣x例题分析2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）OACBrrr若△ABC的内切圆半径为 r ,
周长为 l ,
则S△ABC= lr例题分析知识拓展一、直角三角形的外接圆与内切圆1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.abc斜边中点斜边的一半知识拓展3.Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半径是_______.14.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.22cm2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，
半径r=___________.三角形内部回顾反思1.切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。回顾反思2.三角形的内切圆、内心、内心的性质1、如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为( )
（A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56课堂练习：B2、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.课堂练习 解：（1）OA⊥PA，OB⊥PB，PE⊥AB （2）设半径为r,则PA2=PDXPE
=PD（PD+2r)解得，OA=r=33、试一试：如图△ABC中，∠C＝90?，AC＝6，BC＝8，三角形三边与⊙O均相切，切点分别是D、E、F，求⊙O的半径。 课堂练习AB2=AC2+BC2=62+82=100，AB=10证明：等边三角形的内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍 如图：等边△ABC中，I为圆心，
内切圆半径为r，外接圆半径为R
求证：①I为外心???②R=2r
证明①：连接AI、BI、CI，并延长；分别交对边于D、E、F
∵I是内心 ∴AD、CF、BF分别是△ABC的角平分线，
又△ABC是等边三角形，由等边三角形“三线合一”知
AD、BE、CF是△ABC的三条高，也是三角形的中线，
∴I是外心
②：由①知，BI=R，ID=r。在Rt△BID中∠IBD=1/2∠ABC=30°
∴ID=1/2IB，即R=2rP43习题25、6 第 2题解：设等边三角形ABC， 过点A作AD
垂直于BC 垂点为D，过B点做BE垂直于
AC 垂点为EAD与BE相交于点I ，
连接CI，并延长CI交AB于GF ∵AD和BE为高，而ABC是等边三角形 ∴BD=AE=1/2AC，∠CBE=∠DAC=30° ∠BEA=∠BDA=90°∴△BDI≌△AEI ∴BI=AFI，又∵BC=AC，CI=CI
∴△BIC≌△AIC ∴∠BCF＝∠ACF，所以CF⊥AB ∵ID，IE，IF分别垂直于AB，BC，AC ，∴I就是△ABC的内心 BI=IC， BD=CD， DI=DI。 ∴△BDI≌△CDI ， ∴BF=CF。同理可得 BI=CI。F 为△ABC的外心，且DI为内切圆半径，
BI为外接圆半径，又∵AD⊥BC，所以三角形BDI为直角三角形。又∠FBI=1/2∠ABC=30°， ∴ID=1/2BI 用全等三角形详解如图，圆O为△ABC的内切圆，切点为E、F、G,∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4,CD=1.求圆O的半径r 解：连接OF，OE，则OFCE为边长为r的正方形 △OED ∽ △ ACD 故OE：AC＝DE：DC r：4＝（1－r）：1 解得：r＝4／5 P43习题25、6 第 4题解：连接BE， ∵点E为△ABC的内心， ∴∠BAD=∠DAC，
∠ABE=∠EBC． ∴BD=DC． ∵∠DAC与∠DBC都是
弧DC所对的圆周角， ∴∠DAC=∠DBC=∠BAD， ∵∠EBD=∠CBD+∠CBE，∠BED=∠ABE+∠BAD， ∴∠EBD=∠BED． ∴BD=ED． ∴BD=ED=DC．4.已知，如图，在△ABC中，点E是内心，延长AE交△ABC?的外接圆于点D，连接BD、DC、EC，求证：DB=DC=DE P43习题25、6 第 6题2、已知：在△ABC中，BC＝14cm，AC＝9cm，AB＝13cm，BC，AC，AB分别与⊙O切于点D、E、F，求AF，BD和CE的长。P43习题25、6 第 8题分析：利用切线长定理可以得到AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根据BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm即可得到一个关于x，y，z的方程组，即可求解． 解：设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm． ∵AF、AE是圆的切线∴AE=AF=xcm， 同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm．根据题意得
解得，
．
即：AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm． 如图，在△ABC中BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，内切圆⊙O分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD、CE的长 x+y=13
x+z=9
y+z=14x=4，y=9，z=51.已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。求证：AC=BD布置作业 3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周长是否会因K点的变动而变化？为什么？4、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6，
求边AD、BC的长。5、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°,求：△PEF的长和∠EOF的大小。
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?ID思考三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心是三角形三
条角平分线的交点，它到
三角形三边的距离相等。概念介绍已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,三边长分别是a,b,c.求⊙O的半径r. Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系探 究(1)求直角三角形内切圆的半径P43习题25、6 第 5题解（1）如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,13
求直角三角形内切圆的半径AD=AF，CE=CF，BD=BEa+b-c=AF+FC+CE+BE-AD-BD=CE+CF
=2CE = S△AOB+S△BOC+S△AOC1/2ab=1/2ra+1/2rb-1/2rc（2）连接OA、OB、OC，则S△ABC解（1）如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,13
求直角三角形内切圆的半径AD=AF，CE=CF，BD=BEa+b-c=AF+FC+CE+BE-AD-BD=CE+CF
=2CE = S△AOB+S△BOC+S△AOC1/2ab=1/2ra+1/2rb+1/2rc（2）连接OA、OB、OC，则S△ABC(2)求一般三角形内切圆的半径已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.
求内切圆⊙O的半径r.
已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.求内切圆⊙O的半径r.解：连接OA、OB、OC，则S△ABC = S△AOB+S△BOC+S△AOCS=1/2ra+1/2rb-1/2rc例、如图，△ABC中,∠ ABC=43°，∠ACB=61 °,点I 是△ABC的内心，求∠ BIC的度数。AICB例题讲解变式：△ABC中,∠ A=40°，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数。∠ BIC= 90°+ ∠ A ，因为I 是△ABC的内心，
所以IB、IC平分∠ ABC、 ∠ACB，
在△IBC中
∠ BIC=1800-（ ∠ IBC-∠ICB）
=1800-（ ∠ ABC+ ∠ACB）/2
=1800-（430+610）/2=1280
因而， ∠ BIC为1280解：连接IB、IC例2、 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。ABCDEFxxyyzz解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组14
小练习1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于10cm.求内切圆⊙O的半径r.1、如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。x13﹣xx13﹣x9﹣x9﹣x例题分析2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）OACBrrr若△ABC的内切圆半径为 r ,
周长为 l ,
则S△ABC= lr例题分析知识拓展一、直角三角形的外接圆与内切圆1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.abc斜边中点斜边的一半知识拓展3.Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半径是_______.14.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.22cm2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，
半径r=___________.三角形内部回顾反思1.切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。回顾反思2.三角形的内切圆、内心、内心的性质1、如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为( )
（A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56课堂练习：B2、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.课堂练习 解：（1）OA⊥PA，OB⊥PB，PE⊥AB （2）设半径为r,则PA2=PDXPE
=PD（PD+2r)解得，OA=r=33、试一试：如图△ABC中，∠C＝90?，AC＝6，BC＝8，三角形三边与⊙O均相切，切点分别是D、E、F，求⊙O的半径。 课堂练习AB2=AC2+BC2=62+82=100，AB=10证明：等边三角形的内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍 如图：等边△ABC中，I为圆心，
内切圆半径为r，外接圆半径为R
求证：①I为外心???②R=2r
证明①：连接AI、BI、CI，并延长；分别交对边于D、E、F
∵I是内心 ∴AD、CF、BF分别是△ABC的角平分线，
又△ABC是等边三角形，由等边三角形“三线合一”知
AD、BE、CF是△ABC的三条高，也是三角形的中线，
∴I是外心
②：由①知，BI=R，ID=r。在Rt△BID中∠IBD=1/2∠ABC=30°
∴ID=1/2IB，即R=2rP43习题25、6 第 2题解：设等边三角形ABC， 过点A作AD
垂直于BC 垂点为D，过B点做BE垂直于
AC 垂点为EAD与BE相交于点I ，
连接CI，并延长CI交AB于GF ∵AD和BE为高，而ABC是等边三角形 ∴BD=AE=1/2AC，∠CBE=∠DAC=30° ∠BEA=∠BDA=90°∴△BDI≌△AEI ∴BI=AFI，又∵BC=AC，CI=CI
∴△BIC≌△AIC ∴∠BCF＝∠ACF，所以CF⊥AB ∵ID，IE，IF分别垂直于AB，BC，AC ，∴I就是△ABC的内心 BI=IC， BD=CD， DI=DI。 ∴△BDI≌△CDI ， ∴BF=CF。同理可得 BI=CI。F 为△ABC的外心，且DI为内切圆半径，
BI为外接圆半径，又∵AD⊥BC，所以三角形BDI为直角三角形。又∠FBI=1/2∠ABC=30°， ∴ID=1/2BI 用全等三角形详解如图，圆O为△ABC的内切圆，切点为E、F、G,∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4,CD=1.求圆O的半径r 解：连接OF，OE，则OFCE为边长为r的正方形 △OED ∽ △ ACD 故OE：AC＝DE：DC r：4＝（1－r）：1 解得：r＝4／5 P43习题25、6 第 4题解：连接BE， ∵点E为△ABC的内心， ∴∠BAD=∠DAC，
∠ABE=∠EBC． ∴BD=DC． ∵∠DAC与∠DBC都是
弧DC所对的圆周角， ∴∠DAC=∠DBC=∠BAD， ∵∠EBD=∠CBD+∠CBE，∠BED=∠ABE+∠BAD， ∴∠EBD=∠BED． ∴BD=ED． ∴BD=ED=DC．4.已知，如图，在△ABC中，点E是内心，延长AE交△ABC?的外接圆于点D，连接BD、DC、EC，求证：DB=DC=DE P43习题25、6 第 6题2、已知：在△ABC中，BC＝14cm，AC＝9cm，AB＝13cm，BC，AC，AB分别与⊙O切于点D、E、F，求AF，BD和CE的长。P43习题25、6 第 8题分析：利用切线长定理可以得到AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根据BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm即可得到一个关于x，y，z的方程组，即可求解． 解：设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm． ∵AF、AE是圆的切线∴AE=AF=xcm， 同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm．根据题意得
解得，
．
即：AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm． 如图，在△ABC中BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，内切圆⊙O分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD、CE的长 x+y=13
x+z=9
y+z=14x=4，y=9，z=51.已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。求证：AC=BD布置作业 3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周长是否会因K点的变动而变化？为什么？4、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6，
求边AD、BC的长。5、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°,求：△PEF的长和∠EOF的大小。