2023-2024学年天津市静海实验中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）(含解析）

2023-2024学年天津市静海实验中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算( )
A. B. C. D.
2.的值等于( )
A. B. C. D.
3.下面图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.中共十九大召开期间，十九大代表纷纷利用休息时间来到北京展览馆，参观“砥砺奋进的五年”大型成就展，据统计，月下旬开幕至月日，展览累计参观人数已经超过万，请将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.如图，是由五个相同的小正方体组成的立体图形，其俯视图是( )
A. B. C. D.
6.估计的值应在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
7.分式方程的解为( )
A. B. C. D.
8.如图，正五边形放入某平面直角坐标系后，若顶点，，，的坐标分别是，，，，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在延长线上，连接下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，以点为旋转中心，把顺时针旋转得，记旋转角为，连接，为，则的度数为( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线为常数，的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于、两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点，有下列结论：
；
；
．
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
12.如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为设矩形菜园的边的长为，面积为，其中有下列结论：
的取值范围为；
的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为；
矩形菜园的面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.计算的结果等于______．
14.计算的结果等于______．
15.如图，正方形纸片的边长为，是的中点，沿着折叠该纸片，得点的对应点为点，延长交于点，则线段的长为______．
16.如图，菱形的边长为，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为______．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，是上的三个点，四边形是平行四边形，为的直径，，且，点为垂足，连接．
如图，求的大小和的长；
如图，经过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小．
18.本小题分
小明为了测量楼房的高度，他从楼底的处沿着斜坡向上行走，到达坡顶处．已知斜坡的坡角为以下计算结果精确到
求小明此时与地面的垂直距离的值；
小明的身高是，他站在坡顶看楼顶处的仰角为，求楼房的高度．
19.本小题分
“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行的时间之间的函数关系式如图中折线段所示，在步行过程中，小明先到达甲地．
请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ填表：
步行的时间 ______
两人之间的距离 ______ ______
Ⅱ填空：
小丽步行的速度为______；
小明步行的速度为______；
图中点的坐标为______；
Ⅲ请直接写出关于的函数解析式．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点、分别在轴与轴上，已知，点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．
当点经过点时，求直线的函数解析式；
求的面积关于的函数解析式；
如图，把长方形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，求点的坐标．
点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知抛物线是常数，，的顶点为，与轴相交于点和点，与轴交于点动点和以相同的速度从坐标原点同时出发，分别在线段，上向点，方向运动．
Ⅰ若，．
求点的坐标；
过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形为矩形时，求点的坐标；
Ⅱ若点，过点作直线平行于轴，直线与抛物线交于点不与点重合，连接，，当的最小值为时，求点，的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数异号两数的加法法则．根据有理数的加法法则计算可得．
【解答】
解：，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图形重合．根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
5.【答案】
【解析】解：从上面看易得：有列小正方形第列有个正方形，第列有个正方形，第列有个正方形，且只有中间的小正方形在下面，进而得出答案即可，
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
的值应在和之间．
故选：．
直接利用算术平方根的性质进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8.【答案】
【解析】解：点坐标为，
点在该平面直角坐标系的轴上，
点、的坐标为，，
点、关于轴对称，
正五边形是轴对称图形，
该平面直角坐标系经过点的轴是正五边形的一条对称轴，
点、也关于轴对称，
点的坐标为，
点的坐标为．
故选：．
由题目中点坐标特征推导得出平面直角坐标系轴的位置，再通过、点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出点坐标了．
本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的轴．
9.【答案】
【解析】【分析】
由旋转的性质得到，，推出是等边三角形，得到，于是得到结论．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【解答】
解：绕点顺时针旋转得，
，，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：把顺时针旋转得，记旋转角为，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理得到，得到，于是得到结论．
本题考查了旋转的性质，三角形等你结婚定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：直线经过点，点在点的右侧，
，
，故正确；
，
，
，故正确；
由题意可知，抛物线开口向下，，
当时，，
，
，
，
，故正确；
故选：．
把代入，求得的值，即可判断；由整理得到即可判断；根据图象点的坐标特征即可判断．
本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据抛物线与轴，轴的交点以及对称轴推理对称，，之间的关系是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：设这个菜园垂直于墙的一边的长为则的长为米，
墙长为，，
解得，
的取值范围为，
故错误；
根据题意得：，
解得，，
，
，
的长有个值满足该矩形菜园的面积为，
故错误；
根据题意得：，
，，
当时，有最大值，最大值为，
故正确．
故选：．
根据墙长为，，列不等式组，解不等式组即可求出自变量的取值范围，从而可判断；根据矩形的面积列出方程，解方程求的值，可以判断；利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积，可以判断．
此题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算求解即可．
本题考查了同底数幂的乘法．解题的关键在于正确的运算．
14.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
直接利用平方差公式进行简便运算即可．
本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练的利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，
正方形纸片的边长为，是的中点，
，
折叠，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为：．
由折叠的性质可得，，，由“”可证≌，可得，在中，由勾股定理可求的长．
本题考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接，
四边形是菱形，，
，，，，
，，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，，由三角形中位线定理得，，由勾股定理可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：如图，连接，
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
；
如图，延长交于点．
四边形是平行四边形，
，
，
与相切，
，
，
，
是直径，，
，
，
．
【解析】连接，根据已知条件得出四边形是菱形，则是等边三角形，进而根据含度角的直角三角形的性质，余弦的定义求得，根据圆周角定理求得；
延长交于点，根据平行四边形的性质得出，根据切线的性质得出，根据垂径定理，得出，，进而即可求解．
本题考查了本题考查了菱形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，三角函数的定义，切线的性质以及多边形内角和定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．．
18.【答案】解：在中，
，，
，
；
答：小明与地面的垂直距离的值是；
在中，，
，
由知，，
．
答：楼房的高度是．
【解析】利用在中，，，得出求得答案即可；
由图可知：，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义，求得即可．
本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角和坡角的问题，解题的关键是构造直角三角形．
19.【答案】
【解析】解：Ⅰ由图象可得时，，
时，，
时，，
设段的解析式为，由，得，
，解得：，
段的解析式为，
时，，
故答案为：，，；
Ⅱ设小丽步行的速度为，小明步行的速度为，且，
则，
解得，
故小丽步行的速度为，小明步行的速度为；
设点的坐标为，
则可得方程，
解得，
，
故点的坐标为；
故答案为：；；；
Ⅲ段的解析式为，
设段的解析式为，由，得，
，解得：，
段的解析式为，
设段的解析式为，由，得，
，解得：，
段的解析式为，
．
Ⅰ求出段的解析式，结合图象即可求解；
Ⅱ设小红步行的速度为，小明步行的速度为，且，根据图象和题意列出方程组，求解即可；
设点的坐标为，根据题意列出方程解出，再根据图象求出即可；
Ⅲ利用待定系数法根据点、、的坐标分段求出关于的函数解析式即可．
本题考查了考查了一次函数的应用，二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图象获取信息是解题关键．
20.【答案】解：，，四边形为长方形，
．
设此时直线解析式为，
把，分别代入，得
，
解得
则此时直线解析式为；
当点在线段上时，，高为，；
当点在线段上时，，高为，；
设，则，如图，
，，
，
，
，
，
解得
则此时点的坐标是；
存在，理由为：
若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图，
当，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，即；
当时，此时；
当时，
在中，，
根据勾股定理得：，
，即，
综上，满足题意的坐标为或或
【解析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．
设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出解析式；
当在段时，三角形底与高为固定值，求出此时面积；当在段时，底边为固定值，表示出高，即可列出与的关系式；
当点的对应点恰好落在边上时，关键勾股定理即可求出此时坐标；
存在，分别以，，为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出坐标即可．
21.【答案】解：Ⅰ把代入得：
，
若，，则，
抛物线函数表达式为；
，
抛物线点的坐标为；
如图：
设，
四边形为矩形，
，，
动点和以相同的速度从坐标原点同时出发，
，即，
解得大于，舍去或，
点的坐标为；
Ⅱ抛物线与轴相交于点和点，
，
根据，由得，
得：，
，
，
，
，
把代入得，
，
抛物线的函数表达式为，
在中，令得或，
，，
由已知可得，，关于直线对称，作关于直线的对称点，连接，作关于轴的对称点，连接，如图：
由对称性质可得，
，
当，，共线时，最小，此时也最小，最小即为的长度，
的最小值为，
，
由可知，，
，
解得或大于，舍去，
，，，
由，得直线函数表达式为，
在中，令得，
，
，
，
点的坐标为，点的坐标为
【解析】Ⅰ把代入得：，由，，可得抛物线函数表达式为；根据，即得抛物线点的坐标为；设，根据四边形为矩形，动点和以相同的速度从坐标原点同时出发，有，即可解得点的坐标为；
Ⅱ根据抛物线与轴相交于点和点，可得抛物线的函数表达式为，即得，，由，关于直线对称，作关于直线的对称点，连接，作关于轴的对称点，连接，根据对称性质得，，故当，，共线时，最小，此时也最小，最小即为的长度，而可知，，得，解得得或大于，舍去，从而，，，直线函数表达式为，得，即得
本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图形三点坐标的特征，矩形性质及应用，最短路径等知识，解题的关键是通过对称变换把转化为．
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