2023-2024学年陕西省西安市逸翠园中学、高新三中、高新五中九年级（下）期中数学试卷(含解析）

2023-2024学年陕西省西安市逸翠园中学、高新三中、高新五中九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列为正数的是( )
A. B. C. D.
2.下列立体图形中，主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3.计算的结果是
( )
A. B. C. D.
4.如图，直线，直线分别与直线，交于点，，点在直线上，若，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，直线与直线交于点的横坐标为，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图， 中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，，若，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.若抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.将数据用科学记数法表示为______．
10.如果一个正多边形的内角和是，则这个正多边形是正______边形．
11.分解因式： ．
12.如图，正方形的顶点，均在双曲线在第一象限的分支上，顶点，分别在轴、轴上，则此正方形的边长为______．
13.如图，在中，，，，、分别是边、上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
计算：．
15.本小题分
解不等式组：．
16.本小题分
解方程：．
17.本小题分
如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使点到点的距离与点到点的距离相等保留作图痕迹，不写作法
18.本小题分
如图，已知四边形和四边形都是正方形求证：．
19.本小题分
某社区组织志愿者服务小组利用周末时间购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人，如果送给每位老人袋，那么剩余袋；如果送给每位老人袋，那么还差袋，敬老院一共有多少位老人？
20.本小题分
某校一年一度的英语风采大赛总决赛即将举行，现需从七、八年级遴选名主持人七年级推荐了名女生和名男生，八年级推荐了名女生和名男生．
若从推荐的女生中，随机选一人，则来自七年级的概率是______；
若从七、八年级分别随机选一位主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好是一男一女的概率．
21.本小题分
如图，某数学小组测量街阳三塔之一“来雁塔”的高度，在坡底处测得塔顶的仰角为，沿坡比为：的斜坡前行米到达平台处，在处测得塔顶的仰角为；
求坡顶到地面的距离；
计算来雁塔的高度．
22.本小题分
受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按元千克的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．
求出当和时，与之间的函数关系式；
若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额元最少？最少是多少元？
23.本小题分
逸翠园中学八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽取了部分同学捐款的情况进行统计，并绘制了两幅不完整统计图．
求本次共抽查学生的人数，并将条形统计图补充完整；
捐款金额的平均数是______，中位数是______；
请你估算八年级名学生中捐款大于等于元的学生人数．
24.本小题分
已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得．
求证：是的切线．
当，时，求的半径．
25.本小题分
如图，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．
按如图所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由假设船底与水面齐平．
26.本小题分
问题提出：
如图，在中，，，平分交边于点，点为边上的一个动点，连接，则线段长的最小值为______．
问题探究：
如图，在中，，，点为边的中点，且，的两边分别交、于点、求四边形的面积．
问题解决：
某观光景区准备在景区内设计修建一个大型儿童游乐园如图，四边形为儿童游乐园的大致示意图，并将儿童游乐园分成、、和四边形四部分，其中在和两区域修建益智区，在区域修建角色游戏区，在四边形区域修建木工区根据设计要求：四边形是平行四边形，，点、点、点分别在边、边和对角线上，且，，四边形的面积为平方米，现需在四边形的四周修建护栏起到保护乐园的作用，为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，是负数；既不是正数也不是负数；是正数；
故选：．
大于的数即为正数，据此进行判断即可．
本题考查正数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项符合题意；
B.三棱柱的主视图的矩形矩形内部有一条纵向的实线，故本选项不符合题意；
C.圆柱的主视图的矩形，故本选项不符合题意；
D.球的主视图是圆，故本选项不符合题意．
故选：．
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据积的乘方计算即可．
本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
根据垂直的定义和角的关系得出，进而利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答．
5.【答案】
【解析】解：观察图象可知，
当时，直线在直线的上方，
不等式的解集为．
故选：．
不等式的解集，就是指直线在直线的上方的自变量的取值范围．
本题主要考查一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
点，分别是和的中点，
是的中位线，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，进而利用平行线的性质和三角形中位线定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
7.【答案】
【解析】解：连接，如图，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
故选：．
先根据同弧所对的圆周角相等求得，再由是的直径得即可求得．
本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：抛物线过点、，
对称轴是直线，
又抛物线与轴只有一个交点，
顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入，得：
，
即．
故选：．
根据点、的坐标易求该抛物线的对称轴是直线故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求的值．
本题考查了抛物线与轴的交点，解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．
9.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
10.【答案】七
【解析】解：设这个正多边形的边数是，则
，
解得：．
则这个正多边形是正七边形．
边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是，就得到关于边数的方程，从而求出边数．
此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键，属于基础题．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：作轴于，作轴于．
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
又，
≌．
同理，≌．
设，，则，，，．
则的坐标是，的坐标是．
、的两个顶点在双曲线在第一象限的分支上，
，
，即是等腰直角三角形．
则的坐标是代入函数解析式得：
，
，
则，
故答案是：．
作轴于，作轴于可以证明，≌≌，即可表示出，的坐标，即可证得是等腰直角三角形，再根据在函数的图象上，即可求解．
本题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．
13.【答案】
【解析】解：，
，
点在以为直径的圆上运动，
过作，作于，如图，
，
，
在中，，
，
当、、共线时，最小，
过作于，
在中，，，，
，
，
，
作于，
四边形是矩形，
，
，
，
，
最小值为，
最小值为．
故答案为：．
首先由，，发现在以为直径的圆上运动，再通过构造直角三角形将转化为，将所求问题转化为常规两条线段和最小问题来解决．
本题主要考查以直角三角形为背景的两条线段和最小问题，解决问题的关键是发现点的运动路径．
14.【答案】解：原式
．
【解析】根据题目逐步计算即可．
本题考查的是实数的运算和零指数幂，正确掌握实数运算的“三个关键”是解题的关键．
15.【答案】解：，
解不等式得，
解不等式得：，
则不等式组的解集为．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】解：原方程两边同乘，去分母得：，
整理得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：将代入得：，
故原分式方程的解为：．
【解析】根据解分式方程的步骤解方程后进行检验即可．
本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
17.【答案】解：如图，点即为所求．

【解析】作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】证明：四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由四边形和四边形都是正方形，根据正方形的性质可得：，，，进而可得，利用即可证得≌，根据全等三角形的对应角相等，即可证得．
此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．此题属于基础题，注意数形结合思想的应用．
19.【答案】解：设敬老院一共有位老人，
根据题意得：，
解得：．
答：敬老院一共有位老人．
【解析】设敬老院一共有位老人，根据“如果送给每位老人袋，那么剩余袋；如果送给每位老人袋，那么还差袋”，结合购买的中老年奶粉袋数不变，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：由题意知，七年级推荐了名女生，八年级推荐了名女生，
从推荐的女生中随机选一人，来自七年级的概率是．
故答案为：．
列表如下：
女 女 男
女 女，女 女，女 女，男
男 男，女 男，女 男，男
男 男，女 男，女 男，男
共有种等可能的结果，其中恰好是一男一女的结果有种，
恰好是一男一女的概率为．
直接利用概率公式可得答案．
列表可得出所有等可能的结果数以及恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：延长交于点，过点作，垂足为，
则，，
设米，则米，
在中，米，
，
，
解得，负舍去，
米，米；
即坡顶到地面的距离为米；
设米，
在中，，
；
在中，，，
，
，
，解得，
米．
【解析】延长交于点，过点作，垂足为，则，，先设米，则，由勾股定理列方程，求出的值即可解决问题；
在中，设，用含有的式子表示，再根据求出的值，即可得出．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题：
22.【答案】解：当时，设，根据题意得，
解得；
；
当时，设，
根据题意得，，
解得：，
．
；
购进甲种水果为千克，则购进乙种水果千克，
，
．
随的增大而减小，
当时，元，
此时乙种水果千克．
答：购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额元最少，最少是元．
【解析】由图可知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
购进甲种水果为千克，则购进乙种水果千克，根据实际意义可以确定的范围，结合付款总金额元与种水果的购进量之间的函数关系可以知道最少费用为多少．
本题主要考查了一次函数的图象与性质以及一次函数的实际应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
23.【答案】
【解析】解本次抽查的学生有：人．
则捐款元的有：人．
补全条形统计图图形如下：
．
这组数据的平均数为：元．
中位数是元．
故答案为：元，元．
捐款大于等于元的学生人数：人．
由题意可知，捐款元的有人，占捐款总人数的，由此可得总人数．将总人数减去其他各组频数即可求得答案，进而补全条形统计图．
将人的捐款总额除以总人数即可得到平均数，求出第，个数据的平均数即可得到这组数据的中位数．
由抽取的样本可知，用捐款及以上的人数所占的比例估计总体的人数．
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数和中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
24.【答案】解：如图，连接、，
在和中，
，，，
≌，
，
是的切线；
≌，
，
，
，
，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得，
，
即：的半径为．
【解析】连接，根据切线的判定方法，只要证明即可；
证出是的中位线，进而求出，再在直角三角形中利用勾股定理求出半径即可．
本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法是解决问题的前提，转化到直角三角形中利用边角关系求解是常用的方法．
25.【答案】解：如图，由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是，
结合函数图象可知，顶点 ，点 ，
设二次函数的表达式为，
将点 代入函数表达式，
解得：，
二次函数的表达式为，
即 ；
工人不会碰到头，理由如下：
小船距点，小船宽，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距点距离为，
将代入，
解得：
，
此时工人不会碰到头．
【解析】根据题意结合图象可以求出函数的顶点，先设抛物线的顶点式，再根据图象过原点，求出的值即可；
先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出的值，然后和比较即可．
本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．
26.【答案】
【解析】解：在中，，平分，
，．
，
．
．
当时，最小，
，
．
故答案为：．
，，
是等腰直角三角形，
．
点为边的中点，连接，
，．
．
又，
，
，
≌．
．
．
所以，四边形的面积为．
过点作，，连接，
是平行四边形，
．
，
．
，，
．
，
．
，，
≌．
．
．
是的角平分线，
．
设，
．
．
．
与都为定值，
当时，此时四边形周长最小，
．
平行四边形是菱形．
．
四边形的周长最小为：．
根据过直线外一点到直线的距离垂线段最短可判断当时，最小，根据勾股定理以及等腰三角形的性质求出，再利用面积法求解即可；
连接，利用等腰直角三角形的性质以及同角的余角相等证明≌，将所求四边形的面积转化为的面积，然后求解即可；
过点作，，连接，利用同角的补角相等得到为，利用等量代换并结合已知条件证得≌，再利用角平分线的逆定理得到为角平分线并且为定值，最后判断并求解即可．
本题主要考查三角形的全等及线段最值问题，熟练掌握线段公理，含角的直角三角形的性质及三角形全等的判定及其性质的运用是解决本题的关键．
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